2017-2018学年高一数学北师大版必修4课件+教师用书+练习：第2章 6　平面向量数量积的坐标表示 (3份打包)

§6　平面向量数量积的坐标表示 1．掌握数量积的坐标表达式．(重点) 2．能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．(重点) 3．了解直线的方向向量的概念．(难点) [基础·初探] 教材整理　平面向量数量积的坐标表示 阅读教材P98～P99，完成下列问题． 1．平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)a·b＝x1x2＋y1y2； (2)a2＝x； ，即|a|＝＋y (3)设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝； ＝ (4)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 2．直线的方向向量 给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．(　　) (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(　　) |＝ (3)两向量a与b的夹角公式cos θ＝的使用范围是a≠0且b≠0.(　　) 【解析】　(1)错误．如a＝(－1，－1)，b＝(2,2)，显然cos θ＝＜0，但a与b的夹角是180°，而并非钝角． (2)正确..|＝＝(x2－x1，y2－y1)，所以| (3)正确．两向量a与b的夹角公式cos θ＝≠0，即a≠0，且b≠0.此说法是正确的．＋y≠0且y＋x有意义需x 【答案】　(1)×　(2)√　(3)√ [小组合作型] 平面向量数量积的坐标运算 　已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(a＋c)·b. 【精彩点拨】　根据a与b共线设出a的坐标，再利用数量坐标运算公式构建方程求得a的坐标，进而求(a＋c)·b. 【自主解答】　(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)． 又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)． (2)法一：a＋c＝(4,3)，∴(a＋c)·b＝4＋6＝10. 法二：(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝10＋0＝10. 进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示，运算时常有两条途径： (1(根据向量数量积的坐标表示直接运算； (2(先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. [再练一题] 1．已知向量a＝(4，－2)，b＝(6，－3)，求： (1)(2a－3b)·(a＋2b)； (2)(a＋b)2. 【导学号：69992025】 【解】　法一：(1)∵2a－3b＝(8，－4)－(18，－9)＝(－10,5)， a＋2b＝(4，－2)＋(12，－6)＝(16，－8)， ∴(2a－3b)·(a＋2b)＝－160－40＝－200. (2)∵a＋b＝(10，－5)， ∴(a＋b)2＝(10，－5)×(10，－5)＝100＋25＝125. 法二：由已知可得：a2＝20，b2＝45，a·b＝30. (1)(2a－3b)·(a＋2b) ＝2a2＋a·b－6b2 ＝2×20＋30－6×45＝－200. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝20＋60＋45＝125. 向量的夹角及垂直 　已知a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝. (1)求|a＋2b|； (2)若(a＋b)·c＝，求向量a与c的夹角． 【精彩点拨】　(1)利用|a|＝求解． (2)利用cos θ＝求解． 【自主解答】　(1)a＋2b＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)， ∴|a＋2b|＝.＝3 (2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a， ∴a＋b＝－a， ∴(a＋b)·c＝－a·c＝. 设a与c的夹角为θ， 则cos θ＝.＝－＝ ∵0≤θ≤π，∴θ＝π， 即a与c的夹角为π. 1．已知向量的坐标求向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|＝进行计算． 2．求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为： (1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积； (2)再求出两向量的模； (3)由公式cos θ＝，计算cos θ的值； (4)在[0，π]内，由cos θ的值确定角θ. [再练一题] 2．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得： (1)a与b的夹角为直角； (2)a与b的夹角为钝角； (3)a与b的夹角为锐角． 【解】　a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ. (1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a·b＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－. (2)因为a与b的夹角为钝角， 所以cos θ＜0，且cos θ≠－1， 所以a·b＜0，且a与b不反向． 由a·b＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－， 由a与b共线得λ