2017-2018学年高一数学北师大版必修4课件+教师用书+练习：第3章 1　同角三角函数的基本关系 (3份打包)

§1　同角三角函数的基本关系 1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.(重点) 2．会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式．(难点) [基础·初探] 教材整理　同角三角函数的基本关系 阅读教材P113～P116练习2以上部分，完成下列问题． 1．关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2 α＝ 1 ； (2)商数关系：＝cot α. ＝tan α， 2．文字叙述 同一个角 α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 α的正切． 3．变形形式 (1)1＝sin2 α＋cos2 α； (2)sin2 α＝1－cos2 α；cos2 α＝1－sin2 α； (3)sin α＝± ； ；cos α＝± (4)sin α＝cos αtan α； (5)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)对任意角α，.(　　) ＝tan (3)利用平方关系求sin α或cos α时，会得到正负两个值．(　　) (4)当α≠(k∈Z)时，tan α·cot α＝1.(　　) 【解析】　(1)平方关系是同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，所以错误． (2)当α＝π时，cos ＝0，分母为0无意义，所以错误． (3)求sin α或cos α时，应结合角的象限，判断是正或是负，因而错． (4)正确． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ [小组合作型] 利用同角三角函数的基本关系求值 　已知tan α＝2，求的值． 【精彩点拨】　本题先把所求式化为只含一个函数的代数式，再求值． 【自主解答】　法一：∵tan α＝2， ∴＝－2. ＝＝ 法二：∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α， ∴＝－2.＝ 1．同角三角函数的基本关系，揭示了同一角三角函数间的关系，其最基本的应用是“知一求二”。 2．例1第(1)小题给出了α是第几象限角，否则必须由sin α的值推断出α所在的象限，再分类求解． [再练一题] 1．已知tan α＝2，试求： (1)sin α的值； (2)和sin αcos α的值． 【解】　(1)因为tan α＝2，所以＝2，即sin α＝2cos α. 又sin2α＋cos2α＝1， 所以sin2α＋sin2α＝1，＝ 所以sin α＝±，又tan α＝2， 所以α为第一或第三象限的角，当α为第一象限角时， sin α＝..当α为第三象限角时，sin α＝－ (2)，＝＝ sin αcos α＝.＝＝＝ 利用sin α±cos α，sin α·cos α之间的关系求值 　已知sin θ，cos θ是方程x2－(－1)x＋m＝0的两根． (1)求m的值； (2)求的值． ＋ 【精彩点拨】　本题主要考查韦达定理，同角三角函数的关系，由韦达定理得两根之和与两根之积的关系，通过恒等变形可得m的值． 【自主解答】　(1)∵sin θ，cos θ是方程x2－(－1)x＋m＝0的两根， ∴ 由①得1＋2sin θcos θ＝4－2，将②代入，得 1＋2m＝4－2.－，∴m＝ 由③得m≤1－， ∴m＝.－ (2)原式＝－1.＝sin θ＋cos θ＝＝＋＝＋ sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α(2＝1±2sin αcos α，利用此关系求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号. [再练一题] 2．已知0<θ<π，且sin θ＋cos θ＝，求sin θ－cos θ的值，及tan θ的值. 【导学号：66470063】 【解】　∵sin θ＋cos θ＝， ① ∴(sin θ＋cos θ)2＝， 解得sin θcos θ＝－. ∵0<θ<π，且sin θcos θ<0， ∴sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ>0. 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， ∴sin θ－cos θ＝. ② 由①②得sin θ＝，，cos θ＝－ ∴tan θ＝.＝－ [探究共研型] 利用同角三角函数关系化简、证明 探究1　平方关系对任意α∈R均成立，对吗？商数关系呢？ 【提示】　平方关系中对任意α∈R均成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)． 探究2　证明三角恒等式常用哪些技巧？ 【提示】　切弦互化，整体代换，“1”的代换． 探究3　证明三角恒等式应遵循什么样的原则？ 【提示】　由繁到简． 　(1)化简tan α· ，其中α是第二象限角； (2)求证：