2017-2018学年高一数学北师大版必修4课件+教师用书+练习：第3章 3　二倍角的三角函数 (3份打包)

§3　二倍角的三角函数 1．掌握倍角公式与半角公式及公式的推导方法．(重点) 2．能利用倍角公式与半角公式进行三角函数的求值、化简、证明．(重点) 3．能利用倍角公式与半角公式解决一些简单的实际问题．(难点) [基础·初探] 教材整理　二倍角公式与半角公式 阅读教材P124～P127练习2以上部分，完成下列问题． 1．二倍角公式 2．半角公式 (1)sin； ＝± (2)cos； ＝± (3)tan. ＝＝＝± 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意α∈R，总有sin 2α＝2sin α.(　　) (2)对任意α∈R，总有cos 2α＝1－2cos2α.(　　) (3)对任意α∈R，总有tan 2α＝.(　　) (4)sin 22°30′cos 22°30′＝.(　　) (5)sin2 α＝.(　　) 【解析】　(1)sin 2α＝2sin αcos α，所以(1)错． (2)cos 2α＝2cos2α－1，所以(2)错． (3)α≠，所以(3)错．(k∈Z)时，有tan 2α＝＋ (4)sin 22°30′cos 22°30′＝，所以(4)对．sin 45°＝×2sin 22°30′cos 22°30′＝ (5)对． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ [小组合作型] 倍角及半角公式的直接应用 　已知cos α＝的值． ，α为第四象限的角，求tan 【精彩点拨】　根据条件求出sin α，然后求出cos α，利用半角公式求tan. 【自主解答】　∵α为第四象限的角，cos α＝， ∴sin α＝－.＝－ ∴tan α＝.＝－ ∵α为第四象限角， ∴是第二或第四象限的角， ∴tan <0. 由tan α＝.＝，得tan 在求半角的正切tan求半角的正切值．＝，分母是单项式，容易计算．因此常用tan＝来处理，可以避免这些问题，尤其是tan ＝或tan ＝所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan来处理，要由α所在的象限确定＝±时，用tan [再练一题] 1．已知sin α＋cos α＝，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值. 【导学号：66470073】 【解】　∵sin α＋cos α＝， ∴sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝， ∴sin 2α＝<0.，且sin αcos α＝－－1＝－ 又0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝，＝＝ ∴cos 2α＝cos2α－sin2α ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝－，＝－× ∴tan 2α＝＝ ＝. 利用倍角公式、半角公式化简 　化简：(1)； (2). ，其中π<α<＋ 【精彩点拨】　(1)先把切化弦，再用二倍角公式化简． (2)用半角公式脱去根号，根据角的取值范围化简． 【自主解答】　(1)原式＝＝ ＝ ＝.＝2 (2)∵π<α<，<<，∴ ∴，cos |＝－|cos ＝ ，sin |＝|sin ＝ ∴＋ ＝＋ ＝＋ ＝－.cos 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1(先化简已知或所求式子； (2(观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手(； (3(将已知条件代入所求式子，化简求值. [再练一题] 2．设α∈，化简： 【解】　∵α∈， ∴cos α>0，cos <0. 故原式＝ ＝ ＝.＝－cos ＝ [探究共研型] 三角恒等变形的综合应用 探究1　倍角公式成立的条件是什么？ 【提示】　由任意角的三角函数的定义可知，S2α，C2α中的角α是任意的，但要使T2α有意义，需要α≠(k∈Z)．＋ 探究2　半角公式适用的条件是什么？ 【提示】　cos ，α∈R.＝±，sin ＝± tan 中，α≠2kπ＋π，k∈Z，＝＝± tan 中，α≠kπ，k∈Z.＝ 探究3　如何理解倍角公式与半角公式中的倍角与半角？ 【提示】　例如α可以看成的倍角，也可以看成2α的半角． 探究4　怎样把asin x＋bcos x化成Asin(ωx＋φ)形式？ 【提示】　asin x＋b cos x＝· ＝.sin (x＋φ) (sin xcos φ＋cos xsin φ)＝ 　已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)当x∈时，求函数f(x)的最大值及相应的x值． 【精彩点拨】　把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式，再研究其性质． 【自主解答】　f(x)＝2sin 2x＋cos 2xsin xcos x＋2cos2x－1＝ ＝2sin. (1)令2kπ－(k∈Z)，≤2kπ＋≤2x＋ 得k