2017-2018学年高一数学北师大版必修4课件+教师用书+练习：第1章 4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 (4份打包)

§4　正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4．2　单位圆与周期性 1.理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用.(重点( 2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.(重点( 3.理解周期函数的定义.(难点( [基础·初探] 教材整理1　正、余弦函数 阅读教材P13～P15“例1”以上部分，完成下列问题． 任意角的正弦、余弦函数的定义 (1)单位圆的定义 在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆． (2)如图1­4­1所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么： 图1­4­1 正弦函数 余弦函数 定义 点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin α 点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos α 通常表示法 y＝sin x，定义域为全体实数集，值域为[－1,1] y＝cos x，定义域为全体实数集，值域为[－1,1] 在各象限的符号 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数、余弦函数的自变量都是角．(　　) (2)正弦函数、余弦函数的角度通常用弧度制，这样有利于对三角函数的研究．(　　) (3)角α确定，则角α的正弦、余弦函数值与点P在终边上的位置无关．(　　) (4)若sin α<0，则α为第三或第四象限角．(　　) 【解析】　根据三角函数的定义，知(1)正确，(3)正确；尽管在正弦函数、余弦函数的定义中，角α的值既可以用角度制，又可以用弧度制来表示，若用角度制表示时，如30°＋sin 30°就无法进行运算，改用弧度制时，就可以运算了，即自变量的单位与函数值的单位都用十进制数统一了，因而(2)正确；若sin α<0，α的终边也可能落在y轴的负半轴上，因而(4)错．＋sin 【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 教材整理2　周期函数 阅读教材P16～P17练习以上部分，完成下列问题． 1．终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系． (1)终边相同的角的正弦函数值相等，即 sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)． (2)终边相同的角的余弦函数值相等，即 cos(x＋2kπ)＝cos x(k∈Z)． 2．一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期． 3．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)2kπ(k∈Z)是正弦、余弦函数的周期．(　　) (2)对正弦函数f(x)＝sin x有f是f(x)的周期．(　　) ，所以＝f (3)若f(x)是定义域为R，且周期为2的函数则f(－1)＝f(1)．(　　) 【解析】　(1)错误．k∈Z且k≠0时，2kπ是正弦、余弦函数的周期． (2)错误．f≠f(π)不满足任意性． (3)正确．f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√ [小组合作型] 正弦、余弦函数的定义 　已知θ的终边经过点P(a，a)，a≠0，求sin θ，cos θ. 【精彩点拨】　利用正弦函数、余弦函数的定义可求sin θ，cos θ. 【自主解答】　当a>0时，r＝.＝，cos θ＝＝a，得sin θ＝＝ 当a<0时，r＝.＝－，cos θ＝＝－a，得sin θ＝＝－ 利用三角函数的定义求值的策略 1．求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离． 2．若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． 3．若已知角，则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标． [再练一题] 1．已知角α的终边在直线y＝2x上，求角α的正弦值和余弦值. 【导学号：66470006】 【解】　设直线上任意一点P(a,2a)，a≠0， 则r＝|a|.＝ 当a>0时，sin θ＝，＝＝ cos θ＝.＝＝ 当a<0时，sin θ＝，＝－＝－ cos θ＝.＝－＝ 三角函数值的符号判断 　(1)判断符号：sin 340°·cos 265°； (2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限． 【精彩点拨】　(1)由角的终边所在象限分别判断三角函数值的符号，进一步确定各式符号． (2)根据正弦、余弦在各个象限的符号确定2α的象限，进而确定α所在的象限． 【自主解答】　(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角， ∴sin 340°<0，cos 265°<0， ∴sin 340°·