2017-2018学年高一数学北师大版必修4课件+教师用书+练习：第1章 7 正切函数 (3份打包)

§7　正切函数 7.1　正切函数的定义 7.2　正切函数的图像与性质 7.3　正切函数的诱导公式 1．理解任意角的正切函数的定义． 2．能画出y＝tan x的图像．(重点) 3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间内的单调性．(重点) 4.正切函数诱导公式的推导及应用．(难点) [基础·初探] 教材整理1　正切函数的定义、图像及性质 阅读教材P36～P38“动手实践”以上部分，完成下列问题． 1．正切函数的定义 在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)． 叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值 2．正切线 如图1­7­1所示，线段AT为角α的正切线． 图1­7­1 3．正切函数的图像与性质 图像 性 质 定义域 值域 R 奇偶性 奇函数 周期性 周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π 单调性 在，k∈Z上是增加的 对称性 该图像的对称中心为，k∈Z 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数y＝tan x的定义域为R.(　　) (2)正切函数y＝tan x的最小正周期为π.(　　) (3)正切函数y＝tan x是奇函数．(　　) (4)存在某个区间，使正切函数为减函数．(　　) 【解析】　(1)y＝tan x的定义域为 . (2)y＝tan x的周期为kπ(k∈Z)，最小正周期为π. (3)因为y＝tan x的定义域 关于原点对称，且tan(－x)＝－tan x，故为奇函数． (4)由图像知，不存在递减区间． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 教材整理2　正切函数的诱导公式 阅读教材P38～P39例1以上部分，完成下列问题． 正切函数的诱导公式 角x 函数y＝tan x 记忆口诀 kπ＋α(k∈Z) tan α 函数名不变， 符号看象限 －α －tan α π－α －tan α π＋α tan α ＋α －cot α 函数名改变， 符号看象限 －α cot α 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)tan＝cot α.(　　) (2)对任意α∈R，都有tan(－α)＝－tan α(　　) (3)tan(kπ－α)＝－tan α.(　　) 【解析】　(1)tan＝＝tan tan＝cot α，所以(1)正确． (2)当α＝＋kπ，k∈Z，tan α没有意义，此时，tan(－α)＝－tan α不成立． (3)tan(kπ－α)＝－tan α，故(3)正确． 【答案】　(1)√　(2)×　(3)√ [小组合作型] 利用定义求正切值 　如图1­7­2，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，π)． 图1­7­2 (1)若已知角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，求tan θ； (2)若已知Q，试求tan α. 【精彩点拨】　求出角的终边与单位圆的交点后，利用正切函数的定义求解． 【自主解答】　(1)∵角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称，且P， 故θ的终边与单位圆交于P′， 则tan θ＝.＝－ (2)∵∠AOQ＝α且Q， ∴tan α＝.＝ 1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝. 2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置． 3．tan α＝知其中两个，可求另一个． [再练一题] 1．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，求tan α的值. 【导学号：66470022】 【解】　由题意知cos α＝<0，，∴b＝±3.又cos α＝－＝－ ∴P在第二象限，∴b＝3. ∴tan α＝－. 利用诱导公式求值或化简 　(1)化简：； (2)求值：. 【精彩点拨】　解答本题可依据先用周期性或关于－α的诱导公式，把角绝对值“化小”，再利用恰当的公式化简． 【自主解答】　(1)原式＝ ＝＝－cos α. (2)原式＝. ＝2－＝＝ 在使用诱导公式化简时，一定要记准诱导公式中名称变还是不变以及准确判断角所在象限.一般地，我们将α看作锐角(实质上是任意角(，那么π－α，π＋α，2π－α，－α分别是第二、三、四、二、一象限的角. ＋α， [再练一题] 2．(1)化简：； (2)若a＝，求a2＋a＋1的值． 【解】　(1) ＝＝ ＝＝1. (2)a＝ ＝＝ ＝＝1， ∴a2＋a＋1＝1＋1＋1＝3. 正切函数的图像及应用 　利用正切函数的图