2017-2018学年高一数学北师大版必修4课件+教师用书：第2章 章末分层突破 (2份打包)

章末分层突破 [自我校对] ①单位向量 ②坐标表示 ③数乘向量 ④坐标 ⑤夹角公式 平面向量的线性运算 1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算． 2．向量线性运算的结果仍是一个向量．因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面． 3．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题． 4．题型主要有证明三点共线、两直线平行、线段相等、求点或向量的坐标等． 　已知△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将OB分成2∶1的一个分点，DC和OA交于E，设＝b(如图2­1)，＝a， 图2­1 (1)用a，b表示向量； ， (1)若，求实数λ的值. ＝λ 【导学号：69992030】 【精彩点拨】　(1)根据平行四边形法则求解． (2)结合三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理求解． 【规范解答】　(1)∵A为BC的中点， ∴)，＋(＝ ∴＝2a－b，－＝2 b.b＝2a－＝2a－b－－＝－＝ (2)若－＝λ－＝，则＝λ ＝λa－(2a－b) ＝(λ－2)a＋b. ∵，＝m共线，∴存在实数m，使得与 即(λ－2)a＋b＝m， ∴(λ＋2m－2)a＋b＝0. ∵a，b不共线， ∴.解得λ＝ [再练一题] 1．(1)若a，b是不共线的两个向量，且a与b的起点相同，则实数t为何值时，a，tb，(a＋b)三个向量的终点在一条直线上？ (2)已知A(－1,1)，B(1,5)，C(x，－5)，D(4,7)，共线，求x的值． 与 【解】　(1)由题易知，存在唯一实数λ.使得 a－tb＝λλb，λa－＝ ∴ ∴t＝时，三向量共线．，即当t＝ (2)＝(4－x,12)．＝(2,4)， ∵，∴2×12＝4(4－x)，∥ ∴x＝－2. 向量的夹角、垂直及长度问题 1.求夹角问题 求向量a，b夹角θ的步骤：(1)求|a|，|b|，a·b；(2)求cos θ＝(夹角公式)；(3)结合θ的范围[0，π]确定θ的大小．因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小． 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则cos θ＝. ＝ 2．垂直问题 这类问题主要考查向量垂直的条件：若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 3．向量的模 (1)|a|2＝a2，|a|＝. (2)若a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2， |a|＝. 　(1)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|＝ . (2)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为 ． (3)若|a|＝1，|b|＝，(2a－b)⊥b，求a与b的夹角． 【精彩点拨】　(1)利用模与数量积进行转化求解． (2)结合已知条件利用向量的夹角公式计算． (3)利用垂直关系结合数量积运算求解． 【规范解答】　(1)因为|a＋b|＝，所以|a＋b|2＝13， 即(a＋b)2＝13，|a|2＋2a·b＋|b|2＝13.又因为a与b的夹角为120°，|a|＝3，所以9＋2×3×|b|·cos 120°＋|b|2＝13，|b|2－3|b|－4＝0，解得|b|＝4或|b|＝－1 (舍)． (2)设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝.，因为0≤θ≤π，所以θ＝ 【答案】　(1)4　(2) (3)由(2a－b)⊥b，则(2a－b)·b＝0， 即2a·b－b2＝0，所以2|a||b|cos θ－|b|2＝0， 即2×.cos θ－2＝0，所以cos θ＝ 又∵0≤θ≤π，∴θ＝. [再练一题] 2．已知c＝m a＋n b，c＝(－2，求实数m，n的值及a与b的夹角θ. π，b·c＝－4，|a|＝2，2)，a⊥c，b与c的夹角为 【解】　∵c＝(－2，2)，∴|c|＝4. ∵a⊥c，∴a·c＝0. ∵b·c＝|b||c|cos ＝－4.π＝|b|×4× ∴|b|＝2. ∵c＝m a＋n b，∴c2＝m a·c＋n b·c， ∴16＝n×(－4)，因此n＝－4. 在c＝m a＋n b两边同乘以a， 得0＝8m－4a·b. ① 在c＝m a＋n b两边同乘以b，得m a·b＝12. ② 由①②，得m＝±， ∴a·b＝±2， ∴cos θ＝.＝± ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π.或 向量的实际应用 1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量