四川省绵阳市2017届高三第三次诊断性考试数学（理）试题（图片版）

绵阳市高2014级第三次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CDABA ABDDC BB 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．2 14．4 15．120 16．9 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解 ：（Ⅰ）把(a+c)2=b2+3ac整理得，a2+c2-b2=ac， 由余弦定理有cosB= ， ∴ B= ． ………………………………………………………………………4分 (Ⅱ)△ABC中，A+B+C=π，即B=π-(A+C)，故sinB=sin(A+C)， 由已知sinB+sin(C-A)=2sin2A可得sin(A+C)+sin(C-A)=2sin2A， ∴ sinAcosC+cosAsinC+sinCcosA-cosCsinA=4sinAcosA， 整理得cosAsinC=2sinAcosA． ………………………………………………7分 若cosA=0，则A= ， 于是由b=2，可得c= ， 此时△ABC的面积为S= = ． ………………………………………9分 若cosA≠0，则sinC=2sinA， 由正弦定理可知，c=2a， 代入a2+c2-b2=ac整理可得3a2=4，解得a= ，进而c= ， 此时△ABC的面积为S= = ． ∴ 综上所述，△ABC的面积为 ． ……………………………………12分 18．解：(Ⅰ)补全的列联表如下： 年轻人 非年轻人 合计 经常使用共享单车 100 20 120 不常使用共享单车 60 20 80 合计 160 40 200 于是a=100，b=20，c=60，d=20， …………………………………………4分 ∴ >2.072， 即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关． ………………6分 (Ⅱ) 由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为 10%，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1， ∵ X~B(3，0.1)，X=0，1，2，3， ∴ ， ， ， ， ∴ X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.729 0