北京市东城区2017届高三4月综合练习（一）数学（理）试题（PDF版）

$$ 东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一） 高三数学参考答案及评分标准 （理科） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）A （2）C （3）B （4）D （5）B （6）D （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10） （11） （12）己巳 （13） （14） 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）由余弦定理及题设 ， 得 ． 由正弦定理， ， 得 ． ……………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知． ． 因为， 所以当，取得最大值．…………………13分 （16）（共13分） 解：（Ⅰ） ． 由表 知使用 共享单车方式人群的平均年龄的估计值为： 方式： . 答： 共享单车方式人群的平均年龄约为 岁. ……………5分 （Ⅱ）设事件为“男性选择种共享单车”， ， 设事件为“女性选择种共享单车”， ， 设事件为“男性使用单车种类数大于女性使用单车种类数”. 由题意知， . 因此 . 答：男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率为 . ……11分 （Ⅲ）此结论不正确. ……………………………13分 （17）（共14分） 解：（Ⅰ）在直角三角形中，因为 ，为中点， 所以． 因为平面平面， 平面 ， 所以平面． 因为平面， 所以． 在等边△中，为中线， 所以． 因为， 所以平面． ……………………………5分 （Ⅱ）在△ 中，取 中点 ，连接 ，所以 ． 在平面 中，过 作 的平行线，交于． 因为平面平面， 所以平面． 所以 ． 因为两两垂直， 如图建立空间直角坐标系． 设，则相关各点坐标为： ，，，，， ，． ，． 设平面的法向量为， 则，即 令，则， ． 所以． 平面的法向量为 ， 设 的夹角为，所以． 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为．…………………………10分 （Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得． 因此点，． 由（Ⅰ）知平面，． 所以． 因为∥， 所以． 又 ， 所以 平面 ． 所以为平面的法向量． ． 因为平面，所以∥平面当且仅当， 即． 解得． 因为，所以在棱上存在点，使得∥平面， 此时． …………………………14分 （18）（共13分） 解：（Ⅰ）的定义域为． 当 时， ， 所以 ． 因为 且 ， 所以曲线在点处的切线方程为 ．…………4分 （Ⅱ）若函数在上为单调递减， 则在上恒成立． 即在上恒成立．[来源:学科网ZXXK] 即在上恒成立． 设 ， 则． 因为， 所以当时，有最大值． 所以的取值范围为． ……………………9分 （Ⅲ）因为，不等式等价于． 即，令，原不等式转化为． 令， 由（Ⅱ）知在上单调递减， 所以在 上单调递减． 所以，当时，． 即当时，成立． 所以，当时，不等式成立．……………………13分 （19）（共14分） 解：（Ⅰ）由题意得解得． 所以椭圆的方程为． …………………………5分 （Ⅱ）设点，，． ①，在轴同侧，不妨设 ． 射线的方程为，射线的方程为， 所以，，且． 过作轴的垂线，垂足分别为，， ． 由得， 即， 同理，所以，，即，[来源:学科网] 所以，． ② ，在轴异侧，方法同 ①． 综合①②，△ 的面积为定值 ． ………………14分 （20）（共13分）[来源:学科网] 解：（Ⅰ）由于 ， ， 所以 ， ， ， ，回答其中之一即可 ………3分 （Ⅱ）若集合 ，如果集合 中每个元素加上同一个常数 ，形成新的集合 . ……………5分 根据 定义可以验证： . ……………6分 取 ，此时 . 通过验证，此时 ，且 . ……………8分 （