北京市东城区2017届高三3月综合练习（一）数学（文）试题（PDF版）

北京市东城区2016-2017学年第二学期高三综合练习（一） 数学（文科）参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）D （2）C （3）A （4）B （5）B （6）A （7）D （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10） （11） （12） ， （13） ， （14） 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分） 解:(Ⅰ) 点 在函数 的图象上， . EMBED Equation.3 . ------------------6分 (Ⅱ)由 , 得 , 函数 的单调减区间为 函数 在 上的单调减区间为 ------------------ 13分 （16）（共13分） 解：（Ⅰ） 等差数列中， , . . 数列的通项公式为. ------------------6分 （Ⅱ） 数列是等差数列, ,[来源:学_科_网Z_X_X_K] EMBED Equation.3 . . , ，． 成等比数列， ． . 即， 解得. ------------------13分 （17）（共14分） 解：（I） 因为 是平行四边形 对角线交点，所以 为 中点 又 为棱 中点，所以 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ……………………5分 （II） 因为 ， 所以 又 ， ， 所以 因为 ， 所以 ……………………10分 （III）因为 是平行四边形 对角线交点，所以 为 中点 又 ， ，可求得 因为 ，所以 所以 ……………………14分 （18）（共13分） 解答：（Ⅰ）由数据分组及频数分布表可知， ； ……………………4分 （Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A，那么 ……………………8分[来源:Zxxk.Com] （Ⅲ）因为该小区居民月用水量低于这一标准的比例为35%， 所以由图可知, 小区人均月用水量低于 立方米，则称为“节水小区”. ……………………10分 由图可知，三个月后的该小区人均月用水量为 所以三个月后该小区达到了“节水小区”标准. ……………………13分 （19）（共13分） 解：（Ⅰ）由已知， ，解得 . 所以椭圆 的标准方程为 ，离心率 . ……………………4分 （Ⅱ）由题意可知 ，由此可求得 所以 点轨迹为以原点为圆心，半径为 的圆，显然 点在椭圆 的内部 所以 当直线 一条为椭圆的长轴，一条与 轴垂直时，例如 为长轴， 时 把 代入椭圆方程，可求得 ，由此 ，又 所以此时 [来源:Z*xx*k.Com] 当直线 的斜率都存在时， 设直线 ，设 联立 消去 可得 [来源:Z。xx。k.Com][来源:Zxxk.Com] 所以 . 同理，由 可求得 综上，四边形 面积的最大值为 ，此时直线 一条为椭圆的长轴，一条与 轴垂直. ……………………13分 （20）（共14分） 解析：(Ⅰ) 由 求得 ，代入 令 得 ， 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减． ……………………4分 (Ⅱ) 由 求得 时，当 时， 恒成立， 单调递增，又 此时 在区间 内没有零点； 当 时，当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减． 又 此时欲使 在区间 内有零点，必有 ． 无解 当 时，当 时， 恒成立， 单调递减 此时欲使 在区间 内有零点，必有 ． 综上， 的取值范围为 ． ……………………9分 (Ⅲ)不能．原因如下： 设 有两个极值点 ， ，则导函数 有两个不同的零点 ，且 ， 为方程 的两根 同理 由此可知过两点 ， 的直线方程为 若直线过点 ，则 前面已经讨论过若 有两个极值点，则 ，显然不合题意． 综上，过两点 ， 的直线不能过点 ． ……………………14分 $$ $$