2017春北师大版九年级数学下册（导学案+检测）2.4 二次函数的应用 （6份打包）

2.4 二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决面积问题 1.经历数学建模的基本过程. 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值. [来源:学.科.网Z.X.X.K] 阅读教材第46至47页,自学“议一议”“例1”，能根据几何图形及相互关系建立二次函数关系式，体会二次函数这一模型的意义. 自学反馈 学生独立完成后集体订正 ①如图，点C是线段AB上的一点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( A ) A.当C是AB的中点时，S最小 B.当C是AB的中点时，S最大 C.当C为AB的三等分点时，S最小 D.当C是AB的三等分点时，S最大 ②用长8 m的铝合金制成如图所示的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是 m2. [来源:学*科*网Z*X*X*K] 第②题图 第③题图 ③如图所示，某村修一条水渠，横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 cm，当水渠深x为 时，横断面面积最大，最大面积是 . 先列出函数的表达式，再根据其增减性确定最值. 活动1 小组讨论 例1 某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)？此时，窗户的面积是多少？ 解：由题意可知4y+ ×2πx+7x=15.化简得y= . [来源:学#科#网] 设窗户的面积为S m2，则S= πx2+2x× =-3.5x2+7.5x. ∵a=-3.5<0，∴S有最大值.∴当x=- = ≈1.07 (m)时， S最大= ≈4.02(m2).即当x≈1.07 m时，窗户通过的光线最多. 此时，窗户的面积是4.02 m2. 此题较复杂，特别要注意:中间线段用x的代数式来表示时，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内.[来源:Zxxk.Com] 活动2 跟踪训练(小组讨论解题思路共同完成并展示) 如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，两腰之间有两条竖直甬道，且它们的宽度相等，设甬道的宽为x米. ①用含x的式子表示横向甬道的面积； ②当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； ③根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？ 解：①150x m2；②5 m；③当甬道宽度为6 m时，所建花坛总费用最少，为238.44万元. 想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形. [来源:学科网ZXXK] 活动1 小组讨论 例2 如图，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？ 解:设矩形纸较短边长为a，设DE=x，则AE=a-x. 那么两个正方形的面积和y为y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2.当x= a时， y最小=2×( a)2-2a× a+a2= a2. 即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小. 此题关键是充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 如图，有一块空地，空地外有一面长10 m的围墙，为了美化生活环境，准备靠墙修建一个矩形花圃，用32 m长的不锈钢作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为1 m的通道及在左右花圃各放一个1 m宽的门，花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？ 解：当x=6.25 m时，面积最大为56.25 m2 . 此题要结合函数图象求解，顶点不在取值范围内. 活动3 课堂小结 学生试述:这节课你学到了些什么？ 教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分. $$ 第2课时 利用二次函数解决利润问题