2.4二次函数应用(2)（最大利润） 导学案 2024-2025学年 北师大版九年级数学下册

2.4二次函数应用(2)（最大利润） 导学案 【学习目标】探索商品销售中最大利润等问题,运用二次函数的知识求出实际问题的最值. 【学习重难点】运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值． 【导学过程】 一.知识回顾 1.销售利润常用相等关系是:①销售总利润=单件利润×销售量,②利润=售价-成本价. 2.求出下列二次函数的对称轴，顶点坐标及最值: （1）y=-2(x+2)2+15 （2）y=2x2+4x+12 （3）y=(10-x)(10+2x) 对称轴 ________ ___________ ____________ 顶点坐标 ___________ ____________ ____________ 最值 ____________ ____________ ____________ 3.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ） A．y=60（300+20x） B．y=（60﹣x）（300+20x） C．y=300（60﹣20x） D．y=（60﹣x）（300﹣20x） 二.探究新知 引例1.服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析:厂家批发单价是多少时,可以获利最多?是多少元？ 解：设批发单价下降0.1x元，(0≤x<30)所获利润为y元,那么 （1）批发价为：____________元，销售量为：____________件， （2）销售额为：________________________元， （3）所获利润为： ____________________________________________________________ ∵－50＜0，∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x=________时，y最大值=________ 答：当批发单价是____元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是________元． 另解：若设批发单价为x元，则：[来源:Zxxk.Com] 单件利润为：________元；降价后的销售量为：________________________件； 销售利润用y元表示，则 ∵－5000＜0，∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x＝____元时，y最大＝________元． 答：当批发单价是____元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是_________元． 【归纳】生活因数学而精彩,数学因生活而完美. ①先将实际问题转化为数学问题，②再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，③然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，④有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值. 引例2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）． (1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围. (2)设宾馆一天的利润为w元，直接写出w与x的函数关系式. (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 三.典例与练习 例1.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大?最大值是多少个？ 练习1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润? 四.课堂小结 ※一种解题方法：求“最大利润”和“最高产量”. 解决此类问题的基本思路：①.理解问题;②.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;③.用数学的方式表示出它们之间的关系;④.做数学求解;⑤.检验结果的合理性,拓展等. ※一种数学思想：数形结合 ※一种生活态度：生活中处处有数学，数学让生活更美好 五.分层过关 1.抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ） A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2） 2.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为____元时，该服装店平均每天的销售利润最大． 3.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元。(每人单价不得低于600元)你能帮忙计算一下，当一个旅游团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额吗？ 4.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）的函数关系是：____________。 (2)求当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 思考题： 5.某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y1（元)与x(m2)的函数关系图象如图所示，栽花所需费用y2（元)与x(m2)的函数关系式为y2=-0.01x2-20x+30000(0≤x≤1000)． （1）y1与x的函数关系式:______________________________________； （2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元)，W与x的函数关系式为： ___________________________________________， 当x=____时，绿化总费用W的最大值为________元 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4二次函数应用(2)（最大利润） 导学案 【学习目标】探索商品销售中最大利润等问题,运用二次函数的知识求出实际问题的最值. 【学习重难点】运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值． 【导学过程】 一.知识回顾 1.销售利润常用相等关系是:①销售总利润=单件利润×销售量,②利润=售价-成本价. 2.求出下列二次函数的对称轴，顶点坐标及最值: （1）y=-2(x+2)2+15 （2）y=2x2+4x+12 （3）y=(10-x)(10+2x) 对称轴 直线：x=-2 直线：x=-1 直线：x=2.5 顶点坐标 (-2,15) (-1,10) (2.5,112.5) 最值 x=-2时，y最大值=15 x=-1时，y最小值=10 x=2.5时，y最大值=112.5 3.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（B） A．y=60（300+20x） B．y=（60﹣x）（300+20x） C．y=300（60﹣20x） D．y=（60﹣x）（300﹣20x） 二.探究新知 引例1.服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析:厂家批发单价是多少时,可以获利最多?是多少元？ 解：设批发单价下降0.1x元，(0≤x<30)所获利润为y元,那么 （1）批发价为：（13-0.1x）元，销售量为：(5000+500x)件， （2）销售额为：(5000+500x）（13-0.1x）元， （3）所获利润为： y=(5000+500x）（13-0.1x-10）=-50(x-10)2+20000 ∵－50＜0，∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x=10时，y最大值=20000 答：当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20000元． 另解：若设批发单价为x元，则： 单件利润为：(x－10)元；降价后的销售量为：(5000＋×500)件； 销售利润用y元表示，则 y＝(x－10)(5000＋×500)＝－5000(x2－24x＋140) ＝－5000(x－12)2＋20000 ∵－5000＜0，∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x＝12元时，y最大＝20000元． 答：当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20000元． 【归纳】生活因数学而精彩,数学因生活而完美. ①先将实际问题转化为数学问题，②再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，③然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，④有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值. 引例2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）． (1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围. (2)设宾馆一天的利润为w元，直接写出w与x的函数关系式. (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 解:（1）y=50-0.1x；（2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50-0.1x）=-0.1x2+34x+8000 （3）∵w=-0.1x2+34x+8000 所以x=170时，w有最大值，而170>160,故当x=160时，利润最大，此时订房数y=50-0.1x=34， 此时的利润为10880元. 三.典例与练习 例1.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大?最大值是多少个？ 解：设果园增种x棵橙子树,总产量为y个,则 y=(100+x)(600-5x)=-5(x-10)2+60500 ∵-5<0,∴当x=10时，总产量最大，最大产量为60500个. 答：增种10棵橙子树时,总产量最大为60500个. 练习1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润? 解：设销售价为x元(x≥30元), 利润为y元,则 y=(x-20)[400-20(x-20)]=-20(x-35)2+4500 ∵-20<0,∴当x=35时，在半月内获得最大利润4500元. 答：提高售价5元时，在半月内获得最大利润4500元. 四.课堂小结 ※一种解题方法：求“最大利润”和“最高产量”. 解决此类问题的基本思路：①.理解问题;②.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;③.用数学的方式表示出它们之间的关系;④.做数学求解;⑤.检验结果的合理性,拓展等. ※一种数学思想：数形结合 ※一种生活态度：生活中处处有数学，数学让生活更美好 五.分层过关 1.抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（D） A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2） 2.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为22元时，该服装店平均每天的销售利润最大． 3.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元。(每人单价不得低于600元)你能帮忙计算一下，当一个旅游团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额吗？∵800-10（x-30）≥600∴x≤50 ∴当x=50时，利润y最大，达到30000元． 答：当一个旅游团的人数是50人时，旅行社可以获得最大营业额. 解：设旅行团的人数为x人，利润为y元，由题意得： y={800﹣[10（x﹣30）]}x=x（1100﹣10x） =﹣10x2+1100x=﹣10（x2﹣110x） =﹣10[（x﹣55）2﹣3025] =﹣10（x﹣55）2+30250，（x≥30） 4.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）的函数关系是：y=﹣3x+240。 (2)求当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解：（2）由题意得：w=（x﹣40）（﹣3x+240）=﹣3x2+360x﹣9600； w=﹣3x2+360x﹣9600∵a＜0∴抛物线开口向下． 当时，w有最大值．又∵x＜60时，w随x的增大而增大． ∴当x=55元时，w的最大值为1125元．∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润． 思考题： 5.某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y1（元)与x(m2)的函数关系图象如图所示，栽花所需费用y2（元)与x(m2)的函数关系式为y2=-0.01x2-20x+30000(0≤x≤1000)． （1）y1与x的函数关系式:； （2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元)，W与x的函数关系式为： ， 当x=500时，绿化总费用W的最大值为32500元 1 学科网（北京）股份有限公司 $$