[]湖南省长沙市长望浏宁四县（宁乡一中、雷锋学校等十三校）2017届高三3月模拟考试数学（理）试题（图片版）

理科数学答案第 1 页 （共 7 页） 1 2017 年长望浏宁四县模拟考试 理科数学参考答案 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ACADC BACCB DB 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13. 2π 3 14. -6 15. 66 16. [ 1,1] 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 解：（Ⅰ）因为 2 cos cos c b B a A   ， 所以 (2 ) cos cosc b A a B    由正弦定理，得 (2sin sin ) cos sin cosC B A A B    ． 整理得 2sin cos sin cos sin cosC A B A A B     ． 所以 2sin cos sin( ) sinC A A B C    ． 在△ ABC中， 0sin C ． 所以 1 cos 2 A  ， 3 A    ．………6 分 （Ⅱ）由余弦定理 2 2 2 1 cos 2 2 b c a A bc     ， 2 5a  ． 所以 2 2 20 2 20b c bc bc     所以 20bc  ，(当且仅当b c 时取“=”)． 所以三角形的面积 1 sin 5 3 2 S bc A  ． 所以三角形面积的最大值为5 3 ． ……………………12 分 18（本题满分为 12 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD为菱形， 060 ,BAD Q  是 AD的 中点． （1）若PA PD ，求证：平面PQB 平面PAD； （2）若平面 APD 平面 ABCD，且 2PA PD AD   ，点M 在线段PC上且满足 1 3 PM PC  ，求二 面角M BQ C  的大小. （1）证明：∵ ,PA PD Q 为 AD的中点，∴PQ AD ． 又∵底面 ABCD为菱形， 060BAD  ， 理科数学答案第 2 页 （共 7 页） 2 ∴BQ AD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 分 又PQ BQ Q ，∴ AD 平面PQB．．．．．．．．．．．．4 分 又∵ AD 平面PAD， ∴平面PQB 平面PAD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 （2）∵平面PAD 平面 ABCD，平面PAD平面 ,ABCD AD PQ AD  ， ∴PQ 平面 ABCD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 分 以Q为坐标原点，分别以 , ,QA QB QP为 , ,x y z轴，建立空间直角坐标系（如图）， 则        0,0,0 , 0,0, 3 , 0, 3,0 , 2, 3,0Q P B C  ．．．．．．．．．．．．．8 分 由 1 3 PM PC  PMPC 3 ) 3 32 , 3 3 , 3 2 ( M 平面CBQ的一个法向量  1 0,0,1n   ， 设平面MBQ的法向量为  2 , ,n x y z  ， 由       0 0 2 2 nQB nQM ，得      0 3 y zx ，令 1z ，得 )1,0,3(2 n ．．．．．．．．10 分 设二面角M BQ C  的大小为， 则 2 1 |,cos|cos 21  nn ， 所以，二面角M BQ C  的大小为 60 ．．．．．．．．．．．．．12 分 或作出二面角的平面角 MGF ， 3tan MGF ，  60MGF 19（本小题满分 12 分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016 年“双 11”期间，某购物平 台的全天总交易额达到了 1207.49 亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评 价体系．现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6，对服务的 好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次． （1）请完成关于商品和服务评价的 2 2 列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下， 认为商品好评与服务好评有关？