[]湖南省衡阳市2017届高三下学期第一次联考数学（理）试题（扫描版）

2017届高中毕业班联考（一） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1-6:BCDADD 7-12:CABACB 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13． 14．68 15． 16．②④⑤ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分) 已知数列 的前 项和为 ，且对任意正整数 都有 成立. （Ⅰ）记 ，求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 . 【解析】 （Ⅰ）在 中，令 得 . 因为对任意正整数 ，都有 成立，所以 ， ----------------2分[来源:学科网ZXXK] 两式相减得 ，所以 ， ----------------4分 又 ，所以 为等比数列，所以 ，所以 . ----------------6分 （Ⅱ） ， ----------------8分 所以 ----------------10分 ----------------12分 18．(本小题满分12分) 已知四棱柱 的底面是边长为 的菱形，且 ， 平面 ， ，设 为 的中点 （1）求证： 平面 ； （2）点 在线段 上，且 平面 ，求平面 和平面 所成锐角的余弦值． 【解析】 （1）证明：由已知该四棱柱为直四棱柱，且 为等边三角形， 所以 平面 ，而 平面 ，故 ----------------2分 因为 的三边长分别为 ，故 为等腰直角三角形 所以 ，结合 且 可知： 平面 ----------------4分 （2）解：取 中点 ，则由 为等边三角形 知 ，从而 以 为坐标轴，建立如图所示的坐标系 此时,，设 ----------------6分 由上面的讨论知平面 的法向量为 由于 平面 ，故 平面 EMBED Equation.3 故 ，故 ----------------8分 设平面 的法向量为 ， 由 知 ，取 ，故 ----------------10分 设平面 和平面 所成锐角为 ，则 即平面 和平面 所成锐角的余弦值为 ----------------12分 19．(本小题满分12分) 根据国家《环境空气质量标准》规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平