精品解析：北京市育英学校2026-2027学年上学期八年级期中考试数学试卷

2026-2027学年度第一学期期中考试试卷 八年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（　　） A. （4，1） B. （﹣1，4） C. （﹣4，﹣1） D. （﹣1，﹣4） 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号即可得出答案． 【详解】∵点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称， ∴点A的坐标是：（4，1）， 故选A． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法运算，积的乘方运算和合并同类项，根据相关运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用22纳米米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考用科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键． 用科学记数法表示较小数时的形式是，其中为原数中从左边起第一个非零数字前面所有零的个数（包含小数点前面的零)，即可确定的值． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 故选：B． 5. 下列变形正确的是( ) A. ＝ B. ＝0 C. D. ＝－1 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式的性质一一判断即可． 【详解】A、≠，故本选项不符合题意； B、＝1，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项正确. 故选D． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是记住：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 6. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ∴当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，无法证明； 故选：D． 7. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、 内角和定理、角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，然后计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的平分线，， ， 点D在的垂直平分线上， ， ， 。 故选：B. 8. 如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ） A. 180° B. 200° C. 210° D. 240° 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，则可根据“”判断，所以，然后利用得到． 【详解】解：过点作于，如图， 是的角平分线，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定与性质．利用角平分线性质构造全等三角形是解题关键． 9. 如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理， 根据折叠的性质和平角的定义可知，再根据三角形内角和定理得，将三个式子结合可得答案． 【详解】解：根据折叠可知， 即． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 10. 如图，中，交 于 ，平分 交 于 ，为 的延长线上一点，交 的延长线于 ，的延长线交 于 ，连接，下列结论：①，②，③，④其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，以及角平分线的性质，根据三角形内角和即可判断①，根据角平分线性质得到，由三角形内角和可得，再对其进行变形，即可判断②，根据角平分线性质和三角形面积公式，即可判断③，根据三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质，即可判断④． 【详解】解：记于点，如图所示： ，， ， ， ，即①正确； 平分 交 于 ， ， ， 即②正确； 平分 交 于 ， 点到，的距离相等， ， 即③正确； ，， ， ， ， ， 即④正确； 综上所述，正确的有①②③④共4个， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若分式有意义，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于零．据此列式求解即可． 【详解】∵分式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 因式分解：5x2﹣10x+5=_____． 【答案】5（x﹣1）2 【解析】 【详解】原式=5（x2﹣2x+1）=5（x﹣1）2. 故答案为：5（x﹣1）2. 13. 计算的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式的乘方法则计算，再根据分式的乘除的运算顺序，通过约去公因式化简得到结果． 【详解】解：原式 ． 14. 如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案． 【详解】解： 是的垂直平分线．， 的周长 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 15. 如图，已知AB//CF，E为DF的中点，若AB＝7cm，BD＝3cm，则CF＝________cm． 【答案】4 【解析】 【详解】解：因为E为DF的中点， 所以DE=FE， 因为AB//CF， 所以∠A=∠ECF， 又因为∠AED=∠CEF， 所以△AED≌△CEF（AAS）， 所以AD=CF， 因为AD=AB-DB=7-3=4， 所以CF=4cm． 故答案是：4． 16. 在平面直角坐标系xOy中，对于点，，，有如下定义：若，，且，则称点M为P，Q的“k倍和点”，如，（2，1）为点，的“倍和点”．已知点，，若点C为点A，B的“k倍和点”，且的面积等于6，则k的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】先由A、B点有坐标得出ABx轴，AB=6，再根据的面积等于6，求出的AB边的高为2，从而得出点C到AB的距离=2，从侕 求得点C的纵坐标，再根据“k倍和点”的定义即可求出k值． 【详解】解：∵，， ∴ABx轴，AB=6， 设的AB边的高为h， ∵S△ABC==6，即=6 ∴h=2， 则点C到AB的距离=2， ∵点C为点A，B的“k倍和点”， 当点C在AB上方时，则yC=1， ∴1=k(-1-1)， 解得：k=-； ∵k>0， ∴k=-不符合题意，舍去， 当点C在AB下方时，则yC=-3， ∴-3= k(-1-1)， 解得：k=； 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，图形与坐标，三角形面积，理解新定义，根据三角形积求出点C纵坐标是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算∶． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，先去绝对值，进行负整数指数幂和零指数幂的计算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】按照分式混合运算的步骤，先算括号内，再将除法变乘法，最后因式分解约分即可． 【详解】解：原式 ． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】7 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和整式的乘法运算法则化简，再把变形为，然后再代入，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 20. 如图，，，为某地的三个村庄，，为两条道路，村庄根据地方特色种植大白菜和平包菜，在内部有一农产品贮存地，其到，两条道路的距离相等，且到，两个村庄的距离相等，请在图中画出点的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【解析】 【分析】先作的角平分线，确保点到，两条道路的距离相等，再作的垂直平分线，确保点到，两个村庄的距离相等，图中所作角平分线与垂直平分线的交点即为点． 【详解】图略 21. 如图，点C，A，D 在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ，， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得．由得到，即可求解的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． 22. 在阳光明媚的校园里，校园文化艺术节正如火如荼地筹备着．为了给艺术节增添绚丽的色彩，学校安排甲、乙两位心灵手巧的同学制作彩旗，制作现场两人热情满满、干劲十足．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，两人同时开始制作，甲制作好60面彩旗时，乙恰好制作了50面彩旗．问甲、乙两人每小时各制作多少面彩旗？ 【答案】甲每小时制作30面彩旗，乙每小时制作25面彩旗 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时制作x面彩旗，则甲每小时制作面彩旗，根据甲制作好60面彩旗时，乙恰好制作了50面彩旗建立方程求解即可． 【详解】解：设乙每小时制作x面彩旗，则甲每小时制作面彩旗， 根据题意得，， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合实际， ∴． 答：甲每小时制作30面彩旗，乙每小时制作25面彩旗． 23. 如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点作，，垂足分别为点，． （1）求证：． （2）若，，则_____________． 【答案】（1）证明：如图，连接，， 的平分线与边的垂直平分线相交于点，，， ，，， 在和中， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质和垂直平分线的性质，可证，，再根据“”可证，即可求证； （2）设，根据“”可得，从而，，，再根据，列出方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ，解得， ． 24. 先阅读材料，再解决问题： 已知，在求关于x的代数式的值时，可将变形为，就可以把表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”，例如：已知，求代数式的值． 解：， ， 原式， ． 请运用“降次代换法”，解答下列问题： （1）若，则代数式的值为________ （2）若，求代数式的值； （3）已知：，求代数式的值． 【答案】（1）3 （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）由得，然后对所求式子展开，再代入计算即可； （2）由得，然后对所求式子展开，并进行代换，再化简合并即可； （3）由得，然后对所求式子变形，并进行代换，再化简合并即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 故答案为：3； 【小问2详解】 ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 ， ， ， 即代数式的值为9． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确理解“降次代换法”，熟练掌握运算法则是解题的关键． 25. 如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当P在上时 ，当P在上时 ．（用含t的式子表示） （2）如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】（1）， （2）Q的运动速度为或 【解析】 【分析】（1）利用题目所给条件推导即可； （2）由可得，，设点Q的运动速度为，分①当点P位于，点Q位于上时和②当点Q位于，点P位于上时两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：动点P的速度为，运动时间为， 当点P在边上时，； 当点P在边上时，； 【小问2详解】 解：设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，， ， ，， ，， 解得：，， 此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，， ， ，， ，， 解得：，， 此时点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为或． 26. 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． （1）将假分式化为一个整数与一个真分式的和； （2）若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； （3）若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 【答案】（1） （2）或4或6 （3）75 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的化简、分式的加减等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）仿照例题操作即可得解； （2）先将化成一个整式和真分式的和，再看真分式是整数即可得解； （3）先将式化成A的形式，再得到a和b的式子，进而利用完全平方式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵为正整数，， ∴， ∴， ∵， 又，且为整数，为正整数， ∴或2或4， ∴或4或6； 【小问3详解】 解： ， ，， ，， ，， ，， ， ， 当，即时，有最小值75， 的最小值为75． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中考试试卷 八年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（　　） A. （4，1） B. （﹣1，4） C. （﹣4，﹣1） D. （﹣1，﹣4） 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用22纳米米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列变形正确的是( ) A. ＝ B. ＝0 C. D. ＝－1 6. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ） A. 180° B. 200° C. 210° D. 240° 9. 如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，中，交 于 ，平分 交 于 ，为 的延长线上一点，交 的延长线于 ，的延长线交 于 ，连接，下列结论：①，②，③，④其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若分式有意义，则实数a的取值范围是__________． 12. 因式分解：5x2﹣10x+5=_____． 13. 计算的结果是_______． 14. 如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为______． 15. 如图，已知AB//CF，E为DF的中点，若AB＝7cm，BD＝3cm，则CF＝________cm． 16. 在平面直角坐标系xOy中，对于点，，，有如下定义：若，，且，则称点M为P，Q的“k倍和点”，如，（2，1）为点，的“倍和点”．已知点，，若点C为点A，B的“k倍和点”，且的面积等于6，则k的值等于______． 三、解答题：本题共10小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算∶． 18. 计算：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，，，为某地的三个村庄，，为两条道路，村庄根据地方特色种植大白菜和平包菜，在内部有一农产品贮存地，其到，两条道路的距离相等，且到，两个村庄的距离相等，请在图中画出点的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 21. 如图，点C，A，D 在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 在阳光明媚的校园里，校园文化艺术节正如火如荼地筹备着．为了给艺术节增添绚丽的色彩，学校安排甲、乙两位心灵手巧的同学制作彩旗，制作现场两人热情满满、干劲十足．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，两人同时开始制作，甲制作好60面彩旗时，乙恰好制作了50面彩旗．问甲、乙两人每小时各制作多少面彩旗？ 23. 如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点作，，垂足分别为点，． （1）求证：． （2）若，，则_____________． 24. 先阅读材料，再解决问题： 已知，在求关于x的代数式的值时，可将变形为，就可以把表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”，例如：已知，求代数式的值． 解：， ， 原式， ． 请运用“降次代换法”，解答下列问题： （1）若，则代数式的值为________ （2）若，求代数式的值； （3）已知：，求代数式的值． 25. 如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当P在上时 ，当P在上时 ．（用含t的式子表示） （2）如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 26. 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． （1）将假分式化为一个整数与一个真分式的和； （2）若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； （3）若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $