精品解析：安徽合肥市第一中学滨湖校区2026-2027学年高二上学期11月阶段素养训练数学试题

合肥一中滨湖校区2026-2027学年高二上学期11月阶段素养训练 数学试题 一、单选题（40分） 1. 已知点不共线，为平面外一点，下列能够确定四点共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为不共线，且为平面外一点， 若点四点，共面当且仅当，且. A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D错误. 2. 在正方体中，平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】以为原点，、、的正方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 设正方体边长为1，则，，，，，，. ， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 对于A，，因为与不共线， 所以不是平面的一个法向量，故A错误； 对于B，，因为与不共线， 故不是平面的一个法向量，故B错误； 对于C，，因为与不共线， 故不是平面的一个法向量，故C错误； 对于D，，因为，所以与共线， 故是平面的一个法向量，故D正确. 3. 在四面体中，点是的重心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用重心的性质和空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】连接并延长交于，因为点是的重心，则是的中点，连接, 令，则，， 又， 所以. 即. 4. 正方体的棱长为2，，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】建系写出的坐标，用消去，把化成的二次式后配方求最小值. 【详解】以为原点，，，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，由棱长为， ，，，，， ， 所以，， ， 由，得，代入得 ， 令，则， 又由，得， 所以， 于是， 当且时，即，，两个等号同时成立，取最小值， 所以. 5. 已知点，直线经过点且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求得直线的斜率，结合图形可得直线的斜率范围. 【详解】直线CB，CA的斜率分别为， 结合图像可知，直线经过点且与线段AB相交时，. 6. 若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合图象，需使，求解即可得. 【详解】由可得圆心， 由圆心到直线的距离， 作出其图象如下，由图知， 要使圆上有且仅有个点到直线的距离为， 则有，解得． 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，点为第一象限内的一点，且，直线与双曲线交于点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合双曲线离心率为，不妨取双曲线方程为，由可得，设，则，在与中求解出,最后求出. 【详解】双曲线离心率，得，不妨令，则， 因为，所以， 设，则， 在中，， 在中，，所以，则，解得，所以. 8. 已知是双曲线的左､右顶点，是双曲线的左､右焦点，点是双曲线在第一象限内的一点，是的内心，直线交轴于点，当取最小值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】要求的最小值,可设,把两条斜率用表示,再结合双曲线方程换元,用基本不等式求最小值.取最小值时的坐标确定;然后利用焦点三角形内切圆的性质确定内心的横坐标,并用面积法求其纵坐标,最后由共线求比值. 【详解】解:双曲线中,所以,,,.设,则. 由在双曲线上得,故,. 令,则.由此得,. 于是,,代入斜率式得. 由基本不等式,,当且仅当,即时取等号. 此时,即. 设内切圆与的切点为,由切线长定理得.又,,所以. 由于,故,即与重合,所以轴,内心的横坐标为. 计算焦点距离:,. 于是半周长,面积. 记内切圆半径为,则,即. 因为共线,且在与之间,,所以. 二、多选题（18分） 9. 设均为空间非零向量，下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则共面 D. 若，且，则 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：空间非零向量中，若，说明存在非零实数使得； 同理，存在非零实数使得，代入得，， 因此，该命题正确； 选项B：由移项可得， 这仅说明与垂直，无法推出，该命题错误； 选项C：根据空间向量共面定理：如果一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合，那么这三个向量共面， 此处，满足线性组合形式，因此一定共面，该命题正确； 选项D：垂直于同一个非零向量的两个空间向量，它们的方向可以任意，不一定互相平行，该命题错误. 10. 已知圆：和直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线被圆截得的弦长为 B. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据圆的方程得到圆心坐标及半径，求出圆心到直线的距离，结合弦心距公式求解即可；对于B，结合图形判断即可；对于C，根据直线与圆相切得到，代入求解即可；对于D，根据直线与圆相交得到，代入求解即可. 【详解】圆：可化为. 圆心，半径. 圆心到直线的距离为. 对于A，当时，直线：，. 所以直线被圆截得的弦长为，A正确. 对于B，当时，. 设过圆心且与直线垂直的直线与直线交于点，与圆交于点，，则. 因为，， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个，B错误. 对于C，若直线与圆相切，则，即， 解得或. 故存在实数，使得直线与圆相切，C正确. 对于D，若直线与圆相交，则，即， 整理得，解得. 故若直线与圆相交，实数的取值范围为，D正确. 11. 已知函数对任意，定义集合．设为坐标原点，点，当直线的斜率取得最大值时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先化简分段函数的解析式，明确各段对应的图像特征，将直线斜率最大值问题转化为过原点的直线与在部分的切线问题，求出点的坐标后，代入集合的定义转化为不等式，分段求解不等式得到的范围，再逐一判断选项. 【详解】∵ 当时，， ∴ 该段解析式可改写为，对应圆心为，半径为的下半圆，. 当时，，为斜率为的射线； 当时，，为单调递增的指数函数. 画出其函数图像如下图所示： 设直线的斜率为，要使取最大值： ∵ 当时，，，故； 当时，，，故，因此最大斜率必在时取得. 设过原点的直线为，与半圆联立，得. 令判别式，解得，结合得. 代入方程解得，则，即. 根据集合定义，，代入： ∵ ，即. 分三段求解： 1. 当时，，解得; 2. 当时，，无解; 3. 当时，，∵ 单调递增，∴ . 综上，. 逐一判断选项： ∵ ，∴ ，选项正确. ∵ ，∴ ，选项错误. ∵ 是区间端点，∴ ，选项正确. ∵ ，∴ ，选项正确. 三、填空题（15分） 12. 若直线垂直于直线，则实数的值为___________． 【答案】1 【解析】 【详解】由题意得，解得. 13. 已知是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是，为圆锥底面圆周上的两点，则异面直线与所成角的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系,把异面直线与所成的角转化为方向向量的夹角,再用和差化积与正弦函数的值域求出余弦的范围,最后由余弦的单调性确定角的取值范围. 【详解】设底面圆心为.以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,并按右手系确定轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 由,底面半径,得圆锥的高.于是,. 设,,其中,.这里只要求与不重合(否则弦不存在),与,重合都不影响所成角的取值. 取,. 设异面直线与所成角为,则. 计算分子.,由和差化积公式得. 计算分母.,. 代入夹角公式并约去,得. 由于可在底面圆周上任意取定,可取得任意角,所以,从而. 异面直线所成角,且余弦函数在此区间上严格递减,所以当时,当时. 这两个端点值都可取到(例如取:当时,当时),因此. 14. 已知在四面体中，和的面积分别是3和5，二面角的平面角为120°，设为四面体内切球的球心，则经过棱与点的平面截该四面体所得截面的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设平面，在平面中从点向作高，在平面中从点向作高，利用算两次思想计算四面体的体积即可计算. 【详解】设平面， 因为点到平面和平面的距离相等，且二面角的大小为， 所以截面与平面和平面的夹角均为， 设，且， 在平面中从点向作高，长度为， 在平面中从点向作高，长度为，则， 则点到平面的距离为， 点到平面的距离为， 设截面的面积为，则四面体的总体积为 ， 因为点到平面的距离为， 所以四面体的总体积还可以表示为， 则，得. 则经过棱与点的平面截该四面体所得截面的面积为. 四、解答题（77分） 15. 已知圆与圆相交于、两点． （1）求直线的方程； （2）求弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两圆的方程相减，消去二次项即可求出公共弦所在直线的方程； （2）求出圆的圆心坐标与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合勾股定理即可求出弦长. 【小问1详解】 已知圆与圆相交于两点， 将两圆方程相减，得， 化简得，即. 所以直线的方程为. 【小问2详解】 圆的方程可化为， 所以圆的圆心为，半径. 圆心到直线的距离为. 由垂径定理及勾股定理可知，弦长. 所以弦长为. 16. 如图所示，等腰梯形中，，，为中点，将沿折起，记的新位置为． （1）求证： （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）如图，连接，取中点，连接，， 因为，，为中点， 所以， 由等腰梯形性质得，则四边形是平行四边形， 可得，同理可得， 可得，，均为正三角形， 由正三角形性质得，，且，面， 所以平面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）结合题意与平行四边形性质得到，，是正三角形，再结合正三角形性质得到，，最后利用线面垂直的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合二面角的向量求法与同角三角函数的基本关系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面，而平面， 则平面平面，所以过作平面，垂足在直线上． 在中，因为，， 所以由余弦定理得，可得， 得到，则． 如图所示，建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，， 设平面的法向量，平面的法向量， 则，令，解得，可得， 则，令，解得，可得， 得到，由同角三角函数的基本关系得， 所以二面角的正弦值为． 17. 如图，且且且平面，点为的中点，点在线段上且满足. （1）求证：平面； （2）若面与面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，， 则，且. 因为点在线段上且满足，所以. 又， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，由线面平行的判定定理可得； （2）建立空间直角坐标系，设，由面面角的向量求法结合面与面夹角的余弦值为，求得的值，再由线面角的向量求法求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为且，所以四边形是平行四边形，所以. 又平面，所以平面. 由平面，平面， 所以平面；同理由，可得平面. 又平面， 所以平面平面，所以平面. 因为且平面， 所以如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为. 由平面，知平面的一个法向量为. 所以，解得. 所以平面的一个法向量为. ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，，，平面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求四面体的外接球的表面积； （3）点在侧面内（包含边界），且平面与平面的夹角的余弦值为，求点的轨迹长度． 【答案】（1）取中点，是的中点，， ∵，，， 四边形是平行四边形，， 又 平面 平面 ， 平面 . （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，构造平行四边形，利用其性质和线面平行的判定即可证明； （2）设四面体的外接球的球心，则，利用两点间的距离公式列出的方程组，通过计算得到的值，从而得到，利用球的表面积公式求出四面体的外接球的表面积. （3）求出平面的法向量，求出平面的法向量，通过讨论和得，从而得到N的轨迹长度． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系， 因为， 所以，，，， 设四面体的外接球的球心，则， 则，解得． ，， 则四面体的外接球的表面积为. 【小问3详解】 ，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设，，则， 设平面的法向量为， 则， 当时，，可取，则N的轨迹为线段AD； 当时，取，得， 则， 化简得． 设中点为，则的轨迹为线段． 故N的轨迹长度为． 19. 已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，. （1）若，求角的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的取值范围； （3）若三角形的三边与圆相切，求周长的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理和已知条件可得的范围，进而确定及角的范围； （2）化简，结合（1）中角的范围计算； （3）分别用内切圆半径及周长和推导出来的海伦公式表示三角形面积，利用基本不等式的三元推广形式得到周长的取值范围. 【小问1详解】 在锐角三角形中，， 将代入，得，所以且. 由余弦定理可得，. 令，则. 函数在上单调递减，在上单调递增， 当或时，；当时，；所以，即. 又因为是锐角，所以. 【小问2详解】 设，，，则 . 在锐角三角形中，， ，， ，即. 令 ， 因为，所以，， 即的取值范围为. 【小问3详解】 由题意可知三角形的内切圆半径为，故. 又因为 ，当且仅当时等号成立. 所以，解得， 所以当是等边三角形时，周长最小，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一中滨湖校区2026-2027学年高二上学期11月阶段素养训练 数学试题 一、单选题（40分） 1. 已知点不共线，为平面外一点，下列能够确定四点共面的是（ ） A. B. C. D. 2. 在正方体中，平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 3. 在四面体中，点是的重心，则（ ） A. B. C. D. 4. 正方体的棱长为2，，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知点，直线经过点且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，点为第一象限内的一点，且，直线与双曲线交于点，设，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是双曲线的左､右顶点，是双曲线的左､右焦点，点是双曲线在第一象限内的一点，是的内心，直线交轴于点，当取最小值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 二、多选题（18分） 9. 设均为空间非零向量，下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则共面 D. 若，且，则 10. 已知圆：和直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线被圆截得的弦长为 B. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为 11. 已知函数对任意，定义集合．设为坐标原点，点，当直线的斜率取得最大值时，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（15分） 12. 若直线垂直于直线，则实数的值为___________． 13. 已知是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是，为圆锥底面圆周上的两点，则异面直线与所成角的取值范围为__________． 14. 已知在四面体中，和的面积分别是3和5，二面角的平面角为120°，设为四面体内切球的球心，则经过棱与点的平面截该四面体所得截面的面积为__________. 四、解答题（77分） 15. 已知圆与圆相交于、两点． （1）求直线的方程； （2）求弦长． 16. 如图所示，等腰梯形中，，，为中点，将沿折起，记的新位置为． （1）求证： （2）若，求二面角的正弦值． 17. 如图，且且且平面，点为的中点，点在线段上且满足. （1）求证：平面； （2）若面与面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，在四棱锥中，，，平面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求四面体的外接球的表面积； （3）点在侧面内（包含边界），且平面与平面的夹角的余弦值为，求点的轨迹长度． 19. 已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，. （1）若，求角的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的取值范围； （3）若三角形的三边与圆相切，求周长的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $