精品解析：北京市清华附中朝阳学校2026-2027学年高一上学期期中数学试题

2026北京清华附中朝阳学校高一（上）期中 数 学 2026年11月 一、选择题（每小题分，共分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合、，再求出集合的补集，最后进行交运算，要注意是否能取到端点值． 【详解】由，解得，所以． 由，得，所以，所以， 所以， 故选：C． 【点睛】本题主要考查集合的交、补运算，考查考生的运算求解能力及对基础知识的掌握情况． 2. 下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，函数关于直线对称，不是偶函数，故A不符合； 对于B，因为函数在上均为偶函数，所以为偶函数， 且当时，，所以函数在区间上单调递减，故B符合； 对于C，函数在上为非奇非偶函数，故C不符合； 对于D，因为函数在上均为奇函数， 所以为奇函数，故D不符合. 故选：B. 3. 若且，则下列不等式中必然成立的一个是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题设条件明确a、b的符号与绝对值关系，再通过举反例、代数式变形逐一验证各选项的必然性 【详解】由可知，a与b异号；由可知，两数中正数的绝对值大于负数的绝对值，接下来逐一分析选项 对于A项，取满足条件，但是，故A错误； 对于B项，当a为负数时，无实数意义，如，不存在，故B错误； 对于C项，对代数式因式分解可得，因为且，所以，故C错误； 对于D项，对代数式通分可得，因为且，所以，故D正确； 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】指数函数在上单调递增， ，即； 对数函数在上单调递增， ，即； 指数函数在上单调递减，且值域为， ，即. 综上所述，. 故选：A. 5. 已知,在满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设条件可得为上的减函数，故可得关于参数的不等式组，据此可求参数的取值范围. 【详解】因为，故为上的减函数， 故，故， 故选：B. 6. 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度（单位：）可以表示为，其中表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为时的飞行速度为，耗氧量的单位数为时的飞行速度为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算性质，求出结果即可. 【详解】由题意可知，化简得，解得. 故选：C. 7. 已知函数的定义域为，则“恒成立”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】函数为上增函数，，反之不成立，即可判断出结论． 【详解】函数为上增函数，，反之不成立， 例如定义在,上，，且在上满足，则有“”， “”是“函数为增函数”的必要不充分条件． 故选：B． 8. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，解得，即函数的定义域为，定义域关于原点对称； ，即函数为偶函数，函数图象关于轴对称. ； 当时，；当时，，，，得； 当时，，，，得； 当时，，，得. 对于A，函数图象关于轴对称，时，；时，；时，；故A正确； 对于B，函数图象关于轴对称，时，；时，；时，，不符合，，故B错误； 对于C，函数图象关于原点对称，不符合图象关于轴对称，故C错误； 对于D，函数图象关于原点对称，不符合图象关于轴对称，故D错误. 9. 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式和常值代换法求得的最小值，依题得到不等式，解之即得. 【详解】因，由 ，当且仅当时取等号， 即当时，取得最小值6. 因不等式恒成立，故， 即，解得. 故选：C. 10. 设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又．则下列结论中，错误的是（    ） A. B. C. 在上为增函数 D. 解集为或 【答案】C 【解析】 【分析】对于A用赋值法即可求值；对于B对条件进行适当变形即可得结论；对于C根据增函数的定义证明即可；对于D对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，，即，故B正确； 对于C，令，则，，即，所以函数为减函数，故C错误； 对于D，由，得，所以， 于是，解得或，故D正确. 故选：C 二、填空题（每小题分，共分） 11. 函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求解该带二次根式的分式型函数定义域，需联立被开方数非负、分母不为零的约束条件，取解集的交集得到最终结果. 【详解】要使得有意义，则 ，解得且，所以的定义域为. 12. 计算：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据对数运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为： 13. 已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由对勾函数的单调性得到在和的单调性上，讨论与情况下，的最大值和最小值，再根据的值域为，列出的方程或不等式，求解即得. 【详解】， 由对勾函数的单调性知， 时，单调递减；时，单调递增； ∴在处取得极小值 若，则在上单调递减，，， 因为的值域为，所以，解得； 若，则在上单调递减，在上单调递增， ，， 因为的值域为，所以，解得， 又，所以. 综上， 故答案为：. 14. 已知为正实数且满足，则的最大值是____________，的最大值为____________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】直接根据基本不等式得，进而得即可得的最大值；再根据得，进而得的最大值. 【详解】由为正实数且满足， 故根据基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是； 因为，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当且仅当时等号成立， 所以的最大值为 故答案为：； 15. 已知函数，给出下面四个结论： ①当时，只有一个零点； ②对任意，既没有最大值，也没有最小值； ③存在实数，在上单调递增； ④若存在最小值，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】求出的零点可判断①；分别求出和时的范围，根据可判断②；分别讨论和时是否在上单调递增可判断③；分和两种情况求出存在最小值时的取值范围可判断④. 【详解】对于①，当时，， 当时，令，即，解得（舍）或； 当时，令，即，方程无解， 所以当时，只有一个零点，故①正确； 对于②，当时，因为在单调递增， 所以，无最大值； 又因为在单调递增，所以， 又， 即，所以，无最小值， 所以函数既没有最大值，也没有最小值，故②正确； 对于③，当时，在单调递减，在单调递增， 所以在上不单调递增； 当时，在单调递增， 所以； 在单调递增，所以， 要使在上单调递增，则，即， 当时，显然，，不满足， 所以在上不单调递增； 当时，单调递增，单调递增， 且当时，， 又因为的增长速度比的增长速度快， 所以，不满足，所以在上不单调递增， 综上，不存在实数，使在上单调递增，故③错误； 对于④，当时，因为在单调递增， 所以； 因为在单调递增，所以， 若存在最小值，则，解得，所以； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以； 因为在单调递增，所以， 若存在最小值，则，所以， 综上，，所以的最小值为，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于分类讨论，利用函数的单调性求出分段函数各段的范围. 三、解答题（道大题，共分） 16. 已知全集，集合，. （1）分别求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），或 （2）或 【解析】 【分析】（1）解出集合、后，再利用交集、并集与补集定义计算即可得解； （2）由题意可得，再分与讨论即可得. 【小问1详解】 由，解得，则， 由，即，解得，则， 则或，故， 或； 【小问2详解】 由，则， 当时，有，则； 当时，有，解得； 综上所述：或. 17. 2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展．如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2025年的全年利润为（单位：万元）． （1）求函数的解析式； （2）当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 【答案】（1）; （2）4千辆时取得最大值30万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定信息直接求出的解析式. （2）利用二次函数、基本不等式分段求出最大值，再比较大小即得. 【小问1详解】 由函数，得 ; 【小问2详解】 当时，，在处取最大值，（万元）； 当时，（万元），当且仅当（千辆）时取等号，而，所以在千辆时取得最大值30万元. 18. 已知函数的定义域是，且满足，． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）函数在上是增函数，证明如下： 由（1）可知，设， 所以 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上是增函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）由条件可得为奇函数，则，先求出的值，然后根据，可求出； （2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行证明即可. （3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案. 【小问1详解】 因为，所以函数为奇函数， 由函数的定义域是，则，得， 又因为，所以， 经检验，当，时，，满足是奇函数， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数是定义在上的奇函数且， 则， 所以，解得， 所以的取值范围是. 19. 设函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）通过，讨论即可求解； （2），，，，，讨论求解即可； （3）分离参数，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 当时，，此时的解集为，成立； 当时，不等式的解集为，则，解得， 综上所述. 【小问2详解】 ，即为， 当时，，解得，即； 当时，即为， 对应方程的解为，， 当时，不等式为，且，不等式的解集为或，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即； 当时，，不等式为，解得，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【小问3详解】 由已知对任意的，不等式恒成立， 即恒成立，即， 又时，恒成立， 则， 又，则，当且仅当时等号成立， 综上所述. 20. 已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）当时，若，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质，结合时函数解析式，求得时函数解析式即可； （2）将不等式因式分解，把看作一个整体解一元二次不等式，代入时函数方程，解指数不等式； （3）将等式变形，先求在的值域，得到目标集合，利用二次函数对称轴与区间的位置不同分类讨论. 【小问1详解】 当时，， 当时，，， 由奇函数定义可知，，故， 故； 【小问2详解】 可化为，解得， 当时，，即，即， 又函数单调递增，故，即解集为； 【小问3详解】 时，单调递增，，，故，则， 故是在上值域的子集， 是开口向上的抛物线，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，值域为， 则有，解得； 当，即时，在上单调递减，值域为， 则有，解得； 当，即时，在上能取到最小值，， 则有，无解； 综上所述，的取值范围为. 21. 已知集合，且中至少有三个元素.如果，，，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，其中，（例如：），对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“优美子集”. （1）若集合，，判断，是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，判断集合是否集合的“优美子集”，并说明理由； （3）对于集合的非空子集，证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“优美子集”. 【答案】（1）具有，不具有，理由如下： 取，，，满足，，是偶数， 所以集合具有性质； 集合中所有元素均为奇数，任意三个元素的和为奇数，不满足条件③， 所以不具有性质. （2）是，理由如下： 由是偶数，得实数是偶数， ①若，则由，得，矛盾. ②若，则，，.由，得，故，满足题意， 所以集合. ，，， 所以是的“优美子集”. （3） 先证充分性：是集合的“优美子集”具有性质. 集合是集合的“优美子集”，所以存在三个互不相同的，，， 不妨设，使得，，. 且，， 为偶数， 所以集合具有性质. 再证必要性：具有性质是集合的“优美子集”. 集合具有性质，所以中存在，，， 同时满足①；②；③为偶数， 令，，， 所以，，，，均为整数， 因为，所以， 所以，且，，均为正整数，所以，，， 因为，，，所以，，， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“优美子集”. 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“优美子集”的充要条件是集合具有性质. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义条件，分别判断集合是否具有性质. （2）由性质P确定集合B，再根据“优美子集”的定义，确定集合是集合的“优美子集”. （3）由存在三个互不相同的，使得均属于，证明满足性质P的三个条件；再证明集合具有性质，集合是集合的“优美子集”即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京清华附中朝阳学校高一（上）期中 数 学 2026年11月 一、选择题（每小题分，共分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 若且，则下列不等式中必然成立的一个是（     ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知,在满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度（单位：）可以表示为，其中表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为时的飞行速度为，耗氧量的单位数为时的飞行速度为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，则“恒成立”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 10. 设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又．则下列结论中，错误的是（    ） A. B. C. 在上为增函数 D. 解集为或 二、填空题（每小题分，共分） 11. 函数的定义域为_________． 12. 计算：_______． 13. 已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为______. 14. 已知为正实数且满足，则的最大值是____________，的最大值为____________. 15. 已知函数，给出下面四个结论： ①当时，只有一个零点； ②对任意，既没有最大值，也没有最小值； ③存在实数，在上单调递增； ④若存在最小值，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题（道大题，共分） 16. 已知全集，集合，. （1）分别求，； （2）若，求的取值范围. 17. 2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展．如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2025年的全年利润为（单位：万元）． （1）求函数的解析式； （2）当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 18. 已知函数的定义域是，且满足，． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求实数的取值范围． 19. 设函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 20. 已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）当时，若，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 21. 已知集合，且中至少有三个元素.如果，，，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，其中，（例如：），对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“优美子集”. （1）若集合，，判断，是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，判断集合是否集合的“优美子集”，并说明理由； （3）对于集合的非空子集，证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“优美子集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $