精品解析：福建省三明市永安市第六中学2026-2027学年上学期 九年级期中考试数学试题

2026-2027学年上学期永安六中期中考试 九年级数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示： 1．本试卷共6页． 2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上 3．答题要求见答题卡上的“注意事项”． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡的相应位置填涂． 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　） A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OC 3. 若，则下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中是轴对称图形，而不是中心对称图形的是（　　） A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 菱形 5. 如图，已知，，，若，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 6. 下列各组图形中，不一定相似的是（ ） A. 任意两个等腰直角三角形 B. 任意两个等边三角形 C. 任意两个矩形 D. 任意两个正方形 7. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 8. 点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），且AB＝6m，则BC的长为（　　） A. （9﹣3）cm B. （9+3）cm C. （3﹣3）m D. （6﹣6）cm 9. 若关于x的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 10. 矩形的面积为a，设边长为x，若根据相关信息可列方程，该方程的两根为，，其中，，则边长为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则=__． 12. 已知四边形中，分别是边的中点．若四边形是矩形，则对角线应满足条件______． 13. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件可盈利元，经调查发现如果每件降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天售出件，则每件衬衫降价_____元． 14. 已知关于x的一元二次方程有一个根为x＝0，则m的值为______． 15. 如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 16. 如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F、G是上两个动点(F在G的下方)，且满足，若正方形边长为3，则的最小值为_____． 三、解答题：本题共9小题，86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧将放大到原来的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出它的位似图形； （2）分别写出点、、的坐标． 19. 已知：如图，E、F是正方形的对角线上的两点，且．连接．求证：． 20. 如图，△ABC中，AB=8，AC=6. （1）请用尺规作图的方法在AB上找点D ，使得 △ACD∽△ABC（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求AD的长 21. 2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了社会对我国机器人产业发展的广泛关注．某市机器人产业2024年总产值为256亿元，2026年总产值为400亿元． （1）求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； （2）若按照上述年平均增长率继续增长，该市2027年机器人产业总产值为______亿元． 22. 滹沱河是石家庄的“母亲河”，滋养着冀中平原．嘉嘉为测量滹沱河某段的宽度，采用如下方法：如图，该段河道两岸平行，他在对岸选定目标点，在靠近自己的河岸取点和，并在，的延长线上分别取点，，使，经测量米，米，点到的距离为350米，于点． （1）求的值； （2）求滹沱河该段的宽度． 23. 如图，将矩形折叠，使得点A与C重合，折痕为，点D的对应点为G． （1）求证：四边形为菱形． （2）若，，则折痕的长为______． 24. 阅读材料，回答问题． 主题 菱形与正方形、矩形与正方形的接近度 定义提出 菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． 如图1，设菱形的对角线的长分别为m、n．我们将菱形的“接近度”定义为（即“接近度”）． 如图2，设矩形中的的长分别为m、n．我们将矩形的“接近度”定义为（即“接近度”）． （1）分析探究： ①若菱形的“接近度”__________，菱形就是正方形； ②若矩形的“接近度”__________，矩形就是正方形； （2）结论应用：若m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根． ①当时，试说明：矩形是正方形； ②当时，若m、n恰好为两个连续奇数，求菱形的面积． 25. 如图1，矩形中，，，点P是边上的一个动点，以为对角线作，点E在矩形内部，连接． （1）如果，则的长为__________． （2）如图2，在点P从B到C的运动过程中，连接． ①请问：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明； ②求证：三点在同一条直线上，并直接写出在点P运动过程中，矩形的顶点F走过的路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期永安六中期中考试 九年级数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示： 1．本试卷共6页． 2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上 3．答题要求见答题卡上的“注意事项”． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡的相应位置填涂． 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可利用直接开平方法，结合平方根的定义得出方程的解. 【详解】∵， ∴，即，. 2. 如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　） A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OC 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A．菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故本选项正确； B．菱形的对角线不一定相等，故本选项错误； C．菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD，故本选项正确； D．菱形的对角线互相平分，所以OA＝OC，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行且相等，对角线互相垂直平分是解本题的关键． 3. 若，则下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，熟练掌握比例式和等积式的互化是解题的关键．根据比例式和等积式的互化，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； B、由，得，与已知相符，故此选项比例式成立，符合题意； C、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； D、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意． 故选：B． 4. 下列图形中是轴对称图形，而不是中心对称图形的是（　　） A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 菱形 【答案】A 【解析】 【分析】首先要熟悉各种图形的性质，然后根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解． 【详解】A、只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B和D、既是轴对称图形又是中心对称的图形，不符合题意； C、只是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 故选A． 【点睛】考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度与原图重合． 5. 如图，已知，，，若，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】先算出，再利用平行线分线段成比例列比例式求出，最后由得到． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， ， 解得， ∴．  6. 下列各组图形中，不一定相似的是（ ） A. 任意两个等腰直角三角形 B. 任意两个等边三角形 C. 任意两个矩形 D. 任意两个正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似图形的判定定理，对选项进行一一分析，找出符合题意的答案． 【详解】解：A、任意两个等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，两腰分别相等，它们两边的比值成比例，夹角为直角相等，根据相似三角形的判定定理可得任意两个等腰直角三角形相似，故不符合题意； B、任意两个等边三角形，三边分别相等，两个三角形三边对应成比例，根据三角形相似的判定定理可得任意两个等边三角形相似，故不符合题意； C、任意两个矩形，虽然对应角都等于90°相等，但对应边不一定成比例，任意两个矩形，不一定相似，故符合题意； D、任意两个正方形，四边各自相等，可得它们对应边成比例，对应角都是90°相等，根据多边形相似的判定定理可得任意两个正方形相似，故不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查相似图形的识别，掌握图形相似的定义即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形与判定定理是解题关键． 7. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 8. 点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），且AB＝6m，则BC的长为（　　） A. （9﹣3）cm B. （9+3）cm C. （3﹣3）m D. （6﹣6）cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金比值是求出AC的长，即可得出BC的长． 【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC， ∴AC＝AB＝×6＝3﹣3， ∴BC＝AB﹣AC＝9﹣3（m）， 故选A． 【点睛】本题考查的是黄金分割，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割． 9. 若关于x的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将所求方程整理为与已知方程结构一致的形式，通过换元利用已知解求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为， ∴． 整理方程， 得， 令，则方程变为，与原方程结构完全相同， ∴该方程的一个解为， 即，解得． 10. 矩形的面积为a，设边长为x，若根据相关信息可列方程，该方程的两根为，，其中，，则边长为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合矩形边长为正的实际意义确定的长为正根，利用根与系数的关系和矩形面积公式推导的长度． 【详解】解：将方程整理为． ∵边的长为正数，方程的两根中，， ∴． 由根与系数的关系，得，即． ∵矩形面积， ∴． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则=__． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得b=，代入求解即可 【详解】解：解：∵， ∴5b=2a， ∴b=， ∴==， 故答案是：． 【点睛】本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键． 12. 已知四边形中，分别是边的中点．若四边形是矩形，则对角线应满足条件______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角形的中位线定理，矩形的判定，中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理．根据三角形的中位线定理可证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明矩形． 【详解】解：对角线应满足条件． 理由：∵E、F、G、H分别是边上的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故答案为：． 13. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件可盈利元，经调查发现如果每件降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天售出件，则每件衬衫降价_____元． 【答案】8 【解析】 【分析】设每件衬衫降价x元，则销售量为件，列出方程求解即可． 【详解】解：设每件衬衫降价元，根据题意得： 解得． 14. 已知关于x的一元二次方程有一个根为x＝0，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 15. 如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平移的性质可知，，，进而可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 16. 如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F、G是上两个动点(F在G的下方)，且满足，若正方形边长为3，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，证明四边形是平行四边形，求得，利用正方形对称性得到，根据，得到的最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：过点作交于点，连接，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，关于对称， ∴， ∴， ∴的最小值为的长． ∵，点是的中点， ∴，则， 在中，， ∴的最小值为． 三、解答题：本题共9小题，86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）对二次三项式因式分解，转化为一次方程求解； （2）确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，计算判别式后代入求根公式求解． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：由得，，， ∴， ∴， 解得，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧将放大到原来的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出它的位似图形； （2）分别写出点、、的坐标． 【答案】（1） （2）、、． 【解析】 【分析】（1）如图：连接，延长到使得，同法得到、，再顺次连接即可．（2）再根据（1）作图写出三个顶点坐标即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：由（1）作图可得：、、． 19. 已知：如图，E、F是正方形的对角线上的两点，且．连接．求证：． 【答案】证明：∵正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用证明，即可得到． 【详解】略 20. 如图，△ABC中，AB=8，AC=6. （1）请用尺规作图的方法在AB上找点D ，使得 △ACD∽△ABC（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求AD的长 【答案】（1）见图（2）AD=. 【解析】 【分析】（1）图形见详解,（2）根据相似列比例式即可求解. 【详解】解：（1）见下图 （2）∵△ACD∽△ABC, ∴AC:AB=AD:AC, ∵AB=8，AC=6, ∴AD=. 【点睛】本题考查了尺规作图和相似三角形的性质，中等难度,熟悉尺规作图步骤和相似三角形的性质是解题关键. 21. 2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了社会对我国机器人产业发展的广泛关注．某市机器人产业2024年总产值为256亿元，2026年总产值为400亿元． （1）求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； （2）若按照上述年平均增长率继续增长，该市2027年机器人产业总产值为______亿元． 【答案】（1）这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为 （2） 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为，根据2024年总产值为256亿元，2026年总产值为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可； （2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2027年机器人产业总产值． 【小问1详解】 解：设机器人产业总产值的年平均增长率为， 根据题意得， 解得，（不合题意舍去）， ， 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：（亿元） 答：该市2027年机器人产业总产值为亿元． 22. 滹沱河是石家庄的“母亲河”，滋养着冀中平原．嘉嘉为测量滹沱河某段的宽度，采用如下方法：如图，该段河道两岸平行，他在对岸选定目标点，在靠近自己的河岸取点和，并在，的延长线上分别取点，，使，经测量米，米，点到的距离为350米，于点． （1）求的值； （2）求滹沱河该段的宽度． 【答案】（1）2 （2）700米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定； （1）由可得，进而可得，最后求出； （2）过点E作，可得，得到，即可求解. 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴. 【小问2详解】 解：过点E作垂足为，如图所示： 由题意得：米， ∵，，， ∴， ∴， ∴米. 23. 如图，将矩形折叠，使得点A与C重合，折痕为，点D的对应点为G． （1）求证：四边形为菱形． （2）若，，则折痕的长为______． 【答案】（1）证明：由折叠性质得，，． 四边形为矩形， ，即， ． ， ， ． ， ． ， ， 四边形为菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用矩形对边平行、折叠的性质，通过等角对等边，推出四条边相等，依据菱形定义证明； （2）先利用勾股定理求出的长，再算出，借助菱形性质，作垂线构造直角三角形，求出折痕． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 由折叠及菱形性质，． ，， ． ， ． 在中，， ， 解得，（长度为正）． ，， 菱形边长． 过作于，则，． ， ． 在中， ． 24. 阅读材料，回答问题． 主题 菱形与正方形、矩形与正方形的接近度 定义提出 菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． 如图1，设菱形的对角线的长分别为m、n．我们将菱形的“接近度”定义为（即“接近度”）． 如图2，设矩形中的的长分别为m、n．我们将矩形的“接近度”定义为（即“接近度”）． （1）分析探究： ①若菱形的“接近度”__________，菱形就是正方形； ②若矩形的“接近度”__________，矩形就是正方形； （2）结论应用：若m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根． ①当时，试说明：矩形是正方形； ②当时，若m、n恰好为两个连续奇数，求菱形的面积． 【答案】（1）①0；②1． （2）①证明：∵m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，即， ∵矩形，“接近度”为， ∴由（1）②可知：矩形是正方形． ②． 【解析】 【分析】（1）①当时，菱形为正方形，再利用“接近度”定义求解即可；②当时，矩形为正方形，再利用“接近度”定义求解即可； （2）①利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，进而得到，即可证明矩形是正方形；②由根与系数的关系可得，将代入可得；由可得，则，整理得，由m、n恰好为两个连续奇数，设，再代入，求得符合题意的m的值，进而求得n的值，最后根据菱形的性质求面积即可． 【小问1详解】 解：①当时，菱形为正方形，此时“接近度”为． ②当时，矩形为正方形，此时“接近度”为． 【小问2详解】 ①证明：∵m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，即， ∵矩形，“接近度”为， ∴由（1）②可：矩形是正方形． ②解：∵m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∵， ∴， 将代入得，整理得：， ∵m、n恰好为两个连续奇数， ∴设， ∴，整理得：，解得：或（不合题意舍去）． ∴， ∵菱形， ∴菱形的面积为． 25. 如图1，矩形中，，，点P是边上的一个动点，以为对角线作，点E在矩形内部，连接． （1）如果，则的长为__________． （2）如图2，在点P从B到C的运动过程中，连接． ①请问：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明； ②求证：三点在同一条直线上，并直接写出在点P运动过程中，矩形的顶点F走过的路径长． 【答案】（1） （2）①固定不变， 连接交于，连接， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴五个点都在以为圆心，为半径的圆上， ∴； ②证明：∵五个点都在以为圆心，为半径的圆上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴三点在同一条直线上； ∵， ∴在点P运动过程中，点在垂直的射线上移动， 当在处时，点在点处， 当在处时，此时，点如图， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴在点P运动过程中，矩形的顶点F走过的路径长． 【解析】 【分析】（1）由得到，再证明得到，代入计算即可； （2）①连接交于，连接，根据矩形性质和直角三角形斜边中线的性质得到，则五个点都在以为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理得到； ②由四边形是圆内接四边形，得到，由（1）得，，则，三点在同一条直线上；根据，在点P运动过程中，点在垂直的射线上移动，再求出当在处时，的长度即为所求． 【小问1详解】 解：∵矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $