精品解析：黑龙江七校2026-2027学年高二上学期11月期中联考数学试题

高二数学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自已的姓名､准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆的标准方程是，则此椭圆的长轴长和离心率分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为椭圆的标准方程是，所以， 所以，所以长轴长为，离心率. 2. 已知点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若点关于坐标平面的对称点为，则点关于轴的对称点为 B. 若点关于坐标平面的对称点为，则点关于轴的对称点为 C. 若点关于坐标平面的对称点为，则点关于轴的对称点为 D. 若点关于坐标平面的对称点为，则点关于轴的对称点为 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，点关于坐标平面的对称点为， 则点关于轴的对称点为，故A错误； 对于B，点关于坐标平面的对称点为， 则点关于轴的对称点为，故B错误； 对于C，点关于坐标平面的对称点为， 则点关于轴的对称点为，故C正确； 对于D，点关于坐标平面的对称点为， 则点关于轴的对称点为，故D错误. 3. 已知方程表示圆，则其圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的一般方程的特征，求解圆心坐标. 【详解】由圆的一般方程，其圆心坐标为. 可得圆的方程，对应， 代入公式计算可得：圆心横坐标为，纵坐标为， 因此圆心坐标为. 4. 已知直线经过点，且与倾斜角为150°的直线互相垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线与倾斜角为150°的直线互相垂直， 所以直线的倾斜角为60°， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即. 5. 已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点坐标为， 因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 又因为点在圆上，代入圆的方程得， 化简得，故点的轨迹方程为. 6. 已知，，则线段的垂直平分线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设中点为，已知，，则，， 设线段的垂直平分线为,直线过点，且，， 根据直线点斜式方程：， 化简得：. 7. 已知正四面体的棱长为2，为的中点，为的中点，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】如图，连接， 因为， 又因为为的中点，则， 可得，所以， 因为正四面体的棱长为2， 所以，所以. 8. 已知过点且不与轴重合的直线与圆交于两点，在轴正半轴上有一点满足，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析直线轴的情况，再分析直线不与轴垂直时的情况，设出点的坐标，联立直线与圆的方程，列出韦达定理，根据得到直线和斜率之间的关系，代入韦达定理，化简即可求解点的坐标. 【详解】当直线轴时，两点关于轴对称，则轴正半轴上任意点均满足； 当直线不与轴垂直时，设，直线为（不为0）与圆联立， 得， ， 设， ， 由题可知，， 代入，， 化简得， 即， 即， 整理得，得， 即点的坐标为. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程（ ） A. 若该方程表示圆，则 B. 若该方程表示椭圆，则实数的取值范围为 C. 若该方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 D. 若该方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【详解】若该方程表示圆，则，解得，故A正确； 若该方程表示椭圆，则，解得或，即实数的取值范围为，故B错误； 若该方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，即实数m的取值范围为，故C正确； 若该方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，即实数m的取值范围为，故D正确. 10. 已知直线，直线，则下列说法正确的有（ ） A. 存在使得直线的倾斜角为 B. 若，则或 C. 存在实数使得 D. 对任意的，与都不重合 【答案】AC 【解析】 【分析】当时可得A；当时，两直线重合、可得B、D；令，计算可得C. 【详解】对A：当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，故A正确； 对B：若，则有，解得或， 当时，两直线分别为、， 两直线重合，不符； 当时，两直线分别为、，符合题意； 故，故B错误； 对C：令，解得， 故存在实数使得，故C正确； 对D：由B知，当时，两直线重合，故D错误. 11. 如图，在平行六面体中，设，且，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用空间向量运算法则与相等向量替换判断向量表达式；把向量用基底展开，通过数量积运算判断垂直关系；利用向量模长平方等于向量自身平方，结合数量积公式计算． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 所以，故B正确； 对于C，， 所以，故C正确； 对于D，， 所以与不垂直，故D错误. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且四点共面，则_________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得,,. 因为与的坐标不成比例,所以两向量不共线,从而四点共面等价于存在实数,使. 即. 由坐标相等得,,. 由前两式解得,. 所以. 13. 已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为_________. 【答案】和 【解析】 【详解】当切线斜率不存在时，过点的直线方程为，圆心到的距离为1等于半径，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心（1，0）到直线的距离， 解得，所以切线方程为， 综上所述，切线的方程为和. 14. 已知，为椭圆上且关于原点对称的两点，为椭圆的左顶点，直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】将代入椭圆方程解得，用斜率公式计算出，利用离心率求解即可. 【详解】设，，， 因为为上的点，所以，解得， 则， 由题意可得，即，则椭圆的离心率. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在空间直角坐标系中，已知. （1）求向量，并判断向量是否为共线向量； （2）求点到直线的距离. 【答案】（1），不是 （2） 【解析】 【分析】（1）借助坐标运算可得，再利用向量共线定理计算可判断向量是否为共线向量； （2）借助空间中点到直线距离的向量求法计算即可得. 【小问1详解】 ， 若向量是共线向量， 则存在实数，使得，即，无解， 故不是共线向量； 【小问2详解】 由题得，则点到直线的距离为： . 16. 已知直线过，两点． （1）求直线的方程； （2）若过点的直线与线段总有公共点，求直线倾斜角的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设直线的方程为， 将，两点代入， 得，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 如图，结合斜率公式可得： 直线的斜率，其倾斜角为； 直线的斜率，其倾斜角为. 因为直线与线段总有公共点，则斜率k的取值范围为． 设直线的倾斜角为，当时，因为，，此时直线从直线的位置逆时针旋转，则此时的取值范围为； 当时，因为，， 则此时的取值范围为． 综上可得，． 17. 如图，四边形为正方形，平面，，，． （1）证明:； （2）求异面直线和所成角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以． 又因为四边形为正方形，所以， 因为，，平面，所以平面， 又因平面，所以； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证平面，结合平面即可得证； （2）由可得异面直线和所成角为或其补角，利用即可求解； （3）建系求平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因，则异面直线和所成角为或其补角， 又因平面，可得， 由题易得，，所以， 故． 【小问3详解】 由题意可设为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 如图，则，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则有， 令，则，，则， 设直线与平面的夹角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知圆和圆. （1）求两圆公共弦所在直线的方程； （2）求经过两圆的交点，且面积最小的圆的方程； （3）在（2）的条件下，若是圆上的两点，，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）两圆方程相减即可得两圆公共弦所在直线的方程； （2）经过两圆交点的圆中，面积最小的是以两交点为直径的圆，联立两圆公共弦所在直线的方程与圆，可得两圆交点坐标，则可得圆的圆心与半径，即可得其方程； （3）原式的几何意义为到直线的距离之和的倍，设中点为，则原式等于倍的点到直线的距离，求出点的轨迹方程后，利用点到直线的距离公式计算即可得. 【小问1详解】 将两圆方程相减得， 化简得，所以两圆公共弦所在直线的方程为； 【小问2详解】 经过两圆交点的圆中，面积最小的是以两交点为直径的圆， 由（1）得两圆公共弦所在直线的方程为， 联立，解得或， 即两圆交点坐标为，中点坐标为， 则面积最小的圆的圆心为，半径为， 故圆的方程为； 【小问3详解】 其几何意义为到直线的距离之和的倍， 设中点为， 由图可知：， 因为，所以， 所以在直角三角形中，， 所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，即， 所以的圆心到直线的距离为， 所以， 所以. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为是上的一个动点，当时，的面积为. （1）求的值； （2）若是平面内的一个动点，直线与直线始终互相垂直，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则由椭圆定义及面积公式计算得出，再结合计算求解； （2）先求出的轨迹为以为直径的圆，再根据圆心在椭圆外，最后转换应用距离和最小求解. 【小问1详解】 设，则由椭圆定义可得， 由的面积为得，得， 则由余弦定理可得， 得， 故， 故. 【小问2详解】 因为直线与直线始终互相垂直， 则的轨迹为以为直径的圆，圆心为，即，半径为， 故为圆上一点. 设圆的圆心坐标为， 又，故在椭圆C外， 则 ， 当且仅当四点共线，且在之间、在之间时等号成立， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自已的姓名､准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆的标准方程是，则此椭圆的长轴长和离心率分别为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若点关于坐标平面的对称点为，则点关于轴的对称点为 B. 若点关于坐标平面的对称点为，则点关于轴的对称点为 C. 若点关于坐标平面的对称点为，则点关于轴的对称点为 D. 若点关于坐标平面的对称点为，则点关于轴的对称点为 3. 已知方程表示圆，则其圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线经过点，且与倾斜角为150°的直线互相垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则线段的垂直平分线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四面体的棱长为2，为的中点，为的中点，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知过点且不与轴重合的直线与圆交于两点，在轴正半轴上有一点满足，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程（ ） A. 若该方程表示圆，则 B. 若该方程表示椭圆，则实数的取值范围为 C. 若该方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 D. 若该方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 10. 已知直线，直线，则下列说法正确的有（ ） A. 存在使得直线的倾斜角为 B. 若，则或 C. 存在实数使得 D. 对任意的，与都不重合 11. 如图，在平行六面体中，设，且，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且四点共面，则_________. 13. 已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为_________. 14. 已知，为椭圆上且关于原点对称的两点，为椭圆的左顶点，直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为_________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在空间直角坐标系中，已知. （1）求向量，并判断向量是否为共线向量； （2）求点到直线的距离. 16. 已知直线过，两点． （1）求直线的方程； （2）若过点的直线与线段总有公共点，求直线倾斜角的取值范围． 17. 如图，四边形为正方形，平面，，，． （1）证明:； （2）求异面直线和所成角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知圆和圆. （1）求两圆公共弦所在直线的方程； （2）求经过两圆的交点，且面积最小的圆的方程； （3）在（2）的条件下，若是圆上的两点，，求的最大值. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为是上的一个动点，当时，的面积为. （1）求的值； （2）若是平面内的一个动点，直线与直线始终互相垂直，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $