精品解析：福建宁德市部分学校2026-2027学年高一上学期11月适应性练习数学试题

2026-2027学年第一学期适应性练习 高一数学 （满分：150分 练习时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可得结果. 【详解】由集合，，得． 故选：D． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据含量词命题否定的改写规则求解． 【详解】含量词命题否定的改写规则为：改量词，否结论， 所以命题“，”的否定是，. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知充分性满足，由，取特值找到反例说明必要性不满足，从而得到结论. 【详解】当时，成立，故充分性满足，当时，如，则，故必要性不满足， 因此“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题先证明奇函数，当时，可知，根据图像可解. 【详解】函数，定义域为，，则函数为奇函数，A，B错误； 当时，，当时，，故D错误. 5. 已知函数满足对任意，当时都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由单调性的定义式判断在上单调递增，再分别对每一段函数列出单调条件：一次函数看斜率，二次函数看对称轴，最后增加分界点约束，保证左侧在分段点处的函数值不大于右侧在分段点处的函数值，最后联立不等式组求参数范围即可. 【详解】∵，∴ 在上单调递增， 结合单调性要求：， 二次函数 在 递增：对称轴 ， 在 处左段端点纵坐标不大于右段端点纵坐标， 联立不等式组： ， 解得： ∴ ，即：. 6. 已知上的奇函数在区间上单调递增，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知函数为奇函数，即，，要求，即求； 当时，函数单调递增，且，可知时，满足； 奇函数的图像关于原点对称，可知时； 综上可知不等式的解集为. 7. 已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对已知等式变形，用表示，代入目标式，通过配凑构造出可以使用基本不等式的形式，求出的最小值；再根据恒成立转化为最小值大于，解一元二次不等式得到的取值范围. 【详解】∵ ，∴， ∴， ，则， 当且仅当 ，即 时取等，此时 ， ， 恒成立，即：， ，即， 解得. 8. 已知集合，集合，，满足：①每个集合都恰有6个元素；②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为（ ） A. 57 B. 58 C. 114 D. 116 【答案】C 【解析】 【分析】判断集合的元素个数中的最小值与最大值的可能情况，然后按照定义求解即可． 【详解】设集合中元素的最大值与最小值分别为和， 则， 因为集合，，满足：①每个集合都恰有6个元素；②， 所以集合两两交集为空集， 故两两不同且两两不同， 先求的最小值： 要使取到最小值，和同时取得最小值， 由于，且两两不同，所以当时，， 因为18是集合M中元素中的最大元素，一定是三个集合之一的元素，不妨设集合含有18， 然后将紧随其后的这4个数放入集合中，不会增加，但却可以使得变小， 所以为使最小，必然集合中的元素是含有这5个元素， 这时M中剩余元素的最大值13必是或的最大元素，不妨设集合含有13， 同上，为使最小，集合中的元素含有这5个元素， 于是集合含有这5个元素，， 则的最小值为； 再求的最大值： 要使取到最大值，应当和同时取得最大值， 由于且两两不相等，所以当时， M中的剩余元素最小的是1，不妨设，即．将放入不会改变的值，却可以使其它两个集合中的最小元素变大， 因此为使最大，集合中必含有， 这时6是集合M中剩余元素的最小元素，设，同理可知中含有， 中含有， 所以， 则的最大值为， 所以的最大值与最小值的和为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集为，下列选项中是的充要条件的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合Venn图判断即可. 【详解】如图，由Venn图可知，ABC都是的充要条件，而D不是的充要条件． 故选：ABC． 10. 已知，且，则（ ） A. B. 存在使得 C. 存在使得 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式的性质比较数（式）大小分析选项A和B，由基本不等式分析选项C，使用部分分式法分析选项D. 【详解】对于，由，，得，则，正确； 对于B，由，，得，则，， 若存在使得，则，与已知相矛盾，B错误； 对于C，由，得C错误； 对于D，，D正确. 11. 已知函数的定义域为R，满足，当时，恒有，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，赋值可得；B选项，令得，B正确；C选项，设，赋值，结合函数对称性可得，故在上单调递减，又为偶函数，C错误；D选项，求出函数的一个周期为4，并得到，从而得到D正确. 【详解】A选项，中， 令得， 因为，恒有，所以，故，A正确； B选项，中，令得 ，故， 函数的定义域为R，故为偶函数，B正确； C选项，设，中， 令得， 因为，所以，故， 因为，所以， 因为是偶函数，所以， 其中，故， 所以， 中，令得， 故关于中心对称，故， 所以，即，故在上单调递减， 又为偶函数，故在上单调递增，C错误； D选项，由于，故， 即， 又，故， 所以，故， 所以的一个周期为4， 其中，， 中，令得，故， 令得，故， 故， ，D正确 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡的相应位置． 12. 已知幂函数在上是减函数，则实数__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，得到的方程，根据函数在上是减函数，对所得的进行判断，从而得到答案. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得， 当时，，函数在上是减函数，符合题意， 当时，，函数在上是增函数，不符合题意， 所以. 故答案为： 【点睛】本题考查根据幂函数的定义求参数的值，幂函数的单调性，属于简单题 13. 函数在上单调递减，且是偶函数，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先得到关于直线对称，进而得到不等式，求出答案 【详解】是偶函数，故关于直线对称， ， 因为在上单调递减，所以， 解得， 所以的取值范围为. 14. 若关于的一元二次不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围为___________；若存在实数，使得关于的方程在上述范围有解，则实数的取值范围为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，根据题干列不等式求解即可得到答案； 第二空分离参数把方程改写成，利用换元后化为对勾函数求值域. 【详解】不等式是一元二次不等式，知. 对一切实数均成立， 则，且.解得. 故实数的取值范围为. 方程即. 由知，分离参数得 令，则，且， 由对勾函数性质知，在单调递增，值域为. 因此实数的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡的相应位置． 15. 设全集为，集合，，． （1）求，； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据交、并、补集的概念计算； （2）将集合运算转化为集合间关系求解. 【小问1详解】 由题，又， 所以， 又或，所以； 【小问2详解】 若，则，因为，或， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 16. 已知函数． （1）求函数的解集； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为{1}； 当时，原不等式的解集为． （2） 【解析】 【小问1详解】 不等式， 当，即时，解得； 当，即时，解得； 当，即时，解得， 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为{1}； 当时，原不等式的解集为． 【小问2详解】 ，即， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 所以在区间上，当时，函数取得最大值， ，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 福鼎白茶是福建珍贵名茶之一，产于闽东北东海之滨的太姥山脉．某茶叶种植户欲生产白茶，经过市场调研，生产白茶需投入年固定成本万元，每生产吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足吨时，，在年产量不少于吨时，．若每千克白茶售价元，通过市场分析，该茶叶种植户的白茶当年能全部售完． （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数解析式（年利润年销售收入年固定成本流动成本）； （2）年产量为多少吨时，该茶叶种植户在白茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为吨时，该茶叶种植户在白茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是万元． 【解析】 【分析】（1）先将售价单位换算为每吨万元，再根据年利润年销售收入年固定成本流动成本的公式，分年产量不足吨和不少于吨两种情况，代入对应流动成本表达式化简，即可得到分段的利润函数解析式； （2）分别在两个定义域区间内求利润最大值：第一段用配方法求二次函数的顶点最大值，第二段用基本不等式求函数的最大值，最后比较两段的最大值，即可得到年利润的最大值及对应年产量． 【小问1详解】 由题意知，吨白茶售价为万元， 当时，， 当时，， 故年利润（万元）关于年产量（吨）的函数解析式为 ； 【小问2详解】 当时，， 当时，取得最大值， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取得最大值， 因为， 所以当年产量为吨时，该茶叶种植户在白茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是万元． 18. 已知：是常数，设函数，函数． （1）当时，判断并用定义证明函数的单调性； （2）若对任意，总存在，使，求的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增， 证明如下： ，且， 则， ，且， 所以，，，， 所以，即， 所以在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）先对分式函数分离常数化简，再利用函数单调性的定义，在区间内任取两个自变量作差，通分化简后结合区间范围判断差的符号，即可证明函数的单调性； （2）先将“任意总存在”的条件转化为的值域是的值域的子集，由单调性求出的值域，再分三种情况讨论一次函数的值域，根据子集关系列不等式求解，综合得到的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若对任意的，总存在，使成立， 只需函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 因为函数在上单调递增， 又，， 所以函数在上的值域为， 下面讨论在上的值域， ①当时，，不符合题意，舍去； ②当时，在上的值域为， 要使，只需，解得， ③当时，在上的值域为， 要使，只需，解得， 综上，的取值范围为． 19. 对定义域为的函数，定义"稳差区间"如下：若区间满足：①在上单调；②，恒有，则称区间为的一个稳差区间．现已知分段函数（其中为常数）． （1）当时，判断区间是否为的稳差区间，并说明理由； （2）若，求函数长度最大的稳差区间； （3）若存在稳差区间包含分界点，求实数的取值范围． 【答案】（1）是．当时，，故． ，设， 由定义得：． 因为，所以且， 故，即在上单调递减， 条件①满足；且 （因为，故）， 条件②满足．因为①②均满足，所以是的稳差区间． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据稳差区间的定义判断即可； （2）分别讨论左段与右段以及跨越两端的函数的稳差区间的存在性，得出只有左段存在稳差区间，再求出左段的稳差区间最大值即可. （3）先证明跨过向右延伸的区间一律不满足，再分别讨论，，时稳差区间的存在情况即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由定义，对左段两点， 故条件②等价于，即． 右段上任取两点都有，②不成立； 若含与某点，记，则，②也不成立． 故．此时单调递减，①成立； 设，由，即， 可得，即； 而时，成立． 所以稳差区间必为的子区间，最长者为，长度为1. 即时，长度最大的稳差区间为． 【小问3详解】 第一步：跨过向右延伸的区间一律不满足． 设稳差区间含与某点记， 注意（左段），（右段）， 故，记． 若（即且），取， 则与②矛盾； 若（即或，仍与②矛盾． 故只能落在一侧且以为右端点，设为． 第二步：左段上的恒成立讨论．对， 条件②即，即．得 （如取区间）；当时，，在其上单调递减，①满足； ，即需，即（上界自动成立）． 存在，使得即. 当时，若，则同时含减区间与增区间， 在上不单调，不满足①，故必须； ，即下界自动成立，同时需，即； 此时取，区间上任两点之和属于，①②均满足，得． 时两种情形均无解．综上所述，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期适应性练习 高一数学 （满分：150分 练习时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数满足对任意，当时都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知上的奇函数在区间上单调递增，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 8. 已知集合，集合，，满足：①每个集合都恰有6个元素；②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为（ ） A. 57 B. 58 C. 114 D. 116 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集为，下列选项中是的充要条件的为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则（ ） A. B. 存在使得 C. 存在使得 D. 11. 已知函数的定义域为R，满足，当时，恒有，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡的相应位置． 12. 已知幂函数在上是减函数，则实数__________. 13. 函数在上单调递减，且是偶函数，若，则的取值范围是___________． 14. 若关于的一元二次不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围为___________；若存在实数，使得关于的方程在上述范围有解，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡的相应位置． 15. 设全集为，集合，，． （1）求，； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数． （1）求函数的解集； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 17. 福鼎白茶是福建珍贵名茶之一，产于闽东北东海之滨的太姥山脉．某茶叶种植户欲生产白茶，经过市场调研，生产白茶需投入年固定成本万元，每生产吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足吨时，，在年产量不少于吨时，．若每千克白茶售价元，通过市场分析，该茶叶种植户的白茶当年能全部售完． （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数解析式（年利润年销售收入年固定成本流动成本）； （2）年产量为多少吨时，该茶叶种植户在白茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 已知：是常数，设函数，函数． （1）当时，判断并用定义证明函数的单调性； （2）若对任意，总存在，使，求的取值范围． 19. 对定义域为的函数，定义"稳差区间"如下：若区间满足：①在上单调；②，恒有，则称区间为的一个稳差区间．现已知分段函数（其中为常数）． （1）当时，判断区间是否为的稳差区间，并说明理由； （2）若，求函数长度最大的稳差区间； （3）若存在稳差区间包含分界点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $