精品解析：黑龙江齐齐哈尔市2026-2027学年高一上学期11月期中数学试题

2026—2027年度上学期期中考试 高一数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，，所以 2. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误； 对于C，，C错误；对于D，空集是任意集合的子集，D正确. 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】充分性：若，则，故“”能推出“”，故充分性成立； 必要性：因为，则或，则 “”不能推出“”，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得，即，解得， 即原不等式的解集为. 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式以及换“1”法即可求解. 【详解】因为，，且，则， 由基本不等式可得，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，所以的最小值为. 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， ，解得，且， 则函数的定义域为. 7. 已知函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单调性求解. 【详解】因为是上的减函数，则由可得， 解得，即实数的取值范围是. 8. 下列函数中，是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A选项，函数的定义域为，且，所以是偶函数； 对于B选项，函数的定义域为，且，所以是偶函数； 对于C选项，函数的定义域为，且，所以是奇函数； 对于D选项，函数的定义域为，，则且，所以既不是奇函数也不是偶函数. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A选项，因为对于任意实数，都有，所以恒成立，故A正确； 对于B选项，方程的判别式，所以该方程无实数根，故B错误； 对于C选项，不等式可化为，解得，所以对于任意，该不等式恒成立，故C正确； 对于D选项，全称量词命题的否定是存在量词命题，将“”改为“”，结论取反，所以命题“”的否定是“”，故D正确. 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】A. 利用幂函数的性质求解；B. 利用作差法求解；C. 利用不等式的性质求解；D. 利用反例法求解. 【详解】A. 是上的单调递增函数，因为，所以，选项A正确； B. ，因为，所以，则，即，选项B正确； C. 因为，所以，因为，所以，则，选项C正确； D. ，取，，不一定有，选项D错误. 11. 已知函数，则（） A. 是奇函数 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 方程有三个实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：定义域关于原点对称，化简看是否等于；B： 时开口向下、对称轴 ，在上单调递增；C 时开口向上、对称轴，在上单调递增；D：分两段解方程. 【详解】当时，，故；当时，，故； 选项A：函数定义域为，关于原点对称， ，因此是奇函数，A正确； 选项B：当时，，这是开口向下的二次函数，对称轴为，因此在上单调递增，B错误； 选项C：当时，，这是开口向上的二次函数，对称轴为，因此在上单调递增，C正确； 选项D：当时，，解得或；当时，，解得（舍去）, 方程共有三个实数根，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 命题“”的否定形式是________. 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称命题即可得解； 【详解】解：命题“”为全称量词命题，其否定为：，； 故答案为：， 13. 已知，则的最小值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】由题可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数是奇函数，则实数的值为__________________． 【答案】1 【解析】 【详解】函数的定义域为，关于原点对称. 将解析式展开得. 因为是奇函数，所以对定义域内的任意均成立. 则. 由此可得，解得. 经检验，当时，，满足，结论成立. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式确定集合，代入得到集合，再依据集合运算法则分别计算，以及的补集与的交集； （2）由等价转化为，分为空集、非空集两种情况列不等式求解，最后合并结果得到实数的取值范围． 【小问1详解】 ， 当时，，所以， 又，所以； 【小问2详解】 由，得， ①当时，，解得，符合题意， ②当时，，即， 由，得且，解得， 综上，实数的取值范围为． 16. 已知关于的不等式（）． （1）当时，求该不等式的解集； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接将代入不等式，利用因式分解法求解即可； （2）根据二次项系数大于，将恒成立问题转化为判别式的问题求解. 【小问1详解】 当时，原不等式变为. ，解得， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式的二次项系数为. 若该不等式对任意恒成立，则需满足其判别式. 由， 整理得，即. 得，解得. 故实数的取值范围是. 17. 某工厂要建造一个长方体形无盖储水池，其容积为，深为．已知池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为100元． （1）设底面一边长为，将水池总造价（元）表示为的函数，并指出其定义域； （2）当底面边长分别为多少时，总造价最低？求出最低总造价． 【答案】（1），定义域为． （2）当底面设计为边长的正方形时，总造价最低，最低总造价为5600元 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出相关代数式，进而求出函数式及其定义域. （2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由容积为、深为，得底面积为， 因底面一边长为，则另一边长为，则四个侧面的面积之和为， 所以，定义域为. 【小问2详解】 由（1）知，则， 当且仅当，即时取等号，此时另一边长也为， 则（元）， 所以当底面设计为边长的正方形时，总造价最低，最低总造价为5600元. 18. 已知函数． （1）用定义证明在上是增函数； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）证明：设， 则， 由，得，且即， 因此，即， 所以在上是增函数. （2）最小值为，最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用增函数的定义推理得证. （2）由（1）的结论求出指定区间上的最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知在上单调递增， 所以的最小值为，的最大值为. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求的值，并求时的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式． 【答案】（1）； （2）在上是增函数， 证明如下： 设，则， 因为，且、得，所以， 所以在上是增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质，先计算进而得到；设，则，代入时的解析式，再由奇函数性质推导时的表达式； （2）按照函数单调性的定义，在上任取，作差并因式分解，判断差的符号，差为正则函数单调递增； （3）由奇函数的对称性推出在上单调递增，利用奇函数性质将不等式变形为，再根据单调性脱去函数符号，解一元一次不等式得到解集． 【小问1详解】 因为是上的奇函数，所以， 当时，，则， 又，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由为上的奇函数且在上单调递增，可得在上单调递增， 由，得， 所以，解得， 故原不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027年度上学期期中考试 高一数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 下列函数中，是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 命题“，”的否定是“，” 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 11. 已知函数，则（） A. 是奇函数 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 方程有三个实数根 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 命题“”的否定形式是________. 13. 已知，则的最小值为__________. 14. 已知函数是奇函数，则实数的值为__________________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知关于的不等式（）． （1）当时，求该不等式的解集； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 17. 某工厂要建造一个长方体形无盖储水池，其容积为，深为．已知池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为100元． （1）设底面一边长为，将水池总造价（元）表示为的函数，并指出其定义域； （2）当底面边长分别为多少时，总造价最低？求出最低总造价． 18. 已知函数． （1）用定义证明在上是增函数； （2）求在区间上的最大值和最小值． 19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求的值，并求时的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $