精品解析：江西吉安市五所重点县二中联考2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：北师大版必修第二册，选择性必修第一册第一章～第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1. 在复平面内，复数z对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助复数的几何意义与复数乘法运算法则计算即可得. 【详解】由题知，所以. 故选：D. 2. 圆心为且过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题知半径为：，故圆的方程为：. 3. 若抛物线的准线方程为，是上一点，则（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】因为抛物线的准线方程为， 所以，解得，故. 又因为是上一点，所以，解得. 4. 若圆锥的轴截面是斜边为2的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设圆锥底面半径为r，高为h， 因为圆锥的轴截面是斜边为2的等腰直角三角形，所以，所以，， 所以圆锥的体积为． 5. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程可得，再结合离心率的计算公式，即可得答案. 【详解】因为的一条渐近线的方程为， 所以，所以的离心率为. 故选：A. 6. 若圆上到直线的距离为1的点仅有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆心到已知直线的距离，再根据圆上到直线距离为1的点仅有两个这一几何条件，列出半径的不等式，求解的取值范围. 【详解】由圆，可得圆心坐标为. 根据点到直线的距离公式，计算圆心到直线的距离. 若圆上到直线的距离为1的点仅有两个，说明与直线平行且距离为1的两条直线中，一条与圆相离，一条与圆相交（2个交点）， 则满足， 代入得，即． 所以的取值范围为. 7. 已知函数的部分图象如图所示，，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设交轴于点，根据对称性可知点在函数的图象上，设，由斜率求出，即可求出函数的周期，从而求出，再由点坐标求出，即可求出函数解析式，最后代入计算可得. 【详解】设交轴于点，直线的方程为，令，解得，所以， 由图象的对称性，知点在函数的图象上. 设，由，解得， 所以的最小正周期，故，解得， 所以，因为点是图象的一个最高点， 所以，结合，解得， 所以，则. 故选：A. 8. 如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用光线反射原理可知点关于直线的对称点与点关于直线的对称点以及重心三点共线，通过斜率相等列方程求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 由，得，，. 直线的方程：. 三角形重心坐标：，即. 设，则，. 点关于（轴）的对称点. 设点关于直线的对称点为， 根据对称性质： 由第一式得， 代入第二式：，所以. 由光线反射原理，三点共线，斜率相等：，，， 交叉相乘：， 因为，得，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据是直角三角形，分类讨论得出即可求解. 【详解】由题意知， 若，令，得，所以，故A正确； 若，则，又，所以，故D正确； 当点为的上顶点或下顶点时，，又，所以，故B正确. 故选:ABD. 10. 已知圆：，圆：，则（ ） A. 若，则圆与圆相切 B. 若，则圆在轴上截得的弦长为 C. 若，则直线为圆与圆的一条公切线 D. 若，则圆与圆公共弦所在的直线为 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，比较圆心距与两半径之和判断两圆位置关系；对B，令求出圆与轴的交点坐标再算弦长；对C，分别比较两圆心到该直线的距离与各自半径的大小；对D，把两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径，两圆圆心距. 对A，当时，由知两圆外切，A正确. 对B，当时，令得，即， 故圆在轴上截得的弦长为，B错误. 对C，当时，圆心到直线的距离为， 圆心到该直线的距离为， 故直线与两圆都相切，是两圆的一条公切线，C正确. 对D，当时圆的方程化为， 与圆的方程相减得， 即两圆公共弦所在直线为，D错误. 11. 已知双曲线的离心率为2，左､右焦点分别为是上的动点，且，若直线与的右支交于两点，的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 若的斜率分别为，则 C. 若为坐标原点，且的斜率分别为，则 D. 若经过，则的内心与三点共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和离心率求出双曲线的标准方程即可判断A；根据两点表示斜率公式计算即可判断B；利用点差法，结合两点表示斜率公式计算即可判断C；如图，根据双曲线的定义和切线的性质可得，则切点与点重合，即内心的横坐标为2，同理可得内心的横坐标也为2，即可判断D. 【详解】对于A，由题意知的离心率为， 所以，所以的方程为，故A正确； 对于B，，设点，则，即， 所以不是定值，故B错误； 对于C，设，则， 因为在上，所以， 两式相减，得，即， 所以，故C正确； 对于D，如图，设和的内心分别为，设的内切圆的切点为， 由双曲线的定义得，又， 所以，又， 所以，又， 所以切点与点重合，内心的横坐标为2， 同理可得内心的横坐标也为2，所以三点共线，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线平行，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行，列出方程求解后，再排除两直线重合的情况，即可得答案. 【详解】由， 得， 解得或， 当时， 与重合，不满足题意； 当时，符合题意. 故答案为： 13. 已知是抛物线上的动点，是圆上的动点，若的焦点为，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，利用抛物线方程和圆的方程计算即可得. 【详解】由题意知的准线为，设点到的距离为， 则由抛物线定义可得， 圆的圆心为，半径为，则到的距离， 则， 当且仅当都在直线上，且在下方时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知实数，满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据的符号分类讨论去掉绝对值，识别出曲线是由两段双曲线支和一段椭圆弧拼接而成；再设，将其转化为斜率为的平行直线系，利用直线在各段曲线上的截距变化规律确定的范围. 【详解】 由已知方程，分情况讨论： 当，时，方程为，表示双曲线在第一象限的部分； 当，时，方程为，表示椭圆在第四象限的部分； 当，时，方程为，即，表示双曲线在第三象限的部分， 当，时，无实数解. 设，则直线的斜率为，恰好与两段双曲线的渐近线中的一条平行. 考察截距：对于第一象限的双曲线支，直线平行于渐近线且在其下方. 当直线过顶点时有最大值，当直线无限接近渐近线时无限接近，此时； 同理对于第三象限的双曲线支直线过顶点时有最大值，此时 对于第四象限的椭圆弧， 当直线与椭圆相切时，有最大值 由与联立，可得判别式， 解得，故此段. 综上，的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）由题意，，根据直线的垂直系方程，可设直线的方程为，又直线经过点，代入可求得，即可求得直线的方程； （2）由直线在两坐标轴上的截距相等，分直线经过原点和直线不经过原点两种情况进行讨论，结合直线经过点，即可求得直线方程. 【小问1详解】 因为，所以可设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，解得． 所以直线的方程为． 【小问2详解】 已知直线在两坐标轴上的截距相等， 若直线过原点，设直线的方程为， 因为直线经过点，所以， 此时直线的方程为，即． 若直线不过原点，设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，所以． 此时直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 16. 已知抛物线的焦点在直线上． （1）求的方程； （2）为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）根据直线方程可得焦点，即可得和抛物线方程； （2）设直线的方程为，联立方程可得韦达定理，可得，即可得面积，进而分析最值. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点在轴正半轴上， 对于直线，令，可得， 可知焦点，即，可得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由题意可知：直线的斜率可能不存在，且不为0， 设直线的方程为，， 联立方程，消去y可得， 则，可得，， 则， 可得的面积， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积最小值为8. 17. 设中，角所对的边分别为，． （1）求A； （2）已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值． 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，利用正弦定理进行边化角，再利用三角恒等变换公式进行化简即可； （2）根据是边上靠近点的三等分点，可得，从而可得，对等式两边同时平方化简即可得到答案． 【小问1详解】 由正弦定理及， 得， ， ， ． ∵，∴，整理得． 又∵， ∴，∴． 【小问2详解】 由题知， 则， 故， 两边平方得． ∵， ∴， 即． ∵，即，∴， ∴． 18. 已知与，过点作的切线，切点分别为、. （1）求直线与的方程； （2）求； （3）求与的所有公切线的方程. 【答案】（1）直线与的方程为或. （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）求出圆的圆心坐标和半径，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线的斜率不存在时，直接验证即可；在切线的斜率存在时，设出切线方程，利用直线与圆的位置关系求出参数的值，综合可得出切线的方程； （2）求出的值，利用二倍角的余弦公式求出的值，利用平面向量数量积的定义可求得的值； （3）分析可知两圆外切，可知两圆的公切线有三条，将两圆方程作差可得出其中一条公切线方程，然后利用三角形相似与对称性可求出另外两条公切线的方程, 【小问1详解】 可化为，圆心，半径. 设过且与圆相切的直线为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与相切，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与相切，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线与的方程为或. 【小问2详解】 由切线的几何性质可得， ，所以， 又，， 所以. 【小问3详解】 的圆心，半径；的圆心，半径. 因为，所以与外切，因此与共有条公切线. 与两方程相减，得一条公切线为. 设直线是与的一条公切线， 且直线与轴交于点，与相切于点，与相切于点 ，则，所以，即，所以. 所以，，所以. 将代入，得， 所以一条公切线为，即. 根据对称性，直线，即也是与的公切线. 综上所述，与的所有公切线的方程为或或. 19. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. （1）求的方程； （2）求证：的值为定值； （3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明：由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时， ，（或，），此时. 若直线与直线的斜率都存在时，如图： AI 设直线的方程为，，， 由，得， 所以，. 所以 因为，将换成，得， 所以. 综上所述，的值为定值. （3）证明：由（2）得，， 因为是的中点，所以， 将换成，得，即 若直线的斜率存在，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点 若直线的斜率不存在，则，解得， 此时直线的方程为，直线也过定点. 综上，直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据条件列式求，再根据的关系求，可得椭圆的标准方程. （2）分直线有无斜率，利用弦长公式表示，化简即可. （3）利用直线的斜率表示出点的坐标，进而得到直线的方程，化成点斜式，可得定点坐标. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则由题意得，解得. 所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：北师大版必修第二册，选择性必修第一册第一章～第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1. 在复平面内，复数z对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 2. 圆心为且过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若抛物线的准线方程为，是上一点，则（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 4. 若圆锥的轴截面是斜边为2的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若圆上到直线的距离为1的点仅有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆：，圆：，则（ ） A. 若，则圆与圆相切 B. 若，则圆在轴上截得的弦长为 C. 若，则直线为圆与圆的一条公切线 D. 若，则圆与圆公共弦所在的直线为 11. 已知双曲线的离心率为2，左､右焦点分别为是上的动点，且，若直线与的右支交于两点，的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 若的斜率分别为，则 C. 若为坐标原点，且的斜率分别为，则 D. 若经过，则的内心与三点共线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线平行，则实数__________. 13. 已知是抛物线上的动点，是圆上的动点，若的焦点为，则的最小值为__________. 14. 已知实数，满足，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 16. 已知抛物线的焦点在直线上． （1）求的方程； （2）为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值． 17. 设中，角所对的边分别为，． （1）求A； （2）已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值． 18. 已知与，过点作的切线，切点分别为、. （1）求直线与的方程； （2）求； （3）求与的所有公切线的方程. 19. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. （1）求的方程； （2）求证：的值为定值； （3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $