精品解析：宁夏吴忠市吴忠中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

吴忠中学 2026—2027 学年第一学期期中考试 高一数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题 ：，，那么 为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，是实数，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若函数是指数函数,则的值为 A. 2 B. -2 C. D. 5. 已知幂函数，且的图象在第一象限内单调递增，则实数 （ ） A. 0 B. C. 3 D. 3或 6. 已知定义在上的偶函数在上单调，且，则 ，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．全部选对得 6 分，选不全得 3 分，多选或选错一个得 0 分． 9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 设集合，.若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题正确的是（　　） A. 若函数定义域是，则的定义域是 B. 函数是奇函数也是单调递减函数 C. 若且，则的最小值为 D. 一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 三、填空题：本大题共 3 小题，单空题每空 5 分，共 15 分． 12. 设函数 ， 若 ， 则 ____________. 13. ______． 14. 已知，设，则函数的最大值是__________． 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的定义域为集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）在区间上，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围． 17. 已知是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式：. 18. 已知幂函数是非奇非偶函数. （1）求函数的解析式； （2）已知是定义在上的奇函数，当时，. （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 19. 函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数． （1）当，时， ①求函数的不动点； ②记为函数在上的最大值求； （2）若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠中学 2026—2027 学年第一学期期中考试 高一数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的计算即可. 【详解】因为集合， . 故选：B. 2. 已知命题 ：，，那么 为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】存在量词命题的否定为全称量词命题，条件不变，否定结论. 【详解】“”替换量词为“”，结论“”的否定为“”， 因此：，. 3. 设，是实数，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D. 考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质. 4. 若函数是指数函数,则的值为 A. 2 B. -2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的定义可得a﹣3＝1，a＞0，a≠1，先求出函数解析式，将x代入可得答案． 【详解】解：∵函数f（x）＝（a﹣3）•ax是指数函数， ∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1， 解得a＝8， ∴f（x）＝8x， ∴f（）2， 故选D． 【点睛】本题主要考查了指数函数的定义：形如y＝ax（a＞0，a≠1）的函数叫指数函数，属于考查基本概念． 5. 已知幂函数，且的图象在第一象限内单调递增，则实数 （ ） A. 0 B. C. 3 D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及性质得到，解得即可. 【详解】因为幂函数，且的图象在第一象限内单调递增， 所以，解得. 故选：C 6. 已知定义在上的偶函数在上单调，且，则 ，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将已比较的和待比较的函数值的自变量都转化到上，判断在上的单调性，通过自变量的大小比较函数值的大小. 【详解】因为是偶函数，所以，， 又因为在上单调，，所以在上单调递减. 因为，所以，即. 7. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一次函数、二次函数的单调性求的区间值域，结合函数新定义列不等式求参数范围. 【详解】当，得， 当时，在上单调递增，则， 由题意，解得. 故选：C 8. 若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】整理可得且，根据题意结合偶函数对称性分析函数的符号，进而解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，则， 可得，可得且， 因为在上单调递减，且， 可知在上单调递增，且， 当时，则，故； 当时，则，故； 综上：的解集为. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．全部选对得 6 分，选不全得 3 分，多选或选错一个得 0 分． 9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，则两函数不为同一函数，故A错误； 对于B，，，则两函数为同一函数，故B正确； 对于C，，，则两函数为同一函数，故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为，则两函数不为同一函数，故D错误. 故选：BC. 10. 设集合，.若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意写出集合的元素，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，利用分情况讨论，可得答案. 【详解】由题，， 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，所以，即或. 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是，. 故选：AD. 11. 下列命题正确的是（　　） A. 若函数定义域是，则的定义域是 B. 函数是奇函数也是单调递减函数 C. 若且，则的最小值为 D. 一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，利用抽象函数的定义域的求解方法求解；选项B，利用函数的单调性奇偶性分析即可；选项C，利用基本不等式求解；选项D，先通过一元二次不等式的解集为，得出参数之间的关系，代入不等式中化简，然后利用一元二次不等式的解法解出即可. 【详解】选项A，由函数定义域是，所以， 由，所以的定义域是，故A正确； 选项B，由函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 又函数在上单调递减，故B错误； 选项C，因为且， 所以，由即， 由， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 选项D，由一元二次不等式的解集为， 可知，为方程的两个实根， 所以， 所以不等式化为， 因为，所以，解得：， 所以不等式的解集为 ，故D正确. 三、填空题：本大题共 3 小题，单空题每空 5 分，共 15 分． 12. 设函数 ， 若 ， 则 ____________. 【答案】3 【解析】 【分析】由分段函数解析式可得答案. 【详解】由题有， 则，解得． 故答案为：3 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】将根式化成分数指数幂，再根据分数指数幂的运算法则计算可得. 【详解】. 14. 已知，设，则函数的最大值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】分两种情况，求出分段函数在各自区间上的取值范围或最大值，最终求出结果. 【详解】令，解得；令，解得或； 所以， 当时，在上单调递增，则； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 且，，所以； 综上所述：函数的最大值为1. 故答案为：1. 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的定义域为集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，在根据并集的定义写出； （2）根据题意，对是否为空集分类讨论即可. 【小问1详解】 函数定义域为，即，而时，，根据并集的定义，. 【小问2详解】 ，，当时，可能，此时，即；时，则，当时，或，解得. 综上，时，. 16. 二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）在区间上，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由函数为二次函数，设出其解析式为，然后利用题目条件确定系数，从而求得函数的解析式； （2）将在区间上，的图象恒在图象的上方，转化为在上恒成立，即 在上最小值大于零，即可求解. 【小问1详解】 由题设， ．又， ， ． 【小问2详解】 当时，的图象恒在图象上方， 所以当时，恒成立，即恒成立． 令，对称轴为，故函数在上单调递减， 当时，， 故，解得，所以实数的取值范围为． 17. 已知是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1） （2） 在上单调递增.证明如下： 由（1）知，，设， 则， 因为，所以，， 所以， 即，故函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得，再进行检验即可得解； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可证明； （3）根据，再利用函数的单调性与定义域列出关于的不等式组，求解即可． 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 所以，解得. 当时，，此时， 经验证满足题意，则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以不等式化为， 因为在上单调递增，所以， 解得或， 故不等式的解集为. 18. 已知幂函数是非奇非偶函数. （1）求函数的解析式； （2）已知是定义在上的奇函数，当时，. （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义，建立方程求得参数，结合奇偶函数的定义，分情况验根，可得答案； （2）（i）根据奇函数的性质，可得函数解析式；（ii）根据函数解析式作图，结合图象建立不等式，可得答案. 【小问1详解】 由题知，，即， 即，解得或， 当时，，是非奇非偶函数， 当时，，是偶函数， 所以的解析式是. 【小问2详解】 当时，， （ⅰ）设，则，所以， 又为奇函数，所以，所以当时，. 即. （ⅱ）作函数的图像如图所示， 要使在上单调递增，结合的图象知，所以， 所以的取值范围是. 19. 函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数． （1）当，时， ①求函数的不动点； ②记为函数在上的最大值求； （2）若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围． 【答案】（1）① 和 ②当 时，；当 时， （2） 【解析】 【分析】（1）①将 ， 的值代入，由不动点定义列方程 求解； ②二次函数开口向上，闭区间上的最大值在端点处取得，比较 与 的大小，按 的取值分类. （2）不动点是方程 的根，由 ， 及韦达定理把 表示成 的函数，换元后利用对勾函数的单调性求值域，再检验判别式. 【小问1详解】 ①当 ， 时，. 令 ，即 ，整理得 . 即 ，解得 或 . 所以函数 的不动点为 和 . ② 的图象开口向上，对称轴为 ， 所以 在 上的最大值在区间端点处取得， 即 为 与 中较大者. . 当 ，即 时，，. 当 ，即 时，，. 所以 时 ， 时 . 【小问2详解】 令 ，得 ，， 是该方程的两个不等实根. 由韦达定理得 . 因为 ，，所以 . 所以 ，解得 . 令 ，由 得 ，且 . 则 . 设 ，任取 ，则 . 因为 ，，所以 . 所以 在 上单调递增. 又 ，，所以 ，即 . 检验：此时 ，即 ，又 ， 所以 ，方程有两个不等实根，符合题意. 所以实数 的取值范围是 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $