精品解析：河南省鹿邑县高级中学校2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

高一期中数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为函数的图象上一动点，当取得最大值时，关于的不等式的最大整数解为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式的解集为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，为实数，且满足，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则下列选项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 的最小值为2 11. 已知函数，的定义域均为，且，，，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则________． 13. 若，则的最小值为___________. 14. 已知表示不超过实数的最大整数，如，，则不等式的解集为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求中所有整数元素组成集合的非空子集的个数； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知幂函数（）的图象经过点. （1）求的值及的解析式； （2）求不等式的解集. 17. 某路段需铺设防滑沥青，总长度为，设施工队每天铺设的长度为，每天的费用为万元，当时，，当时，. （1）求完成该路段的铺设工作的总费用.（总费用=每天的费用施工天数） （2）当为多少时，完成该路段的铺设工作的总费用最低？最低总费用是多少？ 18. 已知，均为正实数，且． （1）求的最小值； （2）求证：； （3）求的最小值． 19. 已知函数的定义域为，且当时，．对于任意的，定义集合． （1）若当时，，求； （2）若为奇函数， （ⅰ）求的解析式，并在如图所示的网格图中作出的图象； （ⅱ）若，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期中数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由集合的交集运算，即可得到结果 【详解】因为集合，则， 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以“，”的否定是“，”. 3. 已知函数，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以. 4. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据具体函数定义域及抽象函数定义域的求法列不等式，解不等式即可. 【详解】由的定义域为， 在中，得， 则的定义域为. 6. 已知为函数的图象上一动点，当取得最大值时，关于的不等式的最大整数解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时， 故所求不等式即为，解得， 所以关于的不等式的最大整数解为. 7. 已知关于的不等式的解集为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用韦达定理求出两个根的和与积，代入利用基本不等式求解，但要注意利用不等式时要为正数。 【详解】将不等式转化为，由韦达定理得，， 因此， 由于，所以设，则， 所以， 故的最大值为. 8. 设，为实数，且满足，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可以构造函数，根据函数的单调性及奇偶性求解. 【详解】设，因为是增函数，是增函数， 所以为增函数. 又，所以为奇函数. 将，化为， 即， 因为为奇函数，所以， 又因为函数为增函数，所以，即． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则下列选项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由且，可得，，故A正确. 对于B，的符号不确定，故B错误. 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D正确. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】由分母不为0，排除A，验证，判定为偶函数，通过导数判断单调性，用基本不等式求最小值. 【详解】对于选项A：的定义域为，并非全体实数 ，故A错误. 对于选项B：的定义域为，且 ，因此 是偶函数，故B正确. 对于 选项C：对 求导得，当 时，，故 在 上单调递增，C正确.  对于选项D：由基本不等式，（当且仅当 ，即 时取等号），故 的最小值为2，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，的定义域均为，且，，，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先处理的递推关系，通过递推公式得到的周期，结合，可计算的特殊点函数值；再处理的对称性，由可得的对称轴，结合，可得的奇偶性，经处理可得的关系. 【详解】A项，当时，有，则，故A正确； B项，已知，则，两式相加得， 则，所以为周期为6的周期函数，所以，故B错误； C项，由得，则， 又，则，即， 所以，即，又因为的定义域为R， 所以为偶函数，故C错误； D项，由，得， 则，所以， 由B项分析可知，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据两个集合相等，确定两个集合的元素必须完全相同；再观察集合中的已知元素，集合含有，则集合中必有，结合已有元素，建立对应关系得到，；再求解得到的值；接着将代入代数式求值；最后检验集合元素满足互异性. 【详解】， 集合 元素完全相同，则： 中有元素 ，则 必有元素 ， 已有元素 ，得方程组：， 即 ，， ∴， ，满足集合元素互异性. 13. 若，则的最小值为___________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 14. 已知表示不超过实数的最大整数，如，，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法，结合的意义，分类讨论求解. 【详解】由可得， 即， ①当，即时，不等式为， 解得； ②当时，，所以不等式的解为， 因为，所以 所以无解，即无解； ③当时，，所以不等式的解为， 由，即，所以，所以， 由，即，当时，不等式成立， 当时，，，不满足， 故不等式的解为. 综上，不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求中所有整数元素组成集合的非空子集的个数； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）15个； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用列举法表示给定集合，进而求出其非空子集的个数. （2）解不等式化简集合，再利用交集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 当时，，则集合中有4个整数元素， 所以中所有整数元素组成集合的非空子集的个数为个. 【小问2详解】 由，解得，则， 由，得， 当时，，解得，满足； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知幂函数（）的图象经过点. （1）求的值及的解析式； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义求得，再结合点求得，即可； （2）由（1）将不等式展开，结合一元二次不等式求解即可. 【小问1详解】 因为为幂函数，所以，解得， 因为的图象经过点， 所以，则， 解得或， 又，故，则， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 则即为， 整理得，即， 解得， 所以原不等式的解集为． 17. 某路段需铺设防滑沥青，总长度为，设施工队每天铺设的长度为，每天的费用为万元，当时，，当时，. （1）求完成该路段的铺设工作的总费用.（总费用=每天的费用施工天数） （2）当为多少时，完成该路段的铺设工作的总费用最低？最低总费用是多少？ 【答案】（1） （2）当时，总费用最低，最低总费用是8万元. 【解析】 【分析】（1）由题意得铺设完工所需时间为天，根据题意分析得出函数解析式即可； （2）根据（1）中函数的解析式利用函数单调性和基本不等式分析求解即可. 【小问1详解】 由题意，铺设完工所需时间为天， 当时，, 当时，， 所以 . 【小问2详解】 当时，是减函数， 所以当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立，， 因为，所以当时，总费用最低，最低总费用是8万元. 18. 已知，均为正实数，且． （1）求的最小值； （2）求证：； （3）求的最小值． 【答案】（1）4 （2）因为，所以， 当且仅当时，等号成立，即． 由(1)知，，当且仅当时，等号成立． 两式相加，得，当且仅当时，等号成立． （3）5 【解析】 【分析】(1)由，当且仅当，求出最小值； (2)利用结合(1)结论相加证明； (3)配凑式子，多次用基本不等式，验证等号同取，求得最小值. 【小问1详解】 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为4. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 ， 取等号的条件是，因此的最小值是5. 19. 已知函数的定义域为，且当时，．对于任意的，定义集合． （1）若当时，，求； （2）若为奇函数， （ⅰ）求的解析式，并在如图所示的网格图中作出的图象； （ⅱ）若，且，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）， （ⅱ）当时，，，， 因为，所以，所以． 当时，，，， 又，所以． 当时，，，， 所以． 综上，，证毕． 【解析】 【分析】（1）根据定义列出不等式，求解不等式的解集即可； （2）（ⅰ）根据奇函数的性质即可得到解析式，再结合反比例函数的图象及性质即可作出的图象； （ⅱ）分，和三种情况进行讨论证明即可． 【小问1详解】 依题意，得，则， 又在上单调递增，在上单调递减． 由， 得，解得． 故． 【小问2详解】 （ⅰ）因为是定义域为的奇函数，所以． 当时，，，所以． 所以， 作出的图象如下图所示： （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $