精品解析：2026年四川省资阳市中考数学试卷

2026年四川省资阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） •（2026•资阳）•【易】 1. 在3，，1.5，0这四个数中，最小的数是（ ） A. 3 B. 1.5 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据有理数大小比较规则，负数小于与正数，可快速定位最小数． 【详解】解：∵ 在，，，这四个数中，仅是负数， ∴ 最小的数是． •（2026•资阳）•【较易】 2. 某多面体的表面展开图如图所示，则该多面体可能是（ ） A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 四棱锥 【答案】A 【解析】 【详解】解：该多面体可能是三棱柱． •（2026•资阳）•【较易】 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，与不是同类项，无法合并，计算错误； B选项，，计算错误； C选项，，计算正确； D选项，，计算错误． •（2026•资阳）•【较易】 4. 2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”．某班在6月的一次班团活动中围绕“人人享有眼健康”这一主题开展科学护眼知识竞赛活动，该班6个小组的得分分别为：86，88，92，90，90，95，则这组数据的中位数是（ ） A. 89 B. 90 C. 91 D. 92 【答案】B 【解析】 【详解】解：将数据从小到大排列为， ∵ 数据总个数为，是偶数， ∴ 中位数为第个和第个数据的平均数，即． •（2026•资阳）•【易】 5. 2025年国民经济和社会发展统计公报显示，我国2025年服务机器人产量为1858.1万套．将数“1858.1万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：万． •（2026•资阳）•【较易】 6. 将一块三角形纸片和一块矩形纸片叠放在一起，其示意图如图所示，其中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：在  中，，， ， 过点作平行于矩形的上边，则，  矩形对边平行， 平行于矩形下边， ， 又， ． •（2026•资阳）•【较易】 7. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ ，即， 解得. •（2026•资阳）•【较易】 8. 已知一个正六边形的边长为2，则该正六边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将正六边形分割成六个全等的正三角形，通过计算一个正三角形的面积，再乘以，即可得到正六边形的面积． 【详解】解：∵正六边形的中心角为，中心到各顶点的距离相等， ∴其中心与各顶点连线将正六边形分为6个边长为的全等等边三角形． 如图，是等边三角形，过作于， 则， ∴， ∴一个三角形的面积为， ∴正六边形的面积为． •（2026•资阳）•【中档】 9. 如图，在中，，，．以点为圆心、的长为半径作弧交于点；连接，分别以点和为圆心、相同长（大于线段长的一半）为半径作弧，在内，两弧交于点；作射线，交于点，连接．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明是等边三角形，得到，，连接，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由作图得， ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， 由作图得，平分 ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴，，， ∴， 如图，连接 ∴ ∴ ∴ ∴． •（2026•资阳）•【中档】 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）的对称轴是直线，该抛物线经过点，且与轴交于点，连接．给出下列结论：①；②若点在抛物线上，且大于2，则一定大于0；③若将线段绕点顺时针旋转后得到线段，且点恰好在直线上，则．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称轴公式可判断①；首先利用对称性求出，然后得到点在点左边或在点右边，即可判断②；设直线与x轴交于点C，证明，得到，然后利用待定系数法求出，即可判断③． 【详解】解：∵抛物线（）的对称轴是直线， ∴，即，故①正确； ∵该抛物线经过点， ∴该抛物线与x轴的另一个交点为，且两个交点到对称轴的距离为2， ∴由图象可得，若点在抛物线上，且大于2，则或， ∴点在点左边或在点右边， ∴一定大于0，故②正确； 如图，设直线与x轴交于点C ∴ 由旋转得，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴抛物线 将，代入得， 解得， 故③正确． 综上所述，所有正确结论的序号是①②③． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） •（2026•资阳）•【较易】 11. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接用平方差公式分解即可． 【详解】解：． •（2026•资阳）•【较易】 12. 在分别写有数字到的张小卡片中，随机抽出张，则该卡片上的数字是的倍数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】总共有种等可能的抽卡结果，统计到中的倍数的个数，代入等可能事件的概率公式计算即可． 【详解】解：从写有到数字的张小卡片中随机抽取张，共有种等可能的结果，其中是的倍数的数字为，共种符合要求的结果， ∴ 该卡片上的数字是的倍数的概率为． •（2026•资阳）•【较易】 13. 图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示，已知，都垂直于水平面，与相交于点．若点到线段，所在直线的距离分别为，，蜡烛火焰的高度为，则蜡烛火焰的像的高度为_________________． 【答案】5 【解析】 【分析】由可得，即得，据此解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． •（2026•资阳）•【较易】 14. 如图，已知线段与相交于点，，若使，则可增加的一个条件是__________．（写出一个符合要求的条件即可） 【答案】（或或） 【解析】 【详解】解：∵，， ∴若添加，可利用证明； ∴若添加，可利用证明； ∴若添加，可利用证明； ∴可增加的一个条件是（或或）． •（2026•资阳）•【较易】 15. 我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了这样一道题：今有人买物，每人出银三两五钱，盈六两；每人出三两三钱，盈二两八钱，问人数、物价各若干．大意是：现有一群人合伙买一件物品，若每人拿出3两5钱银子（注：1两等于10钱），则总钱数比此物品价格多6两；若每人拿出3两3钱银子，则总钱数比此物品价格多2两8钱．那么一共有_______人，此物品的价格是______两． 【答案】 ①. 16 ②. 50 【解析】 【分析】人数和物价为固定不变的量，两种出钱方式下总钱数与物价的差值为已知盈余量，先统一货币单位，再根据等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：首先统一单位，由1两钱，可得3两5钱两，3两3钱两，2两8钱两． 设一共有人，物品价格为两． 根据第一种出钱方式的盈余关系，可得， 根据第二种出钱方式的盈余关系，可得， ， 解得， ∴一共有16人，此物品的价格是50两． •（2026•资阳）•【中档】 16. 如图，在中，，，，，分别是线段，上的动点（，不重合），且，则周长的最小值为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】设，则，的周长为，问题转化为求的最小值；过点作于，利用勾股定理表示出关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设． ∵，在上， ∴． ∵在上，， ∴． 的周长． 要使周长最小，需最小． 过点作于． 在中，，∴， ∴，． ． 在中，， ∴ ． ∵， ∴当时，有最小值4，此时． ∵，符合题意． ∴周长的最小值为． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） •（2026•资阳）•【较易】 17. 按要求完成下列各题 （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分式方程去分母转化为整式方程求解，最后检验即可； （2）分别求解两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 方程两边同乘，得  ， 解得 ， 检验：当时，， 因此是原方程的解； 【小问2详解】 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集为． •（2026•资阳）•【中档】 18. 年春假期间，某校倡导学生积极参加劳动实践．假期结束后，学校随机抽取了部分学生，调查他们在假期中的劳动时长（单位：小时），将调查结果分为四个等级：等级（）、等级（）、等级（）、等级（），并绘制成如图1和图2所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了________名学生，并补全图的条形统计图； （2）在图的扇形统计图中，求等级所在扇形的圆心角的度数； （3）已知劳动时长不低于小时的名学生由名男生和名女生构成，从这名学生中随机抽取名分享劳动实践感悟．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到名男生和名女生的概率． 【答案】（1），补全条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等级人数和对应百分比求出样本总量，再减去、、等级的人数算出等级人数并补全条形统计图； （2）用等级的人数占比乘求扇形圆心角； （3）列表枚举全部等可能情况，统计符合条件的情况数量，求出概率． 【小问1详解】 解：据图可知，等级的人数为，占比， 则抽取学生的人数为， 故等级的人数为人． 【小问2详解】 解：共抽取人参与调查，等级的人数为， 则等级所在扇形的圆心角的度数为． 【小问3详解】 解：设名男生分别为男，男，男，名女生分别为女，女， 抽取的可能结果如下表： 男 男 男 女 女 男 男，男 男，男 女，男 女，男 男 男，男 男，男 女，男 女，男 男 男，男 男，男 女，男 女，男 女 男，女 男，女 男，女 女，女 女 男，女 男，女 男，女 女，女 可知共有种等可能情况， 其中恰好抽到名男生和名女生的情况有种， 故恰好抽到名男生和名女生的概率为． •(2026•资阳)•【中档】 19. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数()的图象与反比例函数的图象相交于点和点，连接并延长，交反比例函数图象于点，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）8 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法分别求出反比例函数的表达式以及一次函数的表达式即可； （2）根据反比例函数的性质得出，求出直线的表达式，令直线与x 轴的交点为M，求出点M的坐标，根据求解即可． 【小问1详解】 解：把代入中，则， ∴反比例函数的表达式为：． 把点代入，得：， 解得：， ∴， 把点和代入中，得： ， 解得∶， ∴一次函数的表达式为：． 【小问2详解】 解：∵连接并延长，交反比例函数图象于点， ∴点C的坐标与点B的坐标关于点O对称， ∴， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令直线与x 轴的交点为M，如下图： 当时，则，解得， ∴， ∴，， ∴． •（2026•资阳）•【中档】 20. 某商店销售A，B两款柠檬产品．已知2件A款柠檬产品和3件B款柠檬产品的售价总和为230元；4件A款柠檬产品和5件款柠檬产品的售价总和为410元． （1）求A，B两款柠檬产品每件的售价； （2）某公司计划在该商店购买A，B两款柠檬产品共140件，且购买B款柠檬产品的件数不少于购买A款柠檬产品件数的．请你帮该公司设计购买方案，使购买A，B两款柠檬产品所花的费用最少，并求出最少费用． 【答案】（1）A款柠檬产品每件售价40元，B款柠檬产品每件售价50元； （2）费用最少的购买方案为购买A款柠檬产品80件、B款柠檬产品60件，最少费用为6200元． 【解析】 【分析】（1）设A款柠檬产品每件售价x元，B款柠檬产品每件售价y元，根据题意建立方程组求解即可； （2）设购买A款柠檬产品m件，该公司的花费为w元，列出w关于m的关系式，再求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A款柠檬产品每件售价x元，B款柠檬产品每件售价y元， 由题意得，， 解得， 答：A款柠檬产品每件售价40元，B款柠檬产品每件售价50元； 【小问2详解】 解：设购买A款柠檬产品m件，该公司的花费为w元，则购买B款柠檬产品件， 由题意得，， ∵购买B款柠檬产品的件数不少于购买A款柠檬产品件数的， ∴， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w有最小值，最小值为， ， 答：费用最少的购买方案为购买A款柠檬产品80件、B款柠檬产品60件，最少费用为6200元． •（2026•资阳）•【中档】 21. 如图，是四边形的外接圆，为的直径，，为延长线上的一点，连接，与互余． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明∶连接、交于点F， ∵是四边形的外接圆，为的直径， ∴， ∴． ∵为延长线上的一点，连接，与互余， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且于点C， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接、交于点F，由直径所对的圆周角等于90度得出，结合已知条件证明，由垂径定理推论得出垂直平分，得出，即可证明是的切线． （2）连接，由直径所对的圆周角等于90度得出，由等角的余角相等得出，证明，由相似三角形的性质得出，可求出，再证明，然后由正弦的定义求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解∶连接， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，即， ∴． •（2026•资阳）•【中档】 22. 【综合与实践】测量河两岸，两景点间的距离．某班学习小组设计了如下方案：示意图如图所示，先在景点处测得河对岸的景点在的北偏西方向上；然后在的正西方向且与相距的观测点处（点，，在同一水平面内），测得在的北偏西方向上．根据该小组测得的数据计算： （1）景点到直线的距离； （2），两景点间的距离．（结果保留根号；参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，设，表示、，利用建立方程求解得到距离； （2）利用，结合，求出斜边即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点，则， 根据题意可知，，， 设， 则， 解得， ， ， ， ， 解得， 故景点到直线的距离为． 【小问2详解】 解：据（1）可知， ∵， ∴， 解得， 故，两景点间的距离约为． •（2026•资阳）•【较难】 23. 已知四边形与四边形相似，，，，的对应边分别为，，，，，与的对应角分别为，，连接和． （1）【特例感知】如图1，若四边形和四边形都是正方形，线段，相交，则_________； （2）【类比探究】如图2，若四边形和四边形都是平行四边形，点在线段上，，，，，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，若四边形和四边形都是矩形，，线段，相交，且交点与不重合，连接．试探究：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）1 （2） （3）为定值，理由如下： 连接，，如下图： ∵四边形与四边形相似， ∴， ∵， ∴， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质得出， ，由角的和差关系得出，证明，由全等三角形的性质得出即可求解． （2）过B作于H，由平行四边形的性质得出，进而可得出，由勾股定理求出，得出，由余弦的定义进一步求出，由相似多边形的性质进一步求出，证明，由相似三角形的性质即可求出． （3）连接，，由相似多边形的性质得出，由勾股定理得出，，进而可得出，再证明，由相似三角形的性质得出，即可求出． 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过B作于H，如图∶ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：，（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【小问3详解】 略； （13分）•（2026•资阳）•【难】 24. 如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，（点在点的左边），且与轴交于点，连接，． （1）求的度数； （2）是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标； （3）如图2，是抛物线上位于第二象限的一点，连接交于点，以为直径的圆分别经过线段，上的点，（点，异于点），连接．求的最小值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）的最小值为； 【解析】 【分析】（1）先求出，，得出，根据等腰三角形的性质得出； （2）设交于点D，过点D作于点E，证明，设，则，解直角三角形得出，求出，得出，求出直线的解析式为，从而求出此时点P的坐标为，根据轴对称再求出点的坐标为； （3）连接、，过点N作于点T，证明，得出，从而得出，求出直线的表达式为，直线的表达式为，得出，求出，根据二次函数的性质，求出最小值，求出，求出直线的解析式为，最后求出点Q的坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴点C的坐标为， ∴， 把代入得， 解得：，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设交于点D，过点D作于点E，如图所示： 则， ∵，， ∴， 由（1）可知：， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令， 解得：，， 把代入得， ∴此时点P的坐标为； 根据轴对称可得：当点P在x轴下方的处时，，， ∴， 同理可得此时直线的解析式为， 令， 解得：，， 把代入得， ∴此时点的坐标为； 综上，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，连接、，过点N作于点T， ∵为圆的直径， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 设直线的表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 同理可得：直线的表达式为， ∴， ， ∵， ， ∴， 解得：， 设， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令， 解得：，， 把代入得：， ∴点Q的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年四川省资阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） •（2026•资阳）•【易】 1. 在3，，1.5，0这四个数中，最小的数是（ ） A. 3 B. 1.5 C. 0 D. •（2026•资阳）•【较易】 2. 某多面体的表面展开图如图所示，则该多面体可能是（ ） A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 四棱锥 •（2026•资阳）•【较易】 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. •（2026•资阳）•【较易】 4. 2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”．某班在6月的一次班团活动中围绕“人人享有眼健康”这一主题开展科学护眼知识竞赛活动，该班6个小组的得分分别为：86，88，92，90，90，95，则这组数据的中位数是（ ） A. 89 B. 90 C. 91 D. 92 •（2026•资阳）•【易】 5. 2025年国民经济和社会发展统计公报显示，我国2025年服务机器人产量为1858.1万套．将数“1858.1万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. •（2026•资阳）•【较易】 6. 将一块三角形纸片和一块矩形纸片叠放在一起，其示意图如图所示，其中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. •（2026•资阳）•【较易】 7. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 •（2026•资阳）•【较易】 8. 已知一个正六边形的边长为2，则该正六边形的面积为（ ） A. B. C. D. •（2026•资阳）•【中档】 9. 如图，在中，，，．以点为圆心、的长为半径作弧交于点；连接，分别以点和为圆心、相同长（大于线段长的一半）为半径作弧，在内，两弧交于点；作射线，交于点，连接．则的长为（ ） A. B. C. D. •（2026•资阳）•【中档】 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）的对称轴是直线，该抛物线经过点，且与轴交于点，连接．给出下列结论：①；②若点在抛物线上，且大于2，则一定大于0；③若将线段绕点顺时针旋转后得到线段，且点恰好在直线上，则．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） •（2026•资阳）•【较易】 11. 分解因式：_________． •（2026•资阳）•【较易】 12. 在分别写有数字到的张小卡片中，随机抽出张，则该卡片上的数字是的倍数的概率为______． •（2026•资阳）•【较易】 13. 图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示，已知，都垂直于水平面，与相交于点．若点到线段，所在直线的距离分别为，，蜡烛火焰的高度为，则蜡烛火焰的像的高度为_________________． •（2026•资阳）•【较易】 14. 如图，已知线段与相交于点，，若使，则可增加的一个条件是__________．（写出一个符合要求的条件即可） •（2026•资阳）•【较易】 15. 我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了这样一道题：今有人买物，每人出银三两五钱，盈六两；每人出三两三钱，盈二两八钱，问人数、物价各若干．大意是：现有一群人合伙买一件物品，若每人拿出3两5钱银子（注：1两等于10钱），则总钱数比此物品价格多6两；若每人拿出3两3钱银子，则总钱数比此物品价格多2两8钱．那么一共有_______人，此物品的价格是______两． •（2026•资阳）•【中档】 16. 如图，在中，，，，，分别是线段，上的动点（，不重合），且，则周长的最小值为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） •（2026•资阳）•【较易】 17. 按要求完成下列各题 （1）解方程：； （2）解不等式组：． •（2026•资阳）•【中档】 18. 年春假期间，某校倡导学生积极参加劳动实践．假期结束后，学校随机抽取了部分学生，调查他们在假期中的劳动时长（单位：小时），将调查结果分为四个等级：等级（）、等级（）、等级（）、等级（），并绘制成如图1和图2所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了________名学生，并补全图的条形统计图； （2）在图的扇形统计图中，求等级所在扇形的圆心角的度数； （3）已知劳动时长不低于小时的名学生由名男生和名女生构成，从这名学生中随机抽取名分享劳动实践感悟．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到名男生和名女生的概率． •(2026•资阳)•【中档】 19. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数()的图象与反比例函数的图象相交于点和点，连接并延长，交反比例函数图象于点，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． •（2026•资阳）•【中档】 20. 某商店销售A，B两款柠檬产品．已知2件A款柠檬产品和3件B款柠檬产品的售价总和为230元；4件A款柠檬产品和5件款柠檬产品的售价总和为410元． （1）求A，B两款柠檬产品每件的售价； （2）某公司计划在该商店购买A，B两款柠檬产品共140件，且购买B款柠檬产品的件数不少于购买A款柠檬产品件数的．请你帮该公司设计购买方案，使购买A，B两款柠檬产品所花的费用最少，并求出最少费用． •（2026•资阳）•【中档】 21. 如图，是四边形的外接圆，为的直径，，为延长线上的一点，连接，与互余． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． •（2026•资阳）•【中档】 22. 【综合与实践】测量河两岸，两景点间的距离．某班学习小组设计了如下方案：示意图如图所示，先在景点处测得河对岸的景点在的北偏西方向上；然后在的正西方向且与相距的观测点处（点，，在同一水平面内），测得在的北偏西方向上．根据该小组测得的数据计算： （1）景点到直线的距离； （2），两景点间的距离．（结果保留根号；参考数据：，，） •（2026•资阳）•【较难】 23. 已知四边形与四边形相似，，，，的对应边分别为，，，，，与的对应角分别为，，连接和． （1）【特例感知】如图1，若四边形和四边形都是正方形，线段，相交，则_________； （2）【类比探究】如图2，若四边形和四边形都是平行四边形，点在线段上，，，，，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，若四边形和四边形都是矩形，，线段，相交，且交点与不重合，连接．试探究：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． （13分）•（2026•资阳）•【难】 24. 如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，（点在点的左边），且与轴交于点，连接，． （1）求的度数； （2）是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标； （3）如图2，是抛物线上位于第二象限的一点，连接交于点，以为直径的圆分别经过线段，上的点，（点，异于点），连接．求的最小值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $