精品解析：山东省泰安市2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二年级考试 数学试题 2026.11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 2. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 点到直线（）的距离的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 5 5. 若，，，四点共面，则（ ） A. B. C. 0 D. 4 6. 在三棱锥中，，，，若，，则直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 7. 设椭圆：（）的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是椭圆上的动点，点为圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知动点到定点、的距离之和为，为坐标原点，则下列说法正确的是（） A. 若过点的直线与动点的轨迹交于、两点，则的最小值为 B. 的最小值为 C. 当时，的面积为 D. 的取值范围为 10. 已知在长方体中，，，，点在上，点在上，，，过点，，的平面与交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与平面平行 C. 四边形的面积为 D. 四面体的外接球的表面积为 11. 已知曲线的方程为，，为曲线上两动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为6 B. 曲线围成的平面图形的面积为 C. 若直线与曲线有四个不同的交点，则 D. 若，均在轴右侧，且，则当，运动时，等边三角形的顶点的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________________． 13. 已知过点的直线与圆交于不同两点，，且，则直线的方程为__________________． 14. 已知过点的直线与圆：交于，两点，的外接圆与直线交于，两点，则点的坐标为__________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正方形的顶点，边所在直线的倾斜角为，顶点在轴上． （1）求直线的方程； （2）求正方形的面积． 16. 已知，，，，． （1）若，，三点共线，求，； （2）若，，求点到直线的距离． 17. 已知圆的方程为（）． （1）证明：圆心在定直线上，并求与轴的交点的坐标； （2）求过点且与所有圆都相切的直线的方程． 18. 如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是圆柱的一条母线，． （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）点是劣弧上的动点（含端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 19. 已知椭圆：（）的上顶点为，左顶点为，离心率为，为坐标原点，线段的中点为，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）过点斜率为的直线与椭圆交于，两点（在轴右侧）； （i）求的面积的取值范围； （ii）设四边形与的面积分别为，，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级考试 数学试题 2026.11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角． 【详解】∵直线x+y﹣20的斜率k，设倾斜角为，则tan= ∴直线x+y﹣2 =0倾斜角为． 故选C． 【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题 2. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由，先解，再利用充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由，得，解得或， 所以是的必要不充分条件. 3. 已知方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】方程对应圆的一般方程形式，其中，，. 由该方程表示圆，必须满足条件. 代入各项系数得. 整理得，解得. 因此实数的取值范围是. 4. 点到直线（）的距离的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先求直线的定点，再利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】由题意得：，令，得，解得，， 所以直线过定点， 所以点到直线的距离的最大值为， 5. 若，，，四点共面，则（ ） A. B. C. 0 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】， 设，则，解得． 6. 在三棱锥中，，，，若，，则直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，，计算，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】由题意得：， ， 又，，， 所以， ， 所以，所以， ，所以， ， 所以. 7. 设椭圆：（）的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆中心对称构造平行四边形，结合椭圆定义得到两条焦半径，再在焦点三角形中用余弦定理建立的关系求离心率． 【详解】设椭圆左焦点为，由关于原点对称可知，四边形为平行四边形， 故， 由椭圆定义， 已知，设，则，故，解得， 故，， 由平行四边形性质，，则， 由得， 由余弦定理， ， 故， ． 8. 已知点是椭圆上的动点，点为圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据椭圆方程确定其焦点坐标，发现点正好是上焦点；再利用圆的性质将的最大值转化为(为圆心)；最后结合椭圆第一定义与三角形三边关系，将问题转化为求的最大值. 【详解】 对于椭圆，其长轴在轴上，，，则半焦距. 故上焦点，下焦点. 注意到已知点正好与上焦点重合. 由椭圆定义可知，所以. 圆的圆心为，半径. 点是圆上的动点，则. 目标式. 在中，根据三角形两边之差小于第三边，有. 当且仅当点在的延长线上时，等号成立. 由，，计算得. 因此的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知动点到定点、的距离之和为，为坐标原点，则下列说法正确的是（） A. 若过点的直线与动点的轨迹交于、两点，则的最小值为 B. 的最小值为 C. 当时，的面积为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题知轨迹为椭圆，方程为.对于A，结合过焦点的最短弦为通径求解判断；对于B，结合椭圆方程得，再结合求解判断；对于C，设，，结合椭圆的定义，勾股定理得，再计算面积即可判断；对于D，结合C得，再结合即可求得范围判断. 【详解】由题知，故的轨迹为椭圆， 其中，两焦点间距，即，， 所以，即椭圆的标准方程为. 选项A，过焦点的椭圆弦中，最短的弦为通径（垂直于长轴的焦点弦）， 通径长度为，即的最小值为，故A错误； 选项B，由题知， 由椭圆方程得，代入得， 因为，所以，当时，取得最小值，即的最小值为，故正确； 选项C，设，，由椭圆定义得，所以， 因为，，所以，解得， 所以的面积为，故正确； 选项D，由C选项知，所以， 因为椭圆中，，即， 所以，当时，有最大值；当或时，有最小值， 所以，的取值范围为，故正确. 10. 已知在长方体中，，，，点在上，点在上，，，过点，，的平面与交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与平面平行 C. 四边形的面积为 D. 四面体的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，对于A选项，设，根据面面平行性质定理得，再结合向量共线求得即可判定；对于B，求解面的法向量，根据是否成立判定；对于C，先说明是平行四边形，再结合数量积运算求得与夹角为，再计算面积判断；对于D，取中点，结合为直角三角形斜边性质，空间距离得求得四面体的外接球的球心即为，再计算表面积判断. 【详解】根据题意，如图，建立空间直角坐标系， 则，， 对于A，设，因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，即，又因为， 所以，即，，所以，A选项正确； 对于B选项，因为 设平面的法向量，则，即， 令，解得，即， 所以，即不与平面法向量垂直， 所以不平行平面，故B选项错误； 对于C，由A选项知，同理，即是平行四边形， 设与夹角为，因为，， 所以， 所以，四边形的面积为，故C正确； 对于D选项，因为为直角三角形，所以，取斜边中点， 此时，， 所以，即为四面体的外接球的球心，其半径为， 所以四面体的外接球的表面积为，故D选项正确. 11. 已知曲线的方程为，，为曲线上两动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为6 B. 曲线围成的平面图形的面积为 C. 若直线与曲线有四个不同的交点，则 D. 若，均在轴右侧，且，则当，运动时，等边三角形的顶点的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由方程可知曲线关于轴对称，分别在和两个范围内分析其几何轨迹，曲线是由两段圆弧构成的封闭图形.对于 A，通过两圆中心距与半径之和求出曲线上两点间距离的最大值；对于 B，利用扇形面积减去三角形面积得到缺口面积，再计算总面积；对于 C，确定直线所过的定点，结合切线斜率与过端点斜率确定交点个数的范围；对于 D，确定中点的轨迹，结合等边三角形的高度分析点的轨迹半径与弧长. 【详解】用代换方程中，方程形式不变， 所以曲线关于轴对称， 当时，方程化为， 表示以为圆心，为半径的圆在轴右侧的部分； 由对称性知，时方程为， 表示以为圆心，为半径的圆在轴左侧的部分. 两圆弧交于和两点.作图如下： 对于 A：曲线上点到点距离最大值出现在左圆弧最左端 与右圆弧最右端之间，最大值为，故 A 正确. 对于 B：右圆弧在部分对应的弦长为，到圆心距离为，对应圆心角为， 该弓形面积为​. 整个曲线面积为​，故 B 错误. 对于C：直线方程为即，过定点. 当直线与左圆弧相切时，，解得，即； 当直线经过交点时，. 结合图形可知，当时，直线与左右两段圆弧各有两个交点，共 4 个， 故 C 正确. 对于 D：在上且，则，中点到距离为， 等边三角形高.由于，则在延长线上或反向延长线上， 此时或. 由于右圆弧对应圆心角范围为，对应的圆心角为， 则中点的轨迹圆心角为. 当时，轨迹长度为，故 D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得且与不共线，列方程组，求解即可. 【详解】由与的夹角为钝角，所以且与不共线， 所以，解得且， 所以. 13. 已知过点的直线与圆交于不同两点，，且，则直线的方程为__________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直线的斜率，分斜率不存在和存在两种情况讨论，再利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意得：当直线的斜率不存在时，直线， 代入圆，解得或， 所以，所以，满足题意， 当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为：， 则圆心到直线的距离为：， 又，所以，解得， 所以，即， 所以， 所以或. 14. 已知过点的直线与圆：交于，两点，的外接圆与直线交于，两点，则点的坐标为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】设过原点的外接圆一般方程，两圆相减得公共弦方程，结合过得到的值，再由在与外接圆上联立求出坐标． 【详解】外接圆过，设外接圆的一般方程为， 直线，设， 代入方程得，整理得， 不重合，则，故①， 同时在圆和外接圆上， 作差消除二次项得出公共弦所在直线的方程： ， 代入点得②， 联立①②得，故． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正方形的顶点，边所在直线的倾斜角为，顶点在轴上． （1）求直线的方程； （2）求正方形的面积． 【答案】（1）； （2）。 【解析】 【小问1详解】 由于直线的倾斜角为，其斜率. 又直线过点，由点斜式方程可得，整理得. 【小问2详解】 在正方形中，，故直线的斜率. 直线过点，其方程为，整理得. 由于点在轴上，设，代入直线的方程得，解得，即. 由两点间距离公式，正方形的边长 ​. 故正方形的面积. 16. 已知，，，，． （1）若，，三点共线，求，； （2）若，，求点到直线的距离． 【答案】（1），； （2）点到直线的距离为。 【解析】 【分析】（1）根据共线向量基本定理即可求解； （2）先求，再求在方向上的投影的大小，进而利用即可求解. 【小问1详解】 由题意得：， 又，，三点共线，所以存在，使得， 所以，解得， 所以，， 【小问2详解】 若，，所以，所以，， 所以， 所以， 所以在方向上的投影的大小为：， 所以点到直线的距离为：. 17. 已知圆的方程为（）． （1）证明：圆心在定直线上，并求与轴的交点的坐标； （2）求过点且与所有圆都相切的直线的方程． 【答案】（1）；证明： 圆心的坐标为，令， 消去参数，，即在定直线， 令，得，故与轴的交点． （2）或． 【解析】 【分析】（1）写出圆心参数坐标，消参得到定直线方程，再令求出和x轴交点A； （2）设过A的直线，利用圆心到直线距离恒等于半径列等式，约去m求解斜率，得到公切线． 【小问1详解】 ，证明：略 【小问2详解】 过的直线方程： 斜率不存在时，直线为，圆心到直线的距离为， 圆半径为，，不满足相切条件，舍去； 斜率存在时，设直线方程，即， 圆心到直线的距离等于半径，故 ， ，则，， 解得或， 代入直线方程，得到两条公切线：或． 18. 如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是圆柱的一条母线，． （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）点是劣弧上的动点（含端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）在下底面圆中，为直径，是圆周上一点，故. 由于为圆柱的母线，故下底面圆，又平面，则. 因为，且平面，所以平面. 因为平面，所以. （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于轴截面为边长为的正方形，则底面半径，高. 以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由知，，，，，. 则，. 设平面的法向量为，由得. 令，得，，故. 又，则点到平面的距离 ​. 【小问3详解】 设，由于在劣弧上，则. ，设直线与平面所成角为. 则​​. 当时，​，则. 故. 19. 已知椭圆：（）的上顶点为，左顶点为，离心率为，为坐标原点，线段的中点为，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）过点斜率为的直线与椭圆交于，两点（在轴右侧）； （i）求的面积的取值范围； （ii）设四边形与的面积分别为，，，求． 【答案】（1） （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）由题意设出、、的坐标，利用离心率公式和三角形面积公式建立、的方程组，解得与即可得到椭圆方程. （2）（i）设出直线的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出的面积，再通过构造函数的方法求得其取值范围；（ii）分别用、的横坐标表示出与，根据面积比例关系得出横坐标之间的数量关系，代入韦达定理求解的值，注意根据点的位置限制确定的符号. 【小问1详解】 由题意知，，因为为的中点，故， 则​. 由得. 又，则，，故. 代入得，解得，，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i） 由（1）知，直线的方程为. 联立，整理得. 设，，则，. 的面积​​，代入韦达定理得 ​​. 令，则，且，故. 令(，其在处取得最大值，且当时. 所以，即面积的取值范围为. （ii）由于，四边形的面积​. 的面积. 由得，化简得. 则，，故. 将韦达定理代入得，整理得，解得. 由于且，则，得，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $