精品解析：山东省实验中学2026-2027学年第一学期期中高二数学试题

山东省实验中学2026～2027学年第一学期期中 高二数学试题 （选择性必修一检测） 注意事项： 1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码． 2．本试卷满分150分，分为选择题和非选择题． 3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】将直线的一般式改写成斜截式，再由斜率公式可求得结果. 【详解】∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 故选：A. 2. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为该椭圆焦点在轴上，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 3. 如图，分别是四面体的棱的中点，若点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意， . 4. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】斜率均存在且不为零时，满足， 当，时，因为，，可知， 当时，也满足，但此时不满足，因此充分性不成立. 时，易知，，此时满足，即，因此必要性成立. 5. 设圆与圆交于两点，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由圆，圆，即， 将两圆方程相减整理，得直线的方程：即， 而圆的圆心为，半径为， 则到直线的距离为， 所以. 6. 已知圆，过点的直线与交于，两点，当最小时，的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆的圆心与半径，再求出圆心与定点连线的斜率，当弦取最小值时，由垂直关系算出所求直线斜率即可得出直线方程. 【详解】圆：，可化为， 圆心，半径. 记点，. 当弦最短时，，由，得. 所以直线的方程为，即. 7. 如图，二面角等于，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，， 可得，，如图，作， 则是二面角的平面角，而二面角等于， 得到，即，， 得到，则， 故. 8. 若点既在直线上，又在以，为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对称法求直线上动点到两定点距离之和的最小值，得到的最小值，再由离心率即可求出离心率最大值. 【详解】由焦点，，得， 设关于直线的对称点为， 因为与直线垂直，且中点在直线上， 由，解得，，即. ， 所以， 所以. 所以的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知点，点满足，则（ ） A. 直线的方程为 B. 点到直线距离的最小值为 C. 当取得最小值时， D. 的最大值为6 【答案】AC 【解析】 【分析】求出直线的截距式方程，化简为一般方程即可判断A；先计算圆心 到直线的距离，问题转化为圆心到直线的距离减去半径即可判断B；根据直线与圆的位置关系可判断C；表示圆上的点到原点 的距离的平方,求出，结合图形，求出圆上点到原点的最大距离从而可判断D. 【详解】由直线的截距式方程，得的方程为，即，故A正确； 圆心 到直线的距离， 点 到直线距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即 ，不等于 ，故B错误. 如图，当直线与圆只有一个交点时，取得最大值或最小值，此时直线与圆相切，故，故 C正确； 点到原点 的距离为：， 则表示圆上的点到原点 的距离的平方, 由两点间距离公式：， 圆上点到原点的最大距离为 ， 因此 的最大值为 ，故D错误. 10. 已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则下列说法正确的有（ ）. A. 的周长为 B. 的面积为 C. 点到轴的距离为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆定义分析的周长可判断A；根据椭圆定义以及已知条件先求解出的值，结合三角形的面积公式求解出可判断B；根据三角形等面积法求解出点到轴的距离可判断C；根据向量数量积运算以及的值求解出结果可判断D. 【详解】因为，， 所以的周长为，故A正确； 由余弦定理可得， 变形为， 代入相关数据可得，所以， 所以，故B正确； 设点到轴的距离为，则，所以，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 11. 在长方体中，为的中点．动点满足，则（ ） A. 点一定在平面内 B. 当时，点的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 当时，点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用及共面向量基本定理即可判断；对B，取的中点，即可得出，计算长度即可；对C，利用基底表示，运算得解; 对D， 建立空间直角坐标系，根据已知条件结合向量法即可得解. 【详解】对于A，由， 所以， 所以共面，即点在平面内，故A正确； 对于B，取的中点，连接，则，又， 所以，则四边形为平行四边形， 当时，，， 可知此时点的轨迹为线段，其长度为，故B正确； 对于C，由题为一组基底， 所以， 所以 ， 当且仅当时，取得最小值，故C错误； 对于D，以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系， 由已知条件可得，，. 由向量关系 ，可得点 的坐标为 ，其中 ， 令，则. 由 ，得：，整理得：， 在平面 内，点 的投影为 ， 点 到 的距离为 ，即 在平面内以 为圆心、半径为 的圆上. 该圆与 的取值区域的两个交点对应的圆心角为 ， 因此轨迹弧长为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为点与点关于平面对称，且，可知, 则，. 13. 已知是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】证明出，可得出，则当取最小值时，四边形的面积取最小值，且的最小值为点到直线的距离，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】将圆的方程化为标准方程得，圆心，半径， 连接，如下图所示： 由圆的切线的几何性质可知，， 又因为，，所以， 所以， 故当取最小值时，四边形的面积取最小值， 而为直线上一点与圆心之间的距离， 所以的最小值为点到直线的距离，为， 所以四边形面积的最小值为. 故答案为：. 14. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，线段与圆相切于点，若，则椭圆的离心率的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，为椭圆的左焦点，连接，根据相似得到，利用勾股定理得到，得到答案. 【详解】如图所示： 设为椭圆的左焦点，连接，，，故. ，即，又， 则，故，，， 故，化简得到， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上，并且经过． （1）求圆的标准方程： （2）过点作圆的切线，求切线所在的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【详解】（1）设，则直线的斜率为，的中点为， 所以的垂直平分线方程为，即， 由圆的几何性质可得，圆心为直线和的交点， 联立，解得，且圆的半径， 所以圆的标准方程为． （2）①当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为恰为圆的切线； ②当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 16. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，分别是上的点，且． （1）当时，求点到平面的距离： （2）若四点共面，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）如图，以为坐标原点，以分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 因为，所以， 又因为，所以，分别是和上的三等分点， 可得，，，，，，. 所以，，， 设平面的法向量，则，即， 不妨令，可得， 所以点到平面的距离． （2）设，则，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，可得， 因为平面，所以，解得，所以的长为． 17. 在平面直角坐标系中，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，设线段的中点为，记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于两点，若的面积为1，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点，由题设易得，结合在圆上即可求解； （2）设，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式、的面积为1，建立方程求解即可. 【小问1详解】 设点，则， 由为的中点，得， 因为点在圆上，所以， 把代入，得，即， 由题意，点不经过圆与轴的交点，所以， 所以的方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，三点共线，不符合题意， 故直线的斜率存在，设， 联立，整理得， 则，即或， 由韦达定理得，， 所以， 而点到直线的距离为，的面积为1， 所以，解得，满足题意， 所以直线的方程为或． 18. 如图，在四棱锥中，，，平面，，为的中点． （1）设平面平面，求与平面所成角的大小： （2）若点，，，都在球的表面上，求球的表面积： （3）若点在侧面内（包含边界），且平面与平面所成角的余弦值为，求点的轨迹长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长DA，CB交于Q，连接PQ，根据已知得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，得到为直线l与平面所成角，求出是等腰直角三角形，从而与平面所成角的大小； （2）设四面体的外接球的球心，则，利用两点间的距离公式列出的方程组，通过计算得到的值，从而得到，利用球的表面积公式求出四面体的外接球的表面积； （3）求出平面的法向量，求出平面的法向量，通过讨论和得，从而得到N的轨迹长度． 【小问1详解】 延长DA，CB交于Q，连接PQ，则平面平面． 因为平面平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，即，， 平面，平面， 所以平面， 则为直线l与平面所成角， 因为，，所以， 因为，所以是的中位线， 则， 因为，，所以是等腰直角三角形， 则，即与平面所成角的大小为. 【小问2详解】 以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系， 因为， 所以，，，， 设四面体的外接球的球心，则， 则， 即，即，，即， 则，所以球的表面积为. 【小问3详解】 ，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设，，则， 设平面的法向量为， 则， 当时，，可取，则N的轨迹为线段AD； 当时，取，得， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 则， 化简得． 设中点为，则的轨迹为线段． 故N的轨迹长度为． 19. 在平面直角坐标系中，给定两点，令，，定义：给定点及直线上任意一点，记的最小值为． （1）已知点和点，直线，求和； （2）已知圆和圆． （i）若，判断圆和圆的位置关系； （ii）若，圆与轴交于，两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为0的直线与圆交于两点，记直线为，直线为，证明：． 【答案】（1）， （2）（i）圆和圆相交 （ii）因为圆与轴交于两点， 令，所以， 即（*）有两个不等的实数解， 所以，解得， 又，所以， ，， 因为，所以， 所以， 解得或（舍去）， 时方程（*）为，解得，交点为和， 点在圆外，则，因此， 设直线的方程为， 设， 由得， 所以，因此直线关于轴对称， 直线上任意一点与直线上点关于轴对称， ， 即， 所以的最小值与的最小值相等，即． 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接计算，设是上一点，分类讨论计算出，再确定最小值得； （2）（i）求出圆心坐标，根据题设定义，求得的值，并检验是否满足题意，然后根据圆心距判断两圆位置关系； （ii）由已知求出，得出，设直线方程为，联立直线与圆的方程应用韦达定理得，，从而证明直线关于轴对称，然后由直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系，则其最小值也相等，从而证得结论成立， 【小问1详解】 由，所以， 直线方程为，设是上一点，， 当，即时，， 当，即或时，， 所以的最小值是2，所以． 【小问2详解】 （i）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， ， 若，则或， 当时，不合题意； 当时，，满足题意， 此时，， 则，所以圆和圆相交； 若，则或， 当时，，，不合题意； 当时，，满足题意， 此时， 则，所以圆和圆相交． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2026～2027学年第一学期期中 高二数学试题 （选择性必修一检测） 注意事项： 1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码． 2．本试卷满分150分，分为选择题和非选择题． 3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 150° 2. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，分别是四面体的棱的中点，若点满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设圆与圆交于两点，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 6. 已知圆，过点的直线与交于，两点，当最小时，的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二面角等于，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 若点既在直线上，又在以，为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知点，点满足，则（ ） A. 直线的方程为 B. 点到直线距离的最小值为 C. 当取得最小值时， D. 的最大值为6 10. 已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则下列说法正确的有（ ）. A. 的周长为 B. 的面积为 C. 点到轴的距离为 D. 11. 在长方体中，为的中点．动点满足，则（ ） A. 点一定在平面内 B. 当时，点的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 当时，点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则的值为___________． 13. 已知是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为_____________. 14. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，线段与圆相切于点，若，则椭圆的离心率的值为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上，并且经过． （1）求圆的标准方程： （2）过点作圆的切线，求切线所在的直线方程． 16. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，分别是上的点，且． （1）当时，求点到平面的距离： （2）若四点共面，求． 17. 在平面直角坐标系中，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，设线段的中点为，记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于两点，若的面积为1，求的方程． 18. 如图，在四棱锥中，，，平面，，为的中点． （1）设平面平面，求与平面所成角的大小： （2）若点，，，都在球的表面上，求球的表面积： （3）若点在侧面内（包含边界），且平面与平面所成角的余弦值为，求点的轨迹长度． 19. 在平面直角坐标系中，给定两点，令，，定义：给定点及直线上任意一点，记的最小值为． （1）已知点和点，直线，求和； （2）已知圆和圆． （i）若，判断圆和圆的位置关系； （ii）若，圆与轴交于，两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为0的直线与圆交于两点，记直线为，直线为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $