精品解析：黑龙江哈尔滨市第六中学校2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题

哈尔滨市第六中学校2024级上学期期中测试 高三数学试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于集合， 解不等式得， 所以， 对于集合， 不等式等价于， 解得，所以， 所以. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数的除法运算进行化简，即可求得. 【详解】由已知， 可得， 所以的虚部为. 3. 已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式即可求解. 【详解】已知圆台上、下底面半径分别为和，母线与底面的夹角为， 则圆台的高， 则圆台体积为. 4. 在棱长为2的正四面体中，、分别为棱、的中点，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中点，可证，则为异面直线 EF 与 AG 所成角，结合余弦定理即可求解. 【详解】如图所示：取中点，连接、， 因为、分别为棱 、的中点，所以， 因为、分别为棱 、的中点，所以且， 所以，为异面直线与所成角， 由正四面体可得：， . 5. 函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，证明其为单调递增的奇函数，将原不等式转化为，利用单调性解出x的范围． 【详解】设，则， ，故是奇函数， 求导得，在上单调递增；在上单调递增； 故在上单调递增； 不等式等价于， 即，结合单调性可得，解得，故解集为． 6. 在三棱锥中，是平面内一点，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若为的重心，则 D. 若与所成的角为，与平面所成的角为，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积的运算求解判断A；利用共面向量定理的推论判断B；利用空间向量的线性运算求解判断C；利用线面角的定义推理判断D. 【详解】对于A，由，得，则， 由，同理得，则，即，A正确； 对于B，由及在平面内、不共面，得，B错误； 对于C，连接并延长交于点，由为的重心，得为的中点， 则，且，因此 ，C正确； 对于D，由于平面的斜线与平面所成的角是该斜线与平面内的直线所成角中最小的， 当不垂直于平面时，，当平面时，，因此，D正确. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象向右平移个单位后得到的图象 C. 在区间的最小值为 D. 在上有两个零点，两个极值点，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据求三角函数解析式的方法可得，利用代入检验法可判断A；根据图象平移可判断B；利用换元法，结合正弦函数的图象可判断C，利用卡根法，结合正弦函数的图象列式求解可判断D. 【详解】因为，且，所以， 又因为， 则，解得， 且函数的最小正周期，且，则，可得， 则，，所以. 对于A：，故A错误； 对于B：的图象向右平移个单位后得，故B错误； 对于C：因为，则， 所以，最小值不为，故C错误； 对于D：因为，则， 若在上有两个零点，两个极值点，则， 所以，所以，故D正确. 8. 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（ ） A. 97 B. 98 C. 99 D. 100 【答案】C 【解析】 【详解】由，，可得，所以，等式两边同除，有，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以， 所以， 记，则，所以为递增数列，所以， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. ：“是第一象限角或第四象限角”，：“”，则是的充分不必要条件 B. 若为第一象限角，则 C. 在中，若，则为钝角三角形 D. 已知，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用象限角的定义判断A选项；利用二倍角公式化简原式，可判断B选项；利用同角三角函数基本关系式中的商数关系及两角的和差公式可判断C选项；由已知进行切化弦，得，再由两角和的正切公式求得，判断D选项. 【详解】若是第一象限角或第四象限角，则； 若，取，则，不是第一象限角，也不是第四象限角； 所以是的充分不必要条件，所以A正确； 若为第一象限角，则， 所以B错误； 在中，若，则，且不是直角. 当均为锐角时，， 所以，即， 即，，， 所以为锐角；为锐角三角形. 当中有一个为钝角时，则显然不合题意. 所以C错误. 若，则， 所以，所以. 所以D正确. 10. 已知点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 当为的中点时， B. 当在面上，且直线与所成的角为45°时，点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当平面时，线段长度最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理判断A；作出点P的轨迹，计算其长度，判断B；特值法判断C；过点作与平面平行的平面，从而确定线段的长度，判断D. 【详解】对于A，当为的中点时， ， ， 所以， 所以与不垂直，所以A错误； 对于B， 当在平面上，且直线与所成的角为45°时， 因为平面，平面，故，所以， 所以，， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在面内的部分， 所以其长度为.所以B正确. 对于C，三棱锥体积等于三棱锥的体积. 当与重合时，其体积为，所以C错误. 对于D，当平面时， 分别取的中点为， 连接， 易知平面平面， 所以平面； 同理由，可得平面. 又平面， 所以平面平面. 又， 所以平面，即平面，点的轨迹为正六边形， 该正六边形的对角线长为， 线段长度最大值为对角线的长，即. 所以D正确. 11. 已知函数，，其中e为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的极值点为1 B. ， C. 若P，Q分别是曲线和上的动点，则|PQ|的最小值为 D. 若对任意的恒成立，则a的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求导，利用导数研究函数的单调性，即可求出极值点；对于B，设，求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可求解；对于C，利用曲线与曲线互为反函数，可先求点到的最小距离，然后再求的最小值；对于D，利用同构把恒成立问题转化为，分离参数，构造函数，利用导数求解最值即可. 【详解】对于A，．所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极值点为1，故A正确； 对于B，设，则， 因函数与在上均单调递增，故在上单调递增． 又，则存在．使得， 即，，所以当时．，当时．． 所以在上单调递减．在上单调递增. 所以，又，则， 所以，故B错误； 对于C，因为函数与函数互为反函数，其图象关于对称， 设点到的最小距离为，设函数上斜率为的切线为， ，由得，所以切点坐标为，即，所以， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，若对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令，，因．所以在上单调递增，故， 即，令，所以， 当时，，则函数在上单调递增，当时，，则函数在上单调递减， 所以，所以，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为________. 【答案】 【解析】 【详解】由向量，，且，得，解得， 向量，，则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 13. 已知函数，令，记数列的前项和为，则________. 【答案】## 【解析】 【详解】函数，则， ，因此， 所以. 14. 如图1，在长方形中，是边上一点，且，，.将沿着翻折至，连接，，得到如图2所示的四棱锥，则四棱锥体积的最大值为________；当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积为________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】求出点到平面的距离最大值，再利用锥体体积公式求出最大体积；求出三棱锥外接球半径，再求出其表面积. 【详解】在中，，过点作于，则， 因此点到平面的距离最大值为，此时平面， 而梯形的面积， 所以四棱锥体积的最大值为； 当平面平面时，平面， 连接，取的中点，连接，则为外接圆的圆心， ，， 而，则， 故点在外接圆上，则三棱锥外接球球心到平面的距离为， 因此三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）证明：； （2）若的平分线交于点，且与的面积的比为，求. 【答案】（1）由及正弦定理，得， 所以， 即， 因为，是三角形的内角， 所以， 因此. （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理对已知式进行边角互化，再结合两角差的正弦公式进行化简即可； （2）由三角形面积比可得，再由角平分线性质转化为，由正弦定理及二倍角公式，结合（1）的结论可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为与的面积的比为，所以， 根据角平分线的性质可知 由正弦定理得 又由（1）知. 所以，所以. 所以， ， . 因此. 16. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）若，为线段上的点且，过点，，作四棱锥的截面，交于点，求的值，并求出截面分四棱锥的上下两部分体积比； 【答案】（1）取中点，连接、. 因为是中点，是中点， 根据三角形中位线定理：，且. 已知，，即. 所以，且. 四边形是平行四边形，于是. 又平面，平面， 所以平面. （2） ； 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得； （2）由线面平行的性质定理可得，从而得的值，结合棱锥的体积公式可得体积之比. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面， 因为平面，平面平面， 所以， 所以. 由，得，所以. 所以. 所以，所以. 四棱锥的体积. 三棱的体积， ， ， 所以， 所以. 又，且，所以， 所以. 截面分四棱锥的上下两部分体积比为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，若，，为的中点，的面积为. （1）求到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，，即可证明平面，可得，由的面积求出，进而求出，，从而得到，利用线面垂直的判定定理证明平面，即可得解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 连接交于点，连接，. 因为为菱形，所以，为的中点， 因为，且为的中点，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以，因为为边长为1的菱形且， 所以为等边三角形，所以， 因为，所以， 在中，为中位线，所以， 在中，，，， 所以. 因为，，平面，所以平面， 所以到平面的距离为. 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为，因为，， 所以令，得. 设平面的法向量为，因为，， 所以令，得. 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知数列满足，，数列各项均为正数，前项和为满足， （1）求的通项公式，并证明数列为等差数列； （2）若 ①将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列：，，，，，，，…，设的前项和为，求（请用数字作答）. ②设，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）. 数列为等差数列的证明如下： 数列的前项和为满足， 所以， 所以， 即（*）； 当时，， 所以， 即（**）. 由（*），（**）得， 所以. 所以数列为等差数列. （2） ① ②证明：由，得，， 所以，. 则， 所以 ， 因为， 所以. 【解析】 【分析】（1）通过构造法，得的通项公式，并由等差数列的定义证明数列为等差数列； （2）①根据新数列的特点，分析的组成，从而求得；②求得，根据裂项相消求和法得，从而证得. 【小问1详解】 数列满足，， 所以，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. 【小问2详解】 若， ①新数列：，，，，，，，…，从到共有项， 因为单调递增，且， 所以新数列的前30项分别为， . ②略 19. 函数的定义域为，，为处的切线． （1）的最大值； （2）证明：，除点A外，曲线均在上方； （3）若，证明：对任意的，有． 【答案】（1） （2） 为处的切线，切线的方程为：， 令，则， 求导得， 由（1）知，，在上递增， 当时，，则在上递增： 若，即，则，单调递增； 若，即，则，单调递减； 若，即，则，而，故，单调递增； 在处取得最小值， 当时，，即曲线在切线上方（除点外），命题得证． （3） ，求导得， 令，则， 令，求导得， ，， 在上单调递增，， 在上恒成立，故在上单调递增， ， 原不等式等价于， 令， ， 在上单调递增，， ，，在上单调递增， 对任意的，，即， 对任意的，有，命题得证． 【解析】 【分析】（1）利用换元法构造函数并求导，利用导数分析函数的单调性和极值点，从而求出最大值； （2）先求出切线方程，构造函数并求导，利用导数结合的取值范围分析函数单调性，从而证明结论； （3）先构造函数求导，利用导数证明函数单调性，从而证明结论． 【小问1详解】 ，令，则，，设 ，求导得， 令，解得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减； 在时取得最大值，最大值，即的最大值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六中学校2024级上学期期中测试 高三数学试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 在棱长为2的正四面体中，、分别为棱、的中点，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 5. 函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，是平面内一点，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若为的重心，则 D. 若与所成的角为，与平面所成的角为，则 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象向右平移个单位后得到的图象 C. 在区间的最小值为 D. 在上有两个零点，两个极值点，则 8. 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（ ） A. 97 B. 98 C. 99 D. 100 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. ：“是第一象限角或第四象限角”，：“”，则是的充分不必要条件 B. 若为第一象限角，则 C. 在中，若，则为钝角三角形 D. 已知，则 10. 已知点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 当为的中点时， B. 当在面上，且直线与所成的角为45°时，点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当平面时，线段长度最大值为 11. 已知函数，，其中e为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的极值点为1 B. ， C. 若P，Q分别是曲线和上的动点，则|PQ|的最小值为 D. 若对任意的恒成立，则a的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为________. 13. 已知函数，令，记数列的前项和为，则________. 14. 如图1，在长方形中，是边上一点，且，，.将沿着翻折至，连接，，得到如图2所示的四棱锥，则四棱锥体积的最大值为________；当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）证明：； （2）若的平分线交于点，且与的面积的比为，求. 16. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）若，为线段上的点且，过点，，作四棱锥的截面，交于点，求的值，并求出截面分四棱锥的上下两部分体积比； 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，若，，为的中点，的面积为. （1）求到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知数列满足，，数列各项均为正数，前项和为满足， （1）求的通项公式，并证明数列为等差数列； （2）若 ①将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列：，，，，，，，…，设的前项和为，求（请用数字作答）. ②设，数列的前项和为，证明：. 19. 函数的定义域为，，为处的切线． （1）的最大值； （2）证明：，除点A外，曲线均在上方； （3）若，证明：对任意的，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $