精品解析：河北省玉田县第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

河北省玉田县第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 经过点和点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可． 【详解】由题知直线斜率存在，且， 设直线倾斜角为， 则，． 故选：C． 2. 已知，、，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设向量与的夹角为，计算出向量与的坐标，然后由计算出的值，可得出的值. 【详解】设向量与的夹角为， ，， 则，所以，，故选D. 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题. 3. 已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程，即可确定参数的范围. 【详解】由方程表示的曲线是椭圆，则且， 故选：D 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，以及点与圆的位置关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为点在圆的外部， 则满足，解得 所以实数的取值范围是. 5. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 6. 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出平面的一个法向量，利用点到平面距离的向量求法计算可得结果. 【详解】设平面的一个法向量为， 则，令，可得，； 所以， 则点到平面的距离为. 故选：D 7. 已知点，为椭圆（）的左、右焦点，为的上顶点，过点的直线与交于，两点，的短轴长为6．若直线垂直平分线段，则的周长为（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由线段垂直平分线性质知,,再由可求出,所以的周长 【详解】设的半焦距为，因为的短轴长为6，即，所以，, 连接,因为直线垂直平分线段,所以, 所以,由得,,. 连接，，因为垂直平分线段，所以，， 所以的周长． 8. 直线l：交圆C：于A，B两点（点C为圆心），则的最大值为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定直线恒过的定点，结合余弦函数单调性可知取最小值时最大，此时弦最短，利用圆的几何性质和余弦定理计算即可. 【详解】对直线整理变形得， 令，解得，因此直线恒过定点， 圆的圆心为，半径，， 因为，即，所以点在圆内部，直线始终与圆交于两点. 因为余弦函数在区间上单调递减， 因此要使最大，需使圆心角最小， 在同圆中，圆心角越小，对应的弦长越短，因此最小等价于弦的长度最短， 根据圆的几何性质，过圆内定点的所有弦中，与圆心和定点连线垂直的弦最短， 即当时，圆心到直线的距离取得最大值，此时弦长最短， 当时， 由垂径定理得最短弦长， 在中，， 由余弦定理得， 所以的最大值为 二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 已知，，，，则（ ） A. 直线的单位方向向量是 B. 平面的一个法向量是 C. 四点共面 D. 点到直线的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：利用直线的单位方向向量为，可判断；对于B：设平面的法向量是，利用，可得；对于C：利用向量共面定理与向量的坐标运算可判断；对于D：利用空间向量点到线的距离公式可判断. 【详解】对于A：因为，，所以直线的单位方向向量是或 （注意直线的单位方向向量有2个，是相反向量），故A错误； 对于B：设平面的法向量是，因为，， 所以则.令，可得，故B正确； 对于C：由题意得，则，所以，四点共面，故C正确; 对于D：，，， 则点到直线的距离为，故D错误. 故选：BC 10. 已知实数满足，下列说法正确的是（　　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为49 D. 点到直线的距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，利用点到直线的距离公式求得的范围判断A；设，利用点到直线的距离公式求得的范围判断B；表示圆上的点到的距离的平方，求得可求最大值判断C；求得点到直线的距离，进而可求点到直线的距离的最大值判断D. 【详解】方程表示以为圆心，半径的圆， 对于A，设，则，因为点在圆上， 所以，整理得，解得， 所以的最小值为，故A错误； 对于B，设，则，因为点在圆上， 所以，整理得，解得， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，表示圆上的点到的距离的平方， 设圆上的点到的距离， 又，所以，即， 所以的最大值为49，故C正确； 对于D，点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知椭圆：，左、右焦点分别为，，点为椭圆上异于长轴端点的动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则符合条件的点有个 B. 若，则的面积为 C. 的最大值为 D. 过的直线与椭圆交于两点，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由椭圆方程得，，，焦点为，，且.选项A用数量积的坐标运算判断；选项B用余弦定理求后再算面积； 选项C用椭圆定义把换成 后放大；选项 D联立直线与椭圆, 用韦达定理计算. 【详解】对于选项A， 设， 则，， 所以. 由 得. 又, 故, 从而. 所以方程无解, A错误. 对于选项B, 在中，, 由余弦定理得. 结合 得, 即. 所以, B正确. 对于选项C, 由椭圆定义, 则. 因为，所以. 当在线段上时取等号，此时为的中点， 得，该点在椭圆上且不是长轴端点， 故最大值为， C正确. 对于选项D，当直线不与轴重合时， 设其方程为， 代入椭圆方程得. 设，，则，. 又，， 且. 所以. 由 得. 代入得. 当直线为轴时，，，此时也成立，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 与直线平行且距离为的直线方程是__________. 【答案】或 【解析】 【详解】因为所求直线与直线平行，所以可设所求直线方程为， 根据平行线间的距离公式，可得，解得或. 所以所求直线方程为或. 13. 若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有2个，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的距离可计算. 【详解】由题意可知，点到直线的距离， 即，得或， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆的定义表示，再结合直角三角形勾股定理建立与的关系，进而求得离心率. 【详解】设，则，， 根据椭圆定义，，， 又因为，所以在中， 即，解得，则，， 则在中，，即， 所以故离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 中，已知，，点为边的中点． （1）求边上的高所在直线的一般式方程； （2）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到点的坐标，进而根据得到的斜率即可求解； （2）根据（1）中点的坐标，分“直线过原点”和“直线不过原点”两种情况进行讨论即可. 【小问1详解】 因为，点为边的中点，所以有可得， 又因为，所以， 因为是边上的高， 所以有，即，解得， 所以高所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 由（1）知， ①当所求直线过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为； ②当所求直线不过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为． 综上，过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点P到平面的距离； （3）求直线与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1） 因为底面是正方形，则， 又底面，则， 以D为原点，分别以为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 已知，底面ABCD是正方形， 因此各点坐标为，，，，， E是PC中点，故， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则由、，得 令，可得， 所以，故，又不在平面内， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以D为原点建立空间直角坐标系，求出以及平面的法向量，验证为零即可证明； （2）求出，通过空间向量法求解即可； （3）求出，通过空间向量法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据点到平面的距离公式，点P到平面的距离为， 又，，， 所以． 【小问3详解】 ，所以，所以， 则． 17. 已知圆，点P是圆上的一点，点，点M是线段的中点，记点M的轨迹为曲线E. （1）求曲线E的方程； （2）直线l过点且与E交于B，C两点，若，求直线l的方程. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）设点，，结合中点坐标公式与代入法，化简求解即可； （2）分直线l的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线的距离公式，根据直线截圆所得的弦长公式列式求解. 【小问1详解】 设点，，因为点M是线段的中点， 所以，即，又点P是圆上的一点， 所以，即，即E的方程为； 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线l的距离为1， 则，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心到直线l的距离， 所以，解得， 所以直线l的方程为， 综上：直线l的方程为或. 18. 在中，分别是上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使在棱上移动（包含端点）． （1）求证：； （2）当为棱的中点时，求平面与平面夹角的余弦值． （3）设直线与平面所成角为，求的最大值． 【答案】（1） 因为，则，且，可得， 将沿折起到的位置，始终有， 因为平面，所以平面， 由平面，可得， 所以. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定首先证明平面，再利用线面垂直的性质定理即可证明线线垂直； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再利用面面角的空间向量求法即可得到答案； （3）设，从而得到的坐标表示，再求出线面角的正弦表达式，利用二次函数性质即可得到最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 翻折前，因为，且， 所以，所以，翻折后， 由勾股定理得． 由（1）可知平面，又，所以平面，又，所以两两垂直． 以为原点，直线分别为,,轴建立如下空间直角坐标系， 则， 可得. 设平面的法向量是，则， 令，则，可得． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， ， 所以二面角的余弦值为． 【小问3详解】 设,. ， 当时，， 当时，， 当时，的最大值为． 19. 已知椭圆，点为椭圆的右焦点，离心率.过点的直线与椭圆交于，两点（，两点与椭圆顶点不重合）. （1）求曲线的方程； （2）若x轴上一点满足. （i）求实数t的值； （ii）已知，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由离心率求解即可； （2）（i）设出直线方程，联立曲线得到韦达定理，由斜率关系化简可得； （ii）由斜率关系得到为的角平分线，进而得到坐标比例关系，再结合韦达定理求出即可. 【小问1详解】 由题意可得， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则，. 设直线与的斜率分别为，，则，， 因为， 则， 所以，代入韦达定理整理得， 又为任意实数，所以. （ii）因为，所以，所以为的角平分线， 所以. 因为，所以， 因为， 所以，解得， 所以 因为，所以， 即，解得， 所以直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省玉田县第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 经过点和点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，、，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，为椭圆（）的左、右焦点，为的上顶点，过点的直线与交于，两点，的短轴长为6．若直线垂直平分线段，则的周长为（ ） A. B. 10 C. D. 8. 直线l：交圆C：于A，B两点（点C为圆心），则的最大值为（） A. B. C. D. 二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 已知，，，，则（ ） A. 直线的单位方向向量是 B. 平面的一个法向量是 C. 四点共面 D. 点到直线的距离为 10. 已知实数满足，下列说法正确的是（　　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为49 D. 点到直线的距离的最大值为 11. 已知椭圆：，左、右焦点分别为，，点为椭圆上异于长轴端点的动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则符合条件的点有个 B. 若，则的面积为 C. 的最大值为 D. 过的直线与椭圆交于两点，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 与直线平行且距离为的直线方程是__________. 13. 若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有2个，则实数的取值范围是__________. 14. 设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 中，已知，，点为边的中点． （1）求边上的高所在直线的一般式方程； （2）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点P到平面的距离； （3）求直线与平面的夹角的正弦值． 17. 已知圆，点P是圆上的一点，点，点M是线段的中点，记点M的轨迹为曲线E. （1）求曲线E的方程； （2）直线l过点且与E交于B，C两点，若，求直线l的方程. 18. 在中，分别是上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使在棱上移动（包含端点）． （1）求证：； （2）当为棱的中点时，求平面与平面夹角的余弦值． （3）设直线与平面所成角为，求的最大值． 19. 已知椭圆，点为椭圆的右焦点，离心率.过点的直线与椭圆交于，两点（，两点与椭圆顶点不重合）. （1）求曲线的方程； （2）若x轴上一点满足. （i）求实数t的值； （ii）已知，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $