精品解析：河北石家庄市第二中学教育集团2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

石家庄二中教育集团2026—2027学年度高二年级上学期 期中考试数学试卷 （时间：120分钟 分值：150分） 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项符合要求） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系可得. 【详解】由题知，直线的斜率为， 记倾斜角为，则，因为，所以. 故选：C 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用空间中坐标关于面的对称性质确定坐标. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是. 故选：D. 3. 设，则“”是“直线与直线相互垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过验证充分性成立、利用两直线垂直的充要条件求解所有满足垂直的值，得到必要性不成立. 【详解】 当时，直线的方程为，即，是垂直于轴的直线； 直线的方程为，即，是垂直于轴的直线，两直线互相垂直，因此充分性成立； 若两直线互相垂直，得  ，解得或， 因此由“两直线垂直”无法推出“”，必要性不成立； 综上，“”是“两直线相互垂直”的充分不必要条件. 4. 已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2，则a＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由椭圆离心率为，则即，故， 又短轴长为2，即，则，即， 故. 5. 设k，t，a为实数，下列四个命题中正确的是（ ） A. 过点，且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程为 B. 若直线与以M，N为端点的线段相交，则 C. 若直线与直线平行，则实数 D. 若三条直线，，不能构成三角形，则实数 【答案】C 【解析】 【分析】A项需注意截距为0的特殊情况；B项求出直线恒过的定点，结合图形求斜率范围；C项利用平行系数关系求参数，并检验是否重合；D项从直线平行或三线共点两个方面分类讨论. 【详解】对于A选项，当直线在轴和轴上的截距均为时，设为，则，得，即直线方程为（即 ）， 当直线在轴和轴上的截距不为时，设直线方程为，则，得，所以直线方程为， 所以满足条件的直线方程有两个，故A错误； 对于B选项，直线可化为，可知该直线恒过定点 ， 计算可知，， 若直线与线段相交，根据图形可知斜率的范围为或，故B错误； 对于C选项，若，则需满足 ，解得或， 当时，两直线都为，两直线重合，不符合题意； 当时，两直线分别为，两直线平行，符合题意，故C正确； 对于D选项，三条直线不能构成三角形包括两条直线平行或三条直线共点， 若与平行，得； 若与平行，得； 若三条直线交于同一点，由与得交点为，代入第三条直线得， 综上或，故D错误. 6. 已知的三个顶点，， ，将绕顶点A逆时针旋转，此时边上的中线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出旋转前边的中点坐标，即可得到旋转前边上的中线所在直线的斜率，利用斜率求得倾斜角的正切值，再根据逆时针旋转，求得旋转后的边上的中线所在直线的倾斜角的正切值，即可求得旋转后边上的中线所在直线的斜率，即可得到直线方程. 【详解】，， ，所以边的中点为， 所以旋转前边上的中线所在直线的斜率为， 设直线边上的中线所在直线的倾斜角为，则， 则， 所以旋转后边上的中线所在直线的斜率为， 所以对应的方程为，即. 7. 如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 设，则， ， ． 设与的夹角为， 由 ， ． 8. 已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由椭圆的对称性可知，又因为的周长为， 所以， 设，， 则， 因为，所以，即， 又因为点，在上，所以， 所以，整理得， 即，所以. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．每题有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则 B. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则 C. 若两个不同平面的法向量分别为，，则 D. 若平面α经过三点，且向量是平面α的法向量，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A：因，可得，故A正确； 选项B：由，可得两向量垂直，此时或，故B错误； 选项C：因，即两平面的法向量共线，又因为、是不同的平面，则，故C正确； 选项D：因，，因为是平面的法向量， 所以  ，解得，，因此，故D正确. 10. 下列叙述正确的是（） A. 若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程为 B. 若圆上有且仅有2个点到直线l：的距离等于1，则 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则 D. 若过直线上一动点P，向圆C：引一条切线PA（A为切点），则PA的最小值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】A：两圆方程作差消去二次项，即可得到公共弦所在直线方程，计算验证正确；B：圆心到直线距离为1，圆上恰2个点距离为1需满足0<r<2，r=2时有3个点，结论错误；C：两圆有三条公切线等价于外切，由圆心距等于半径之和可解得m=4，正确；D：切线长最小值由圆心到直线的距离结合勾股定理计算，结果为2而非4，结论错误. 【详解】选项A，圆，圆， 两式作差化简得：，即圆与圆的公共弦所在直线的方程为，A正确 选项B，圆的圆心为，圆心到直线的距离， 圆上有且仅有2个点到直线的距离为1，等价于半径满足，即， 当时，圆上会有3个点到直线的距离为1，与“仅有2个点”矛盾，B错误； 选项C，两圆恰有三条公切线，说明两圆外切， 圆化为标准式：，圆心，半径 圆化为标准式：，圆心，半径， 圆心距， 外切条件：，即，解得，，C正确； 选项D，（为圆半径），因此最小等价于最小， 圆心到直线的距离， 圆半径，因此，最小值为2，D错误. 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，为坐标原点，则（ ） A. 若，则 B. 与圆有四个交点 C. 的重心的轨迹方程为（） D. 的内心的轨迹方程为（） 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据椭圆的定义及三角形面积公式求解即可；对于B，根据圆与椭圆的位置关系判断即可；对于C，根据重心坐标公式代入求解即可；对于D，根据内心坐标公式及焦半径公式求解即可. 【详解】由，知，，，，，. 对于A，已知，为中点，，则为直角三角形，且. 由椭圆的定义得，，则， 又，所以. 所以，A正确. 对于B，圆的圆心为，半径为. 圆心在原点附近，圆的右边界，左边界； 上边界，下边界， 所以圆会与椭圆的上下左右均相交，共有四个交点，B正确. 对于C，设，， 则，，所以，， 代入椭圆方程，即，C错误. 对于D，任意中，对边分别为，设，，，内心为， 因为平分，则，所以分的分比. 所以，. 在中，平分，则，由，，解得， 所以，即分的分比， 所以， 同理，即. 所以的内心坐标为， 三角形周长， 即，也即. 由焦半径公式得，， 则， 所以，即. 设的内心为，则，，即，， 代入椭圆方程得，整理得（），D正确. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 【答案】或 【解析】 【详解】由圆，圆心为，半径， 当切线斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到切线的距离为1，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 则，解得，则切线的方程为，即. 综上所述，切线方程为或. 13. 已知空间中点，点，则点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【详解】，， ，，， 点到直线的距离为. 14. 平面直角坐标系Oxy中，点，，，设以A为圆心的圆半径为r，E、F为圆A上不同的两点，若对于线段BD上任意一点P，都存在E，F使得，则r的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设出点坐标，和点坐标，通过表示出点坐标，再根据E、F为圆A上不同的两点，构造出方程组，由方程的几何意义出发，转化为圆与圆的位置关系，从而转化为不等式恒成立的问题，即可求解. 【详解】已知，， 则直线的方程为，即， 设，，则， 设点，且，得， 因为、都在半径为的圆上， 所以有， 即， 因为关于，的方程有解， 即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点， 所以， 又因为， 所以对任意恒成立， 对于函数， 该函数为二次函数，开口向上，对称轴为直线， 所以当时，取最小值为， 当时，取最大值为， 所以，解得， 又因为当时， 点到直线的距离为， ，解得， 所以线段与圆相切于点， 当点为时，点、、重合，不满足E、F为圆A上不同的两点， 所以， 所以r的取值范围为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆心为C的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）设点为圆C上动点，求的取值范围． 【答案】（1） 圆的标准方程为 （2） 的取值范围为 【解析】 【分析】（1）先求线段的垂直平分线方程，与已知圆心所在直线联立求解圆心坐标，结合半径公式得到圆的标准方程； （2）将的取值范围问题转化为直线与圆有公共点的参数范围问题，利用点到直线的距离公式求解. 【小问1详解】 （1）已知，，则AB的中点坐标为，，由于垂直平分线与AB垂直，故其斜率为， 由点斜式可得垂直平分线方程为，整理得. 联立方程组  ，解得，即圆心， ，  因此圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，对应直线方程为，由于点是圆上的动点，故该直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离为  ， 整理得，解得， 因此的取值范围为. 16. 已知椭圆C：过点，且离心率． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l：，若直线l与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【小问1详解】 因为椭圆离心率， 所以，即，， 即，即 过点, 所以，解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设，， 联立方程组， 整理得：， 根据韦达定理，，， 由弦长公式得：， 点到直线距离为， 所以， 根据基本不等式，， 当且仅当时，等号成立，即， 所以面积的最大值为. 17. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为棱上一点，若平面，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值； （2）求出平面的法向量，利用向量法计算直线与平面所成角的正弦值； （3）设点的坐标，根据平面得出  与平面法向量垂直，求出点的坐标后计算的长. 【小问1详解】 因为底面 ，，如图，以为原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得、、、， 因为，，且，所以， 因为为的中点，所以， ，， 设异面直线与所成角为，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 ，，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 又，设直线与平面所成角为，则 ，  所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设，其中，则， 因为平面 ，所以，，解得，所以， 又，所以 ，即的长为. 18. 已知圆C：，直线l：,． （1）求证：直线l过定点； （2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程； （3）在（2）的前提下，若P为直线l上的动点，且圆C上存在两个不同的点到点P的距离为，求点P的横坐标的取值范围． 【答案】（1）证明： 直线l：, 即， 由，解得， 所以直线l过定点. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将直线整理成过定点的直线系，即可求出直线恒过的定点. （2）直线l被圆C截得的弦长最短时，圆心与定点的连线与直线垂直，即可求得直线的斜率，即可求解直线的方程. （3）将问题转化为以为圆心，为半径的圆与圆相交，即可列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 圆C：，圆心， 由(1)可知直线l过定点，记， 则， 直线l被圆C截得的弦长最短时，直线与直线垂直， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为：，即. 【小问3详解】 圆C：，半径为， P为直线l上的动点，设点， 以点为圆心，以为半径作圆， 当圆与圆相交时， 即， 即， 解得， 所以点P的横坐标的取值范围为. 19. 如图，在四棱锥中，平面，为矩形，且满足，E，F分别为，的中点． （1）求点P到平面的距离； （2）求二面角的余弦值； （3）设平面与交于点N，G为底面内一点（含边界），使得平面平面，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建系，求出各点坐标，求出平面法向量坐标，利用点到平面的距离向量公式即可求解. （2）求出平面法向量坐标，结合平面法向量，即可求法向量的夹角，即可得到二面角的余弦值.. （3）根据点在上设出点的坐标，再根据点在平面上，即可求得点的坐标，再设出点，求出平面的法向量，利用平面平面，得到与的关系，即可求得与的范围，将表示为与，即可求其范围. 【小问1详解】 因为平面，为矩形， 所以以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 所以，，，， ，， 设平面的法向量为， 则， 令，得，， 即， ， 所以点P到平面的距离为. 【小问2详解】 ， ，， 设平面的法向量为， 则， 令，得，， 即， 所以， 因为二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 ，， 设， 所以，， ，， 因为点在平面上， 所以存在实数，，使得 ， 代入得，解得， 所以， 所以， 设底面内的点，其中，， ，， 设平面法向量， 则， 令，得，， 所以平面法向量， 因为平面平面， 所以， 即， 即，因为，， 所以，， ， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄二中教育集团2026—2027学年度高二年级上学期 期中考试数学试卷 （时间：120分钟 分值：150分） 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项符合要求） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“直线与直线相互垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2，则a＝（ ） A. B. C. D. 5. 设k，t，a为实数，下列四个命题中正确的是（ ） A. 过点，且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程为 B. 若直线与以M，N为端点的线段相交，则 C. 若直线与直线平行，则实数 D. 若三条直线，，不能构成三角形，则实数 6. 已知的三个顶点，， ，将绕顶点A逆时针旋转，此时边上的中线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．每题有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则 B. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则 C. 若两个不同平面的法向量分别为，，则 D. 若平面α经过三点，且向量是平面α的法向量，则 10. 下列叙述正确的是（） A. 若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程为 B. 若圆上有且仅有2个点到直线l：的距离等于1，则 C. 若圆与圆恰有三条公切线，则 D. 若过直线上一动点P，向圆C：引一条切线PA（A为切点），则PA的最小值为4 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，为坐标原点，则（ ） A. 若，则 B. 与圆有四个交点 C. 的重心的轨迹方程为（） D. 的内心的轨迹方程为（） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 13. 已知空间中点，点，则点到直线的距离为______． 14. 平面直角坐标系Oxy中，点，，，设以A为圆心的圆半径为r，E、F为圆A上不同的两点，若对于线段BD上任意一点P，都存在E，F使得，则r的取值范围为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆心为C的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）设点为圆C上动点，求的取值范围． 16. 已知椭圆C：过点，且离心率． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l：，若直线l与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值． 17. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为棱上一点，若平面，求的长． 18. 已知圆C：，直线l：,． （1）求证：直线l过定点； （2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程； （3）在（2）的前提下，若P为直线l上的动点，且圆C上存在两个不同的点到点P的距离为，求点P的横坐标的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，平面，为矩形，且满足，E，F分别为，的中点． （1）求点P到平面的距离； （2）求二面角的余弦值； （3）设平面与交于点N，G为底面内一点（含边界），使得平面平面，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $