广东省惠州市华罗庚中学2026-2027学年高二上学期11月期中学情调研数学试题

惠州市华罗庚中学2026一2027学年度第一学期中段数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B 为 A A AC BD BCD x2,y2 =1 1.【详解】把椭圆方程化为标准方程可得48，B 2.C 3B【详解1已知空间向量=(，-2,1)，6=(2，-1,2)，向量ā在向量6上的投影向量公 a五i 式为：万66，计算得：ā-b=1×2+(-2)×(-1)+1×2=6;万.6=22+(-1)2+2=9， 所以投影向量为： 2-2)-(g) 4.C【详解】如图， Dm-a+Dw-Di+×号pM-i+对os+c)-oi+g08+。Dc 23 2 32 6 111_5 又DP=xDA+yDB+zDC,则=2y=2= ,= 6,所以 x+y+Z= 2666 D A 5.【详解】 连接 、,则为与 中点，因 AC BC FB F AC BD 为E为4B的中点，所以EFBC又正方体BCD-4BCD边长为2现 EF=BC=5,EB=2.FB=FB+B股=6， os∠EBr-+O-- 2×√2×V6 2 EBF- 设B到EF的距离为h,则 2xEFxh= 1 xEBx FBxsinEBxFBx6 6, 2EF 222 故选：D 6.A 7.【答案】A. 【解析】“直线++2=0分别与箱，’轴交于4，两点，4-2,0，B0,-2),则 4B=2V2 .点P在圆x-2+=2上，圆心为2,0，则圆心到直线距离 4=2+0=25,故点p到直线+y+2=0的距离d的范围为[5，，则 √2 5m=44=4e卫.，故选A. 8.【答案】C 【分析】先得到曲线y=-V4- 为圆心为(0,0) 半径为2的下半圆，求出特殊位置时直 线的斜率，数形结合得到答案 【详解1y4-子≤0，两边平方得2+少=4， 故曲线=-V4-×为圆心为0,0)，半径为2的下半圆， 如图所示， 、(-2,0) (2,0) (1,-2 0+22 0+2-2 当1过点(2,0)时，斜率为2+1=3，当1过点(-2,0)时，斜率为-2+1 直线的斜率不存在时，此时直线！与曲线”=4-有1个交点，不合要求， 设直线'为+2=k(x+) 1k-2 =2 若直线1与x2+y2=4相切，则V1+k2 ，解得4 3或0， 由图可知，直线与曲线'=-V4-x 有且仅有两个不同的交点， 则的幸约取价范日是2引引 9.【答案】AC a+b,b+c,c+a 【详解】选项A：假设 共面，则存在实数 “,使得 a+b=6+c+(e+a) 整理得1-川a+(1-2)6-(a+)e=0 1-4=0, 1-2=0, 因为a,瓜，是基底，三向量不共面，系数必须全为0： -(2+4=0, 方程组无解， a+b,b+c,c+a 故 不共面，可以作为空间基底，A正确， 斜率==3，倾斜角是π，B籍 6 7 选项C:四点共面充要条件：若OP=mOA+xOB+yOC,则m+x+y=1代入m= 6 6+x+y=l,得+y=6,C正确 选顶D:G6≥0，包含位，)=0（同向共线）的情况，0不是锐角，D错误 9【详解】当m=2， 4x-y=0 4x-y=0 时，直线的方程为 与直线 完全重合，故A错 误； m(x+I)+2x-y-2=0 将直线”变形为 x+1=0 x=-1 令2x-y-2=0,解得y=-4,所以直线1恒过定点P(-1,-4), 则lOP=V(-+(4}=V7,所以原点到直线的距离d≤OP=7, 故3m∈R,原点(0,0)到直线l的距离为4，故B正确： 2-"(m≠-2) 直线l在y轴上的截距为m-2,在x轴上的截距为m+2 若截距相等，分两种情况： m-2= 2-m=0 ①截距均为0，即 m+2时，解得m=2: 2-m =m-2 ②截距相等且不为0，即m+2 ，解得m=-3, 综上，m=2或-3，故C错误： 若直线与直线 +y=0 垂直，则直线的斜李k=1,则有m+2=1,解得m=-,故 D正确： 11.【答案】BCD 【分析】先根据椭圆方程求出基本参数a,b,C,再结合椭圆性质、圆与圆的位置关系、余弦 定理逐项判断各选项正误， .x2y2 【详解】由椭圆C:25+61,得长半轴a=5,短半轴)=4：半焦距c=匠-6=3” F(-3,0),F(3,0) 左右焦点为 选项A:椭圆离心率e=C=≠4 a55,A错误： 选项B,椭圆上的点到左焦点的最大距离为a+c=5+3=8,即P听1 的最大值为8，B正确： FF 2+y2=9 为直径的圆方程为 0,0，半径 1=3 选项C:以线段 ,圆心 圆x-0+0-3=4 ，米径夕2 C(4,3) 的圆心为 两圆心距10C牛V孕+3=5=+5，故两圆外切，C正确： PE=m,lPF上n 选项D:设 由椭圆定义得m+n=10 在AFP5中由余弦定理：㎡=+F5f-2n55引os行， 2 代入m=10-nEE上6，解得n= 7 32 S=二×6× xsin产=48V5 则三角形面积2 7 37,D正确 12.【答案】6 PF +PF =2a FF =2c 【详解】由题意，根据椭圆的定义可知 PFE 所以 的周长为 2a+2c -=1 因为椭圆方程为43，所以a=2,c=1. △PFE 2a+2c=4+2=6 所以 的周长为 13.【答案】9 【详解】+少-(x--0-1=2x+2y-2=4-4=0 则两圆公共弦方程为x+y=1 因F(a,)在+y=1上，则a+b=,从而 ）=5+2+4a≥5+2，b.4o-9 a b a b a b b 4a 2 当且仅当。=6，即a=3b= 31 3时取等号。 14.【答案】47 【详解】由条件知C1:AB=0,BD.AB=0,CD=CA+AB+BD 至BD,4C-青.所 又二面角a-1-P的平面角为3，则 CD"-CA+4B+BD+2C4.4B+24B.BD+2CA.BD =6+4+5+2x6x5a-.lD=而 直线AB的斜率k=】-3 15.解：(1) -山则直线AB的方程为：y1仁1(X3到， 3-1 整理的x+y-4=0. 3x-2y-1=0 由 解得1 (2) x-2y+1=0 y=1.C1,1) h=1+1-4-2 点C1,1)到直线1：x+y-4=0的距离V12+12 |ABFV(3-1)2+(1-3)2=2V2 r30A5x22x5-2 则 2 16【详解】(1山)设B=i,D=可，A=0.则网=问=2，网=4.i=0 iw=2.4c0s60°=4，.w=2.4c0s60°=4」 因为 AC=i+D+ ,所以 14C-i++w}22+2++2i.+2i.m+2.m=4+4+16+0+8+8=40 AC'=2W10 故 (2)AC-+BDi-AD-B-+ BD.AC=(-i++0)(a+)=-++wi+w=-4+4+4+4=8 又4C=+=4+4+0=8,4C=22 1BD2-i++m=4+4+16-0-8+8=241BD°上26 BD.AC 8 8-1-V5 设异面直线BD与4C所成角为g则m0DA26224i2店号. BD' 3 所以异面直线BD'与AC所成角的余弦值为3· 17.【答案】(I)在梯形PBCD中，BA⊥PD,故BA⊥AP', 又PALAD,AD0AB=-AAB,ADc平面BCD,所以PAL平面BCD 又PAC平面PAB,所以平面ABCD⊥平面PAB, P'A,AD,AB B,AD,AP' 2)由(1)得 两两垂直，故以A为坐标原点，分别以 所在的 直线为X,少，2轴，建立如图所示的空间直角坐标系. D 则A0,00）P(0,0,1,B10,0).D(02,0）.C(11,0）) 易知AP=(0,01) 因为T是CD的中点，点M是P'T的中点， muG0）. =o0.w-(得 设平面ABM的法向量为i=(x,乃，2)， x=0, i.AB=0, 则 3wt2=0, 2 取'=4，测2=-6，得平面4BM的一个法向量为 7=(0,4,-6) 设直线AP'与平面ABM所成角为O, 则in0=-cos, AP.n6 r阿i6+362后3 6 131 18【答案】)-7八+0-4=25 (22=10成7x+24y-70=0 或 g)x=12或1lx-60+468=0 或 【详解】(1) 9/ x-2y叶1=0 (x-3)-x-2y+5=0 如图所示，将直线的方程整理为 [x-3=0 「x=3 令-x-2y+5=0,解得y=1,故P3,1), 圆心坐标为 (7,4) 半径为5， 故圆C的方程为x-7+0-4=25 (2)当直线斜率不存在时，直线为=10，此时圆心到X=10的距离为10-7=3， 由垂径定理得：弦长为2×W5-了=8，满足要求： 当直线斜率存在时，设直线为'=(x-10)】 d=4+3% 圆心C(7,4)到直线y=k(x-10)即kx-y-10k=0距离为V1+k, 4+3k 由垂径定理得： V+E =53, 解行：=名 7 故直线1方程为：y=24x-10)即7x+24y-70=0 综上：直线方程为x=10或7x+24y-70=0 或 (3)当切线斜率不存在时，直线方程为x=12,圆心C到直线的距离为5，与圆 (x-7)2+y-4)2=25 显然相切，符合题意： 当切线斜率存在时，设切线斜幸为人，切线方程为’-10=(：-12），即 kc-y-12k+10=0 7k-4-12k+10=5 由圆心到切线距离等于半径得 Vk2+1 ,整理得36-60k=25,解得 代入得切线方程为11x-60y+468=0。 所以切线方程为x=12或11x-60y+468=0 19.(1)【法一】由已知条件可设 -c时-c, t0=1i0 99b6 -26 解得 所以椭圆的标准方程为94 【法二】由已知条件可知a=3, AB=2b=2b28 当直线1垂直X轴时， a33,得b=2 x2,y2 =1 所以椭圆的标准方程为94 (2)【法一】设4G,bB(,2),直线1的方程为x=少-V5 x=ty-5 联立94，消去x并化简得（4+9)少2-8W5-16=0 -=1 85t a+y2=4r2+9%h=、16 由韦达定理得 4t2+9 -- +4×,16=24×24×2+ 那么 4t2+9 (4r2+9月 出=24×P+1 所以 4t2+9 所=5ws+55x2cx-=5-W 而 =245-245. 24V5 4t2+9 40+0+54WP+1+ Vt2+1 24V5 24V5 ≤ ,=6 24P+1.5 4v5 Vt2+1 4Vt2+1=5 当且仅 √t2+1,即2时等号成立 又因为 s分04+E4+K0xr12xr=6r≤6. 所以△ABF2内切圆半径的最大值为1. 【法二】①当直线！的斜率不存在时 8,Xax2c=×号x25-号6 23 又因为 S.-x+4+)xr-ix12xr-6r r=45 所以这时9 ②当直线I的斜率存在时，设A(X1,y,B(x2,y2),1:y=kx+V⑤ 父+=1++5=1 把y=kx+5代入9+4 得9 4 得9k2+4x2+185k2x+45k2-36=0 +为=18v6k2 9k2+4名七3=45k39 9k2+4 由韦达定理得 所以AB=X-名2+-y=1+x+x-4xX 18V5k224x36-4×45k2 9k2+4 9K2+4 4×9×16×1+k2_24×1+k2 9k2+4 9k2+4 d=2V5xlk] 点F2到直线l的距离 Vk2+1 2v5xk 245k2+1xlk 所以 am×A8xd2k 9k2+4 -×心VK2+1 9k2+4 Vk2+1×k =24V5× k =24V5× —=24V5× 9k2+4 4 k2 3*9 =24V5× 1 ≤24V5×1 =6 1 4 v⑤ +1+ 5 1 *1 1 4 +15 1. 当且仅当 2+1 ,即k=±2时等号成立 5m-x(xr-jx12xr-6r 得6r≤6解得r≤1 1>45 又因为9 所以△ABF2内切圆半径的最大值为1. 惠州市华罗庚中学2026—2027学年度第一学期中段学情调研 高 二 数学 试 题 2026年11月 试卷分数：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．椭圆的一个焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知棱长为2的正方体，E，F分别为和的中点，则点B到EF的距离为（ ） A. B. C. D. 6．有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 7．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是 （ ） A． B． C D． 8.过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．给出下列命题，其中正确的是（     ） A．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 C．点为平面上一点，为平面外一点，且，则 D．非零向量，，若，则为锐角 10. 已知直线：，下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线与直线平行 B. ，原点到直线的距离为4 C.若直线在两坐标轴上的截距相等，则 D. 直线与直线垂直，则 11．设椭圆：的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列说法正确的是（     ） A．椭圆的离心率 B．的最大值为8 C．以线段为直径的圆与圆外切 D．若，则的面积 第Ⅱ卷 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知椭圆：，其左右焦点分别为，．点是椭圆上任意一点，则的周长为__________． 13．已知圆：和圆：相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为__________． 14. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知两点，. (1)求直线AB的方程； (2)直线与直线交于点C, 求的面积． 16．如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，且． (1)求的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 17. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18．已知直线恒过定点，圆经过点，且圆心C坐标为（7，4）． (1)求圆的方程； (2)过的直线被圆截得的弦长为，求直线方程． (3)过点N引圆的切线，求切线方程． 19.已知椭圆的左右焦点分别为，过点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点．当直线垂直轴时,． （1）求椭圆的标准方程； （2）求内切圆半径的最大值． 惠州市华罗庚中学2026—2027学年度第一学期中段学情调研高二数学试题 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $