精品解析：福建省厦门市第十一中学2026-2027学年九年级第一学期期中数学试卷

2026-2027学年厦门市第十一中学九年级第一学期期中教学质量检测 数学 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A选项：方程为，，符合题意； B选项：方程为，，不符合题意； C选项：方程为，，不符合题意； D选项：方程为，，不符合题意. 2. 若点在反比例函数的图象上，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由得，图象上任意点的横纵坐标满足， A选项：，不符合； B选项：，符合； C选项：，不符合； D选项：，不符合． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】识别抛物线表达式为顶点式，直接求解顶点坐标． 【详解】解：抛物线为顶点式，其顶点坐标为． 4. 如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得，旋转角为和． 【详解】解：∵绕点B顺时针旋转至，点C的对应点是E， ∴旋转角为和． 故选：C． 5. 某校开展课外阅读活动，经过两年，2021级的学生人均阅读量从七年级的每年36万字增长到九年级时的每年49万字，设2021级的学生人均阅读量年平均增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量增长率），如果设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意即可列出方程求解． 【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x， 根据题意即可列出方程：． 故选：A． 6. 如图所示，是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形的面积为，则反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义得出，根据反比例函数图象位于二、四象限即可得出答案． 【详解】解：∵矩形的面积为，点在反比例函数图象上， ∴， ∵反比例函数图象位于二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式． 7. 如图是的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是（ ） A. 7 B. 2 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，寻找现有黑色方块关于网格中心的对称点，确定缺失的黑色方块位置． 【详解】解：设网格的几何中心为点， ∵ 黑色部分需构成中心对称图形， ∴ 现有黑色小正方形关于点的对称位置也应为黑色， 观察图形可知，第二行第1列与第三行第4列关于点对称， 第二行第2列与第三行第3列关于点对称， 第四行第2列的黑色小正方形关于点的对称位置是第一行第3列， ∵第一行第3列的数字为3， ∴ 需将标有数字3的白色小正方形涂黑． 故选D． 8. 已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的解和交点，再根据函数图象的性质求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 令，即， 解得，， 二次函数与轴交于和. 正比例函数过点， ， ∵二次函数过点， ∴时，， ∴， 二次函数开口向下， 的取值范围是， 两函数图象交于和，且二次函数开口向下， 的取值范围是或， 满足的取值范围是． 二．填空题（每小题4分，共32分） 9. 已知是方程的解，则m的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】直接把代入方程，即可求出的值． 【详解】由题意得： 把代入方程中， 则，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义，正确求出的值． 10. 若的半径为2，M为平面内一点，，则点M在_________．（填“上”、“内部”或“外部”） 【答案】外部 【解析】 【分析】根据点到圆心的距离和半径的关系即可判断点与圆的位置关系；距离大于半径点在圆的外部，距离等于半径点在圆上，距离小于半径点在圆内部． 【详解】解：的半径为2，， 点M到圆心的距离大于半径， 点M在外部， 故答案为：外部． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系；掌握点到圆心的距离与半径的关系是解题的关键． 11. 点关于原点成中心对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面直角坐标系内，关于原点成中心对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数求解即可． 【详解】解：的相反数是，的相反数是， 关于原点成中心对称点的坐标为． 12. 若平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】三个点不能确定一个圆等价于三点共线，先确定过、两点的直线特征，再根据点在该直线上求解的值． 【详解】解： ∵不在同一直线上的三个点可以确定一个圆， ∴三个点不能确定一个圆时，、、三点共线， ∵点，的横坐标均为， ∴过、两点的直线平行于轴，直线上所有点的横坐标都为，即该直线为， ∵点在直线上， ∴点的横坐标满足，即． 13. 已知方程的两个根互为相反数，则_____． 【答案】0 【解析】 【分析】已知一元二次方程的两根互为相反数，可结合根与系数的关系建立关于的等式求解． 【详解】解：∵是方程的两个根． ∴由根与系数的关系可得． ∵互为相反数． ∴． ∴． 14. 如图，以原点为圆心的圆与反比例函数的图象交于、、、四点，则以这四个点为顶点的四边形为________． 【答案】矩形 【解析】 【详解】解：连接，， 根据反比例函数的对称性质和圆的性质知点在，上， ∵、关于原点对称，、关于原点对称， ∴，，又∵、关于对称， ∴， ∴， ∴以、、、四点为顶点的四边形为矩形． 15. 下表是满足二次函数的六组数据，试判别方程解的情况________． 0.3 1.6 1.8 2.0 2.05 2.2 0.22 【答案】方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】通过待定系数法求出二次函数的解析式，代入得到的值，再利用一元二次方程的判别式判断根的情况． 【详解】解：∵二次函数经过点和， ∴将两点坐标代入函数式，得方程组， 解方程组，得， ∴二次函数的解析式为， ∵当时，对应的函数值为， ∴代入解析式得， 对于一元二次方程，其判别式， 将代入，得， ∴方程有两个不相等的实数根． 16. 已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，， 的大小情况，即可解题． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为， 当时，， 当时，， ， 当时，， ， 故A、B错误，不符合题意； 当时，， 由二次函数对称性可知，， 当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于， 故C正确符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 三．解答题（共86分） 17. 解方程 【答案】 【解析】 【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程． 18. 如图，、交于点，，点与点，点与点是对应顶点．请在图中连接、，并证明． 【答案】 证明：如图，连接、， ， ，， 四边形为平行四边形， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．连接、，根据全等三角形的性质，易证四边形为平行四边形，即可证明结论． 【详解】略 19. 按照下列要求作出图形（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，已知与关于某点成中心对称，与是对称点，与是对称点．找出它们的对称中心； （2）如图2，是一块纸片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形．聪明的你通过《旋转》这一章节的学习发现可以用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你尽可能多地设计不同的分割方案． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，交于点即为所求； （2）方法①：补全平行四边形，画出大平行四边形、剪去的小平行四边形各自对角线的交点，过两个交点画直线即可； 方法②：在纸片的右上角划分出两个小平行四边形，画出它们各自对角线的交点，过两个交点画直线即可； 方法③：在纸片的左下角划分出两个小平行四边形，画出它们各自对角线的交点，过两个交点画直线即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 20. 如图所示，为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为10米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块矩形菜地作为实践基地．有同学认为矩形菜地的最大面积是24平方米，判断该同学的说法是否正确，请通过计算说明理由． 【答案】 解：错误，理由如下： 设围成的矩形长为米，则宽为米， 矩形面积为， 由可知抛物线开口向下，当时，矩形面积有最大值，为平方米， 该同学的说法错误． 【解析】 【分析】设围成的矩形长为米，则宽为米，表示出围成的矩形菜地面积，由二次函数图象与性质分析求解即可判断． 【详解】略 21. 大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）随物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的变化而变化、为了探究像高与物距的关系，通过实验得到6组数据： 序号 1 2 3 4 5 6 物距 像高 （1）请根据上表中的数据在图中描点、连线，试确定像高与物距的函数解析式； （2）若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米． 【答案】（1）， （2）厘米 【解析】 【分析】（1）根据小孔成像原理判定和为反比例函数，代入求出得到，其余数据和计算值的差异属于实验测量误差． （2）根据像高不超过列出不等式，结合解不等式，求出小孔到蜡烛的距离至少为3厘米． 【小问1详解】 解：由小孔成像原理，像高与物距成反比例关系， 设． 观察表格，当时，，代入 ． 将其余各组代入验证，计算得到的和实验数据接近，误差来自实验测量， 函数解析式为． 【小问2详解】 解：由题意，， ． ， ． 即． 答：小孔到蜡烛的距离至少是 3 厘米． 22. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． （1）求二次函数的表达式； （2）若点在抛物线上，且点在第三象限，线段交轴于点，的面积是的面积的3倍．画出示意图，求点的坐标． 【答案】（1） （2）示意图： 点的坐标为 【解析】 【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线解析式，求解、的值； （2）设，根据的面积是的面积的3倍，得到的面积是的面积的2倍，进而可得，进而建立方程求出m即可得解． 【小问1详解】 解：将，代入，得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设， 又∵的面积是的面积的3倍， ∴的面积是的面积的2倍， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为． 23. 我们掌握了一元二次方程的两个根为，与其系数、、关系：，．以下是课本给出的其中一种证明方法 证明：如果一元二次方程的左边可以分解因式为，那么方程的两根为，．反过来，一元二次方程的两个根为，，那么， 即． 由此可得，．因此，． 深刻阅读，类比思考，仔细计算，完成以下问题： （1）写一个满足三个根分别为1，2，3的一元三次方程________； （2）“若一元三次方程的三个实根为，，”，则________，________，________； （3）已知长方体体积为1，长宽高之和为，表面积为，求实数的取值范围．（需要用到的公式提示：） 【答案】（1） （2）；； （3） 【解析】 【分析】（1）设此一元三次方程为，令，展开即可； （2）令，展开，利用对应系数相等求解即可； （3）设长方体的长，宽，高分别为，由题意结合（2）的结论可得为一元三次方程的三个正根，利用立方差公式及韦达定理求解即可． 【小问1详解】 解：设此一元三次方程为， 令， 得， 即； 【小问2详解】 解：由题意可得 ， ∴，，， ∴，，； 【小问3详解】 解：设长方体的长，宽，高分别为， 则有， 所以， 即为一元三次方程的三个正根， ∴， ∴， 解得或， 由题意可得有两个正根， 所以， 解得， 所以实数k的取值范围为． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 定义：如图1，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点． 素材2 某数学兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线． 素材3 平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图3中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形． 问题解决 （1）探究图2时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为猜想正确吗？请说明理由？ （2）进一步探究图2中发现：在任务1的中，过点任意作一条直线交于点，再过点作，交于点，连接（如图2），则直线也是的黄金分割线．请说明理由． （3）如图3，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论． （4）如图4，是的边上的黄金分割点，过点作，交于点．显然直线是的黄金分割线．请你再画一条的黄金分割线，使它不经过各边的黄金分割点，并简要描述作法． 【答案】（1）猜想正确． （2）理由：和同底等高 由（1）可知 根据黄金分割线的定义，直线是的黄金分割线． （3）点是边上的黄金分割点． （4） 【解析】 【分析】（1）利用同高三角形的面积比等于底边长之比，结合黄金分割点的线段比例，推导出面积比例符合黄金分割线定义，证明猜想正确． （2）根据平行线间同底等高的三角形面积相等进行等面积代换，将面积比例转化为第（1）问的形式，证明直线符合黄金分割线的定义． （3）根据旋转的性质和平行四边形对边相等，把边上黄金分割点的线段比例对应到边上，得出是边上的黄金分割点． （4）以已知黄金分割线为基础，利用平行线同底等高或者中心对称全等进行等面积变换，得到新的分割线，保证分割后的面积比例不变，同时避开各边上的黄金分割点． 【小问1详解】 解：猜想正确．理由： ∵点是边上的黄金分割点， ∵与同高，与同高， ，． ． 根据黄金分割线的定义，直线是的黄金分割线． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：∵绕中点旋转得到平行四边形． ，， ∵点是边上的黄金分割点． 点是边上的黄金分割点． 【小问4详解】 解：取的中点，过点作一条直线，分别交于两点，则直线就是的一条黄金分割线，且不经过各边的黄金分割点． 理由： 平行四边形是中心对称图形，是中点， 与全等， ． 等面积替换后，直线分割得到的两块面积和直线分割得到的两块面积相等，满足黄金分割线的面积比例要求，且直线不经过平行四边形各边上的黄金分割点． 25. 已知抛物线． （1）若，，则抛物线的顶点坐标为________； （2）若抛物线上存在一点在轴下方，求证：抛物线与轴有两个交点； （3）抛物线与轴交，两点，与轴交点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 证明：∵ 点在抛物线上且在轴下方， ∴ . 配方得. ∵ ， ∴ ，即， 即有两个不相等的实数根， ∴ 抛物线与轴有两个交点； （3） ，证明如下： ∵ 抛物线与轴交于， ∴ ，抛物线解析式为. ∵ ， ∴ 点在的垂直平分线即抛物线对称轴上，设. 设， ∵ 在抛物线上， ∴ ， ∵ ， ∴ . ， ， ∴ ， 化简得， ∵ ，在轴上， ∴ 在的垂直平分线上，即中点的纵坐标为， 设（），则， 解得，即， 两式相加得，即， ∴ 点的纵坐标为, 过作轴于，则， ∵ ，， ∴ 的中点为，即是中点， ∴ 垂直平分， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）代入的值求抛物线顶点坐标即可； （2）证明抛物线与轴有两个交点，即证明有两个不相等的实数根，根据已知条件证明根的判别式大于零即可； （3）因为 抛物线与轴交于，则抛物线解析式为，因为， 点在的垂直平分线即抛物线对称轴上，设，由可求得，因为，在轴上，在的垂直平分线上，即中点的纵坐标为，则可求坐标，由题意可求 点的纵坐标为,过作轴于，则，可得是中点，∴垂直平分，则． 【小问1详解】 解：若，，则抛物线解析式为, ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年厦门市第十一中学九年级第一学期期中教学质量检测 数学 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 2. 若点在反比例函数的图象上，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校开展课外阅读活动，经过两年，2021级的学生人均阅读量从七年级的每年36万字增长到九年级时的每年49万字，设2021级的学生人均阅读量年平均增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形的面积为，则反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是（ ） A. 7 B. 2 C. 4 D. 3 8. 已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 二．填空题（每小题4分，共32分） 9. 已知是方程的解，则m的值为____________． 10. 若的半径为2，M为平面内一点，，则点M在_________．（填“上”、“内部”或“外部”） 11. 点关于原点成中心对称点的坐标为________． 12. 若平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值为________． 13. 已知方程的两个根互为相反数，则_____． 14. 如图，以原点为圆心的圆与反比例函数的图象交于、、、四点，则以这四个点为顶点的四边形为________． 15. 下表是满足二次函数的六组数据，试判别方程解的情况________． 0.3 1.6 1.8 2.0 2.05 2.2 0.22 16. 已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 三．解答题（共86分） 17. 解方程 18. 如图，、交于点，，点与点，点与点是对应顶点．请在图中连接、，并证明． 19. 按照下列要求作出图形（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，已知与关于某点成中心对称，与是对称点，与是对称点．找出它们的对称中心； （2）如图2，是一块纸片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形．聪明的你通过《旋转》这一章节的学习发现可以用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你尽可能多地设计不同的分割方案． 20. 如图所示，为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为10米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块矩形菜地作为实践基地．有同学认为矩形菜地的最大面积是24平方米，判断该同学的说法是否正确，请通过计算说明理由． 21. 大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）随物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的变化而变化、为了探究像高与物距的关系，通过实验得到6组数据： 序号 1 2 3 4 5 6 物距 像高 （1）请根据上表中的数据在图中描点、连线，试确定像高与物距的函数解析式； （2）若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米． 22. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． （1）求二次函数的表达式； （2）若点在抛物线上，且点在第三象限，线段交轴于点，的面积是的面积的3倍．画出示意图，求点的坐标． 23. 我们掌握了一元二次方程的两个根为，与其系数、、关系：，．以下是课本给出的其中一种证明方法 证明：如果一元二次方程的左边可以分解因式为，那么方程的两根为，．反过来，一元二次方程的两个根为，，那么， 即． 由此可得，．因此，． 深刻阅读，类比思考，仔细计算，完成以下问题： （1）写一个满足三个根分别为1，2，3的一元三次方程________； （2）“若一元三次方程的三个实根为，，”，则________，________，________； （3）已知长方体体积为1，长宽高之和为，表面积为，求实数的取值范围．（需要用到的公式提示：） 24. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 定义：如图1，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点． 素材2 某数学兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线． 素材3 平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图3中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形． 问题解决 （1）探究图2时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为猜想正确吗？请说明理由？ （2）进一步探究图2中发现：在任务1的中，过点任意作一条直线交于点，再过点作，交于点，连接（如图2），则直线也是的黄金分割线．请说明理由． （3）如图3，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论． （4）如图4，是的边上的黄金分割点，过点作，交于点．显然直线是的黄金分割线．请你再画一条的黄金分割线，使它不经过各边的黄金分割点，并简要描述作法． 25. 已知抛物线． （1）若，，则抛物线的顶点坐标为________； （2）若抛物线上存在一点在轴下方，求证：抛物线与轴有两个交点； （3）抛物线与轴交，两点，与轴交点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $