精品解析：江苏省连云港高级中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

2026-2027学年第一学期期中考试 高一数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 一元二次方程没有实数解，则（   ） A. B. C. D. 4. 设，则函数的最小值为（    ） A. 6 B. 12 C. 10 D. 7 5. 下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（   ） A. B. C. D. 6. 的分数指数幂表示为（    ） A. B. C. D. 7. 若，则 A. B. C. D. 8. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知实数满足，则（    ） A. B. C. D. 10. 已知，，则下列结论正确的有（   ） A. B. C. D. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，则 B. ，，，则到的对应关系是函数 C. 函数是偶函数，且在上单调递增 D. 一个周长为60cm的矩形，它的面积最大值是225cm2 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 命题“，”的否定是________． 13. 函数，则__________，函数的零点是______________ 14. 设2022年我国国民生产总值为亿元．如果我国国民生产总值的年平均增长率为8%，那么经过________年我国国民生产总值是2022年时的6倍？（，，，结果精确到1年） 四、解答题（5大题，共77分，解答时应写文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知不等式的解集为，函数的定义域为集合． （1）求集合和； （2）求和. 16. 计算： （1）； （2）． 17. （1）用函数的单调性定义证明函数在上是单调递增函数. （2）设函数. ①设为实数，若是偶函数，求m的值； ②当m=1时，画出函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的值域. 18. （1）证明：函数在上是奇函数； （2）已知奇函数在定义域上是减函数，且，求实数的取值范围； （3）若函数是奇函数，且当时，，求当时，的解析式. 19. 定义域为的函数，如果存在区间．同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”． （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）函数是否存在“优美区间”？若存在，求出它的“优美区间”，若不存在，请说明理由． （3）已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中考试 高一数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解得或，即， 根据补集的定义可得. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义进行判断即可． 【详解】由得，所以“”是“”的必要不充分条件。 故选：B. 3. 一元二次方程没有实数解，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为一元二次方程没有实数解，所以其判别式， 其中， ， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 4. 设，则函数的最小值为（    ） A. 6 B. 12 C. 10 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， ， 令，则， 由基本不等式，得， 所以，当且仅当，即，时取等号， 故函数的最小值为. 5. 下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A：的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数， B：的定义域为， ，其定义域为，定义域不同，不是同一个函数， C：的定义域为，的定义域为，定义域相同且对应法则相同，是同一个函数， D：的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数. 6. 的分数指数幂表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 所以. 7. 若，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数与指数的互换公式，化简即可求得x． 【详解】将对数式化为指数式可得 所以选A 【点睛】本题考查了指数式与对数式的互换，指数幂的简单运算，属于基础题． 8. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由题意得，在上单调递减， 则，即， 实数的取值范围是. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知实数满足，则（    ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】A：是上的增函数，，故，A正确； B：，由，得， 由，得，所以， 即，B正确； C：由，故，，由于，的符号不确定，当时，，当时，，因此不恒成立，C错误； D：，， 则，，所以，即，D错误. 10. 已知，，则下列结论正确的有（   ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知，， A：，A正确； B：，B错误； C：，C正确； D：，D正确. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，则 B. ，，，则到的对应关系是函数 C. 函数是偶函数，且在上单调递增 D. 一个周长为60cm的矩形，它的面积最大值是225cm2 【答案】ACD 【解析】 【详解】A：由，，根据不等式同向正数可乘，得，即，A正确； B：当时，无意义，集合中的元素没有对应的像，不满足函数定义，B错误； C：记，定义域为，关于原点对称，，，是偶函数，当时，单调递增，C正确； D：设矩形的长为，宽为，面积， ，当且仅当，即时取等号， 此时，即面积最大值为，D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 命题“，”的否定是________． 【答案】“，” 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可知命题“，”的否定是“，”. 故答案为：“，”. 13. 函数，则__________，函数的零点是______________ 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 故，即①为， 求零点：令，当时，，无解， 当时，，解得或， 但不满足，舍去，故， 所以函数的零点是，即②为. 14. 设2022年我国国民生产总值为亿元．如果我国国民生产总值的年平均增长率为8%，那么经过________年我国国民生产总值是2022年时的6倍？（，，，结果精确到1年） 【答案】24 【解析】 【详解】设经过年后，我国国民生产总值为年时的倍, 由题意得，，即， 两边取常用对数，得， 所以， 精确到年，取， 故经过年，我国国民生产总值是年时的倍. 四、解答题（5大题，共77分，解答时应写文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知不等式的解集为，函数的定义域为集合． （1）求集合和； （2）求和. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 由，得，解得，所以， 函数要有意义，需，解得，所以. 【小问2详解】 因为，，所以， 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【小问1详解】 ， ， 所以原式. 【小问2详解】 ，， ， 所以原式. 17. （1）用函数的单调性定义证明函数在上是单调递增函数. （2）设函数. ①设为实数，若是偶函数，求m的值； ②当m=1时，画出函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的值域. 【答案】(1)任取，且，则， 因为，所以，又，，所以， 故，即， 所以在上是单调递增函数. (2)①. ②在上的最小值为，最大值为，值域为. 【解析】 【分析】(1) 用单调性定义证明：设，作差通分后判断符号，证得； (2)①偶函数即对任意恒成立，据此建立关于的等式求解； ②先代入化简并配方，由顶点确定单调区间，再结合端点与顶点函数值确定值域，描出关键点即可作图. 【详解】(1)略. (2)①若是偶函数，则对任意有， ， ， 所以，即对任意恒成立，故. ②当时，，所以， 图象：开口向上的抛物线，对称轴为，顶点为， 在上依次经过，，，，且与轴交于处， 单调区间：在上单调递减，在上单调递增。 值域：，，， 所以在上的最小值为，最大值为，值域为. 18. （1）证明：函数在上是奇函数； （2）已知奇函数在定义域上是减函数，且，求实数的取值范围； （3）若函数是奇函数，且当时，，求当时，的解析式. 【答案】(1)函数的定义域为，关于原点对称， 则， 所以在上是奇函数. (2). (3). 【解析】 【分析】(1)证明奇函数：先说明定义域关于原点对称，再验证； (2)解抽象不等式：利用奇偶性把化为，再利用单调性去掉得，注意在定义域内； (3)令，代入求，再由反解. 【详解】(1)略. (2)因为是定义在上的奇函数，且为减函数， 要使有意义，需，且， 解得，且，所以， 由，得， 因为是奇函数，所以， 故， 又因为在上是减函数，所以，解得， 综上，实数的取值范围为. (3) 因为是奇函数，所以， 即， 当时，，所以， 因此， 所以当时，. 19. 定义域为的函数，如果存在区间．同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”． （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）函数是否存在“优美区间”？若存在，求出它的“优美区间”，若不存在，请说明理由． （3）已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 【答案】（1）因为在上单调递增，且，， 所以在上的值域为， 故同时满足条件①②，即是的一个“优美区间”. （2）的定义域为, 由反比例函数的单调性可知在和上分别单调递减， 假设存在，则在上单调递减，其值域为， 又因为函数在上的值域为，则，即， 两式相减得，即， 因为，所以，两边同除以，得， 又由两边同乘，得，所以，与矛盾， 故函数不存在“优美区间”. （3） 【解析】 【分析】（1）通过在区间上单调递增，利用新定义判断即可； （2）利用新定义是已知函数的“优美区间”，推出，转化求解即可； （3）设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则说明、是方程的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系即可求解的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 定义域为， 假设或， 令，则， 所以在上单调递增， 又是函数的“优美区间”，所以， 所以、是方程，即的两个同号且不等的实数根． 所以，解得， 根据韦达定理可得， 则， 故当时，即时，取得最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $