湖南长沙市雅礼集团2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

2026年下学期高二期中考试 数学试卷答案和解析 1.【答案】A【解析】点A(2√3,4)，B(-V3,1),则直线AB的斜率k4B=2N3+=3=3 4-1 3-3 2.【答案】C【解析】将x2+y2-2x+6y+1=0化成标准方程为(x-1)2+0y+3)2=9, 圆心为(1，-3)，半径为3，因为圆x2+y2-2x+6y+1=0关于直线x-y-m=0对称， 所以圆心(1，-3)在直线上，即1+3-m=0,解得m=4. 3.【答案】A【解析】圆x2+y2-2x+6y=0的标准方程为(x-1)2+y+3)2=10,则其圆心坐 标为(1，-3)，则圆心到直线x-y-2=0的距离为1+3-L=V2. J12+(-1)2 4【答案】B【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设椭圆方程为：三+卡=1(a>b>0), 由愿意得2a=4,c=1,即a=2,则b2-2-c2-4-1-3,所以椭圆方程为：兰+号-1. 5.【答案】C【解析】对于A选项，a+万=(a-b)+2b,∴a+万，a-b,b共面，不能构成空间的 一组基底，A错误： 对于B选项，因为-a+b+2元=2⑦+)-(d+万，则-d+b+2元，万+c,a+共面，所以-a+ +2元，五+c,a+万不能构成空间的一组基底，B错误： 对于C选项，假设a+,d-五，共面，则可设a+五=(a-b+(,u∈R) (1=1 λ=一1，方程组无解，…a+五，a-五，不共面，可以构成空间的一组基底，C正确： 4=0 对于D选项，因为a+万+元=a+2功+d+2⊙，则a+2万，a+2元，a+万+洪面，所以 a+2b,a+2元，a+b+c不能构成空间的一组基底，D错误. 6.【答案】C【解析】酝=所+丽+P厉-++P元=-立+元+丽+G 4 =-a+c+(-c+a+b=-a+拓+e 7.【答案】D【解析】以{DA,DC,DD为单位正交基底，建立如图所示的空间 直角坐标系Dxyz,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1则B1(1,1,1), N(0,1,),M(1,2,0),所以MN=（-1,2),DB=(1,11).设DB1与Mw所成角为0，则cos0= DBM网_上1++_3 1csDB.M=P网-V名 -21 第1页，共5页 8.【答案】C【解析】设F(-c,0),F2(c,0),令lPF1l=m,|PF2l=n,则m=n,m+n=2a, 所以(0+1)n=2a,所以(0+1)2n2=4a2, 在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，则由余弦定理得1F1F22=m2+n2-2 mncose60°=m2+n2-mn, 所以4c2=m2+n2-mm=2n2+n2-n2=(22-+1)n2, 所以e2= 22-2+1)n2 生 12-1+1 a2 (2+1)2n2 (0+1)2, 令t=元+1，好≤≤3，可得时≤t≤4， 则e2-2-出-2+3=是-2+1-3(2+字 t2 t2 当t=2时，e2取最小值子所以e的最小值为 9.【答案】AC【解析】l∥a一a⊥n=a·n=0. A:a·n=0×0+0×1+1×0=0/;B:a·n=1×(-1)+(-2)×2+1×(-1)=-6≠0X; C:M·n=1×1+0×1+(-1)×1=0/;D:a·n=2×1+(-1)×3+3×1=2≠0X. 10【答案】AB【解析】对于A,直线，的斜率为-专若m=一是则直线2的斜率为 所以-专×=-1，则l,2垂直，选项A正确： 对于B,若l1/2,则3m-4×1=0,得m=青直线2：4x+3y-11=0, 由两平行直线距离公式，得=上3-号选项B正确： V42+32 对于C,若m=1,则2：x+y-3=0,与1：4x+3y-3=0联立，得x=6, 所以直线l1与l2 y=9 交于点(-6,9)，选项C错误： 对于D,当m=0时，直线2与x轴无截距，不满足条件， 当m≠0时，在两坐标轴的截距相等，分别令x=0,y=0,求出与y轴截距为2m+1,与x轴截距为 2由2m+1=-2,解得m=1或m=-分选项D错误 11.【答案】BCD【解析】由题可得，a=√3，b=1,c=√2，F2(2,0), 对丁A,e得-号放4错误： 对于B,当直线与x轴垂直时，直线的方程为x=V2,所以号+y2=1,解得y=士， 所以AB=9,放B正确： 对于C,因为AF,AF2≤(4A)?=(9)2=a2=3, 当且仅当|AF1=|AF2=V3时等号成立，故C正确： 第2页，共5页 对于D,设△AF1F2的内切圆的半径为r, SAAF F2=7r(IAFl+IF1F2l+lAF2l)=(2a+2c)r=(a+c)r, 当A为椭圆C的上顶点或下顶点时，△AP,Fz的面积取得最大值，最大值为S=号×2c×b=bc=V2, S √2 所以△AF1F2的内切圆的半径的最大值r=十=+2=V6-2,故D正确. 12.【答案】V5【解析】a=(1,0,2),万=(0,1,1)，∴.a-2b=(1,-2,0), 则a-2b=√1+4+0=V5,故答案为V5. 13.【答案】(-1u(1)【解析】固为方程+号=1表示描圆， 3-m>0 所以m+1>0,解得-1<m<3,且m≠1.所以m的取值范围是(-1,1)U(1,3). (3-m≠m+1 14.【答案】[-22,2√②] 【解析】动直线L1:x-y-√3λ=0即(x-V3-y=0过定点A,点A(3,0), 动直线l2:x+y+V3+21=0即(y+2)+x+V5=0过定点B,∴点B(-3,-2), 由题意可知L11l2,点P在以AB为直径的圆D上， 圆D方程为：(x-V3(x+V3)+yy+2)=0,即x2+y+1)2=4.圆心D(0,-1),半径r1=2 又因为P在圆C上，所以P是圆D与圆C的交点， 圆C:(x-a)2+y2=1,圆心C(a,0),半径r2=1, 所以r1-T2≤ICDl<r1+T2,即1<Va2+1<3,解得-2V2≤a<2√2，即a∈[-2WZ,2W②] 15.(1)证明：如图，连接AC,交BD于点0，则0为AC的中点..1分 连接0E,因为E是PC的中点，所以OE//PA,3分 又0EC平面BDE,PA￠平面BDE,.5分 所以PA/平面BDE.6分 (2)解：因为底面为菱形且CD=BD=2,故△BCD为等边三角形， 则S△BCD=2 X CD X BC X sin=√3，8分 由Vp-BDB=Vp-BcD-VE-BCD,且三棱锥P-BCD与三棱锥E-BCD底面积相同， 因为E是PC的中点，则三棱锥P-BCD的高是三棱锥E-BCD的高的二倍， 10分 故vp-08=Vp-gc0-Vg-a0-omho-co受-acn9-言×V3x导=号 2-3 .13分 第3页，共5页 16.解：①设和，交点为P,则，70o可得Pg,2 3分 (与3垂直，斜率k=2,.5分 则l方程为y-2=2(x-3),即2x-y-4=0: …7分 (2)①过原点，而过P点所以1方程为2x-3y=0, 9分 ②1不过原点，设1方程为-二=1， …10分 aa 由过P点，可得3-2=1，a=1, 12分 aa 所以l方程为X一y-1=0,…… 14分 综上，l方程为2x-3y=0或x-y-1=0. … 15分 17.解：(1)椭圆过点(2,0)，.a=2.… .1分 由e三=，得c三√3.b三d-C2三1.…3分 椭圆C的方程为十y2=1.…4分 (y=x+m (2)联立方程组 +=1，消去y得：5x+8x+40-1）=0. .6分 △=642-80(2-1)=16(5-2)>0(m∈(-V5,V5满足) 7分 x1x2=4m2-1) …8分 5 ABI=1+1)[()V2[6 16(m2-1)1 Ima…(2W-S）个，=(S+zuS-2u$)∬2t 点0(0,0)到直线y=x+m的距离正， 12分 waw-hau号g6两9v6时-m6西号l+6-m】=l 当且仅当m2=5-2即2=时，SA0AB取得最大值1.15分 18.解：(1)因为圆心C在直线2x-y-4=0上， 所以设圆心为C(a,2a-4④，半径为r(r>0),…。 …1分 所以圆C的方程为(X-Q)2十（y一2Q十4)2=T2,.2分 因为圆C经过点A(1,3)和B(2,2), 所侣8180= r=5, .4分 所以圆C的标准方程为(X一5)2十(y一6)2=25.5分 (2)当直线的斜率不存在时，方程为x=0,验证可知直线l与圆C相切…6分 第4页，共5页 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx十3，即kx一y+3=0,.7分 圆心C到直线的距离d-5=5,解得k=一是 .9分 Vk2+1 所以直线1的方程为y=-号x+3,即8x+15y-45=0. 10分 综上，直线的方程为x=0或8x+15y-45=0. .11分 (3)由(1)知圆心为C(5,6),半径为5， 则圆心与点（一1，一2）间的距离为√62十8Z=10.13分 (x+1)2+(y+2)2可以看作圆上任意一点P(x,y)与点(-1，-2)间的距离的平方，…15分 所以(X+1)2十(（y+2)2的最小值为(10-5)2=25..17分 e== (a=2 19.解：(1由题可得， 12a+2c=6, 解得： c=1 3分 a2=b2+c2 b=3 所以椭圆的方程为+号1： …4分 3 (2)因为c=1,所以F1F2引=2 设P(x,yp,则5Pr,R=FFel=x2yo=,所以ypl-, ..6分 孕+兽-1，所以x。=士尽， 所以P点的坐标为(3号)减(3，-号)或(-5，-号)或(-V3,号)：9分 (3)由题，设点M(x1,y1),N(x2,y2)y1≠0，y2卡0)， x=my+n 联立方程组 2+号=1’化简得3m2+y+6my+3m2-12三0，…-11 则4=36m2n2-4(3m2+4)(3n2-12)≥0，即3m2-n2+4≥0， 所以1+⅓罩器品 .13分 而A1(-2,0),A2(2,0),依题意n≠士2， 所以片+后=是+号号-2+2 y2 y1 y2 -6mn =2m+-习授=2m+0a-2习盟=2m+0a-2)婴-2m-917分 y10y2 3m2-12 3m2+4 第5页，共5页 2026年下学期高二期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知点 ， ，直线 的斜率为(     ) A. B. C. D. 2.已知圆 关于直线 对称，则实数 (     ) A. B. C. D. 3.圆的圆心到直线的距离为(     ) A. B. C. D. 4.已知椭圆的长轴长为，焦点是，，则椭圆方程为(     ) A. B. C. D. 5.已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D.，， 6.我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则(     ) A. B. C. D. 7.如图，在正方体中，点为的中点，，则与所成角的余弦值为(     ) A. B. C. D. 8.设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最小值为(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，则下列各组向量中能使 l ∥ α 的是（　　） A．a = (0, 0, 1)，n = (0, 1, 0) B．a = (1, −2, 1)，n = (−1, 2, −1) C．a = (1, 0, −1)，n = (1, 1, 1) D．a = (2, −1, 3)，n = (1, 3, 1) 10.已知直线：，：，则下列说法正确的有(     ) A. 若，则 B. 若，则直线，之间的距离为 C. 若1，则交于点 D. 若直线在两坐标轴的截距相等，则 11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点不同于左、右顶点，则下列说法正确的是(     ) A. 椭圆C的离心率为 B.当直线与轴垂直时， C. 的最大值为 D. 的内切圆的半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若则            ． 13.已知方程表示椭圆，则的取值范围是           ． 14.设，动直线：过定点，动直线：过定点，若点为与的交点，且点在圆上，则实数 的取值范围是        ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，为的中点． 证明：平面； 求三棱锥的体积． 16．本小题分 已知直线经过两直线：和：的交点 若直线与直线：垂直，求直线方程； 若直线在两坐标轴上的截距的和为，求直线的方程． 17．本小题分 已知椭圆 C: (a > b > 0) 过点 (2, 0)，且离心率为． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l: y = x + m 与椭圆 C 交于 A，B 两点，其中 m ∈ (−, )，求 AOB面积的最大值． 18.本小题分 已知圆经过点和，且圆心在直线2上． 求圆的标准方程 设直线经过点，且与圆相切，求直线的方程 设为圆上任意一点，求的最小值． 19.本小题分 已知椭圆，左右焦点分别为，，左右顶点为，，离心率为，点在椭圆上，． 求椭圆的标准方程； 若面积等于，求点的坐标； 若直线：与椭圆交于，两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于轴设直线和的斜率分别为，，用，表示． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $