广东广州市铁一中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

2026-2027学年第一学期期中试卷 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 2．直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，，，若，则，的夹角是（    ） A． B． C． D． 4．掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件“朝上的面的点数为奇数”，事件“朝上的面的点数为或”，则下列说法正确的是（     ） A． B．事件与事件相互独立 C． D．事件与事件为对立事件 5．已知函数，若对任意都有（为常数），则常数的一个取值为（ ） A． B． C． D． 6．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值不可能是（      ） A．-2 B．0 C．1 D．3 7．设，如果，且，则有（ ） A． B． C． D． 8．设点是曲线上任意一点，其坐标均满足，则取值范围为（ ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（　 　） A．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B．已知事件A，B相互独立， C．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是12 D．数据的方差为32，则数据的方差为64 10．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，是棱的中点，则（ ） A． B． C．在平面内的投影向量的长度为 D．在上的投影向量为 11．在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与直线有两个不同的交点，经过三点的圆记为圆.下列结论正确的是（     ） A．且 B．当时，为钝角 C．当圆的半径为时，圆的方程为： D．直线平分圆 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．复数的共轭复数为___________． 13．已知，，若使得，则实数的取值范围是______． 14．已知是椭圆的四个顶点与两个焦点中的三个点，且，，，则该椭圆的离心率为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（13分）高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于秒到秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）,…,第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）； （2）设，表示该班两个学生的百米测试成绩，已知 ，∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|﹣|＞2”的概率． 16.（15分）如图，在三棱锥中，平面，，分别是，的中点，，且三棱锥A-DEF的体积为 (1)若平面与平面的交线为，证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17.（15分）在平面直角坐标系中，已知圆及点和. (1)若斜率为1的直线过点，且与圆相交，截得的弦长为，求圆的半径； (2)若过点A作圆的切线，切点分别为M和N，且四边形AMCN的面积为，求圆的半径； (3)已知点在圆上，且，若点存在两个位置，求实数的取值范围. 18.（17分）在中，内角，，的对边分别为，，，若． (1)求的大小； (2)若，为线段上一点，且，，求； (3)若为锐角三角形，是的垂心，，求面积的最大值． 19.（17分）在平面直角坐标系中，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （1）求的最小值. （2）若， ①求证：直线过定点；并写出该定点坐标. ②点能否关于轴对称？若能，求出此时外接圆的方程；若不能，请说明理由. 高二数学试卷 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高二数学期中考参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A B B D A C AB BCD ACD 填空题 12. 13. 14. 解答题 15．（1）由频率分布直方图知众数落在第三组[15，16）内，众数是．-----------------------1分 ∵数据落在第一、二组的频率＝1×0.04+1×0.18＝0.22＜0.5，数据落在第一、二、三组的频率＝1×0.04+1×0.18+1×0.38＝0.6＞0.5，∴中位数一定落在第三组中，假设中位数是，则0.22+（﹣15）×0.38＝0.5， 解得＝，∴中位数是15.74；----------------------------------------------------------5分 （2）成绩在[13，14）的人数有50×0.04＝2人，成绩在[17，18）的人数有50×0.06＝3人，--------6分 因为，表示该班两个学生的百米测试成绩，且，∈[13，14）∪[17，18]，∴事件“|﹣|＞2”等价于其中一个学生的百米测试成绩在，另一个学生的百米测试成绩在内，----------------------------8分 记百米测试成绩在[13，14）内的两个人为，百米测试成绩在内的三个人为，则从这个学生中任取两个，有，，共种情况，----------10分 其中一个学生的百米测试成绩在，另一个学生的百米测试成绩在内的有种情况，--------------11分 所以事件“|﹣|＞2”概率为.------------------------------13分 16．(1)证明：因为，分别是，的中点，所以，   又因为平面，平面， 所以平面，又，所以，所以----------------5分 （2） 因为平面，，分别是，的中点，所以 所以BD⊥DC，-----------------------------------8分 由题意，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，---------------------10分 设平面的法向量为，则得 取，则，则，------------------12分 因为平面，所以为平面的一个法向量，-------------13分 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为.-----------------------15分 17．（1）圆化为，故，解得，所以圆心为， 直线的方程为，圆心到直线距离为， 由垂径定理得，解得.-------------------------5分 （2） 由（1）知C（2,0），A（-1,0），AM和AN为圆C的切线，所以AM=AN，CM⊥AM，CN⊥AN，设圆C半径为 ，则切线长， ，解得或.------------------------------10分 （3）点在以为直径的圆上，由于点和，故此圆方程为，从而圆与圆有两个交点，其中圆心距，只需满足，得，即，解------------15分 18．（1）因为，所以，即， 所以，即，所以，即， 因为，所以.-----------------------------------------5分 （2）因为，所以，两边平方得：， 整理化简得：，因为，所以，因为， 所以.----------------------------------------10分 （3）如图，延长与分别交于点，因为是垂心，所以， 又因为，所以，设，，则，在中，，因为， 所以，， ，， 即，， 即，所以          ，因为，即，所以，所以当时，有最大值.----------17分 19．(1) 设直线的方程为，由题设可得.由 ，得， 则，整理得.设，从而，故. 由于为线段的中点，因此，此时，所以直线的方程为. 又点在射线上，所以，即，所以，当且仅当时取等号. 又，整理得，从而.因此，当且时，取得最小值2.---------------7分 （2）① 因为，所以.又三点共线，且同号，所以，即， 由（1）知射线的方程为.由 ，得 由（1）知.所以，化简得， 从而直线的方程为，所以直线过定点.--------------------------------------------------------12分 ② 能，方程为，理由如下：由① 得. 若点关于轴对称，则，代入，整理得， 从而有 ，解得（舍去）或， 由，所以，此时点关于轴对称.又由（1）可得，所以. 由于三角形外接圆的圆心在轴上，可设三角形外接圆的圆心坐标为， 所以，解得，故外接圆的半径， 所以三角形外接圆的方程为.---------------------------------------------------------------17分 学科网（北京）股份有限公司 $