海南省文昌中学2026-2027学年高二上学期第二次段考数学试题

2026—2027学年度第一学期高二段考答案 数 学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A D D C B B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 题号 9 10 11 答案 ABC ACD BD 【部分选择题解析】 6．设这位同学答对三道题的事件分别为，，， 因为该同学答对三道题的概率分别是，，， 所以（A），（B），（C）， 则该同学竞赛成绩合格的概率 7．连接，则， 当最小时，最小，又圆的圆心为，半径为， 则，故的最小值为． 8．如图，在正四棱柱中，为的中点，，在3点钟时针所在的直线上，在5点钟时针所在的直线上，为的中点，，在3点钟时针所在的直线上，在5点钟时针所在的直线上，．设正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 所以点，，， . 设两条直线所成角为， 则，， ，， 所以． 10．对于选项A，；所以A正确； 若圆与圆相切时，有外切与内切两种情况，外切时，内切时6。 所以B不正确； 对于选项 C, 画图可得；所以C正确 当时两圆相交，两圆的方程作差可以得公共弦的直线方程为， 所以D为正确选项。 11．对于A，当时，可得，所以， 所以点在平面上，故A不正确； 对于B，平面，且若，且时， 点在线段上，到平面的距离为定值， 要使与面所成角最大，则的值最小，由题意， 故，直线与所成角最大，故正切值为，故B正确； 对于C，当时，点在平面内，的最小值即为点到平面的距离，由体积法求得到平面的距离为，故C不正确； 对于D，P在正方体表面上，P在面,面,面上分别只有一个点满足，，P在面上，轨迹是以，故轨迹长为，同理在其他两个面轨迹长也为，故总轨迹长为，故D正确。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．8 13．1 14． 【解析】 13．由原圆方程，可得其圆心为，半径, 设圆心关于直线的对称点为，根据轴对称性质列方程： 直线与对称轴垂直，对称轴斜率为，故，整理得 ①； 线段的中点在对称轴上，代入直线方程得， 整理得 ②；将①代入②解得，，即对称圆的圆心为，半径与原圆相等为.故所求对称圆的方程为1. 14． 设， 因为，且， 则， 整理得到， 即， 所以点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为. 因为，又，，所以， 四、解答题（本题共5小题，共77分。） 15．（1）不放回连续取两次的样本空间，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，， …………（2分） …………（3分） 记“两数之和为3的倍数”为事件，则事件，，，，， ，，. …………（5分） …………（6分） （2）设5个球记为，，，，，则有放回地取出两个的样本空间 ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， . …………（9分） 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，， ，，，，，，，， ， …………（12分） . …………（13分） 16．（1）已知， 由余弦定理得：， …………（2分） 所以， 化简可得：． …………（5分） 又，故． …………（7分） （2）， …………（8分） 由正弦定理，代入； …………（9分） 所以． …………（11分） 因为，…（13分） 所以． …………（15分） 17．（1）由圆心在轴上，设圆的标准方程为， ……（1分） 因为圆过、， 所以， …………（2分） 解得， …………（4分） 所以圆的标准方程为； …………（5分） 注：（用几何法只要写对也要给分，改卷老师定标准） （2） 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为， ①当直线的斜率不存在时， 直线：与圆的交点为， 此时，直线被圆截得的弦长为， 所以直线，满足题意；…………（7分） ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得， ……（9分） 则直线的方程为，即， ……（10分） 综上，直线的方程为或； （3） 由已知恒过点E. …………（11分） 且点E在圆内 ……（12分） 所以过E的直径为最长弦， 过E且垂直于该直径的弦为最短弦， 故. ……（13分） 即. ……（15分） 18．（1）证明：连接，交于点，连接，点是的中点，点是的中点，所以，平面，平面，所以平面 第（1）问用坐标法也给分。 …………（4分） （2）以为坐标原点，以，，所在直线为 坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，……（5分） 则，，， 所以， …………（6分） 设平面的法向量， 则，令，则，， 所以平面的法向量， …………（7分） 平面的一个法向量为， …………（8分） 设平面与平面夹角为， 则， …………（9分） 所以， …………（10分） 即平面与平面夹角的正弦值为. （3）由题，，，， 则，， 假设存在这样的点，设， ……（11分） 则， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， …………（13分） 整理得， 所以，解得或， …………（15分） 当时，；当时，， …………（17分） 故存在一点满足条件，线段的长为或. 19．（1）设，又P是线段的中点， ，即， …………（2分） 又点 A 在圆 上，， …………（3分） 即， …………（4分） 故圆C 的方程为. （2）曲线C 的圆心为点,由 已知四点共圆J, 方程为 ……（6分） 与曲线C 的方程为联立相减得 直线的方程 ……（8分） 故弦长 ……（9分） 到直线的距离 , …………（10分） （3） 取中点为点，则,由， …………（11分） ，即， 为的三等分点，设，则， …………（12分） 由勾股定理得：      ①       ② …………（13分） ①-②，得：，代入①式得：，， …………（14分） ，由对称性得，， …………（16分） 直线的方程为， 即或 …………（17分） 法二：由图形特征，直线斜率为0不符合题意， 设直线为：，点，， 由，为的三等分点，即， 直线方程与圆方程联立， 整理得：， …………（11分） ， …………（12分） 由韦达定理得：，，， …………（13分） ，，解得：， …………（16分） ，即或 …………（17分） (注，这个判别式法也可以消掉y留x，改卷老师酌情给分) 高二数学段考题参考答案 第1 页 （共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期高二段考试题 数 学 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效，试卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线，直线，若∥，则实数的值为（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 3．一直线经过点，且与直线垂直，则的方程为 （    ） A． B． C． D． 4．设是平面内的一个动点，，，点到，的距离之和为6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆：，直线与圆相交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知高二某同学去参加数学竞赛，竞赛一共三道题，每道题正确或错误的结果互不影响，该同学答对三道题的概率分别是. 若至少答对两道题即算竞赛成绩合格，则该同学竞赛成绩合格的概率为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．3 8．如图，钟楼是很多城市的标志性建筑，如图四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面(四棱柱镶嵌时钟的部分可以看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面对角线的交点处)．已知在下午3点整点时刻，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在下午5点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数大于5”记为事件C．下列说法正确的是（    ） A． B． C．A与C互斥 D． 10．已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．当时，则圆与圆的位置关系为外离 B．若圆与圆相切时，则 C．当时，一直线与圆和圆分别相切于两点（两点互异），则 D．当时，两圆公共弦所在直线方程为 11．在正方体中，，空间中的点P满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点P在平面上 B．若，且，则与面所成角最大值的正切值为 C．若，则的最小值为 D．若，且P在正方体表面上，则P的轨迹长度为 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．某旅游景区为调查游客满意度，按青年、中年、老年分层，通过分层随机抽样的方法，抽取样本，得到各年龄段占比如图所示．若样本中的老年人人数为10，则样本中的青年人人数为______． 13．与圆关于直线对称的圆的方程为___________． 14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，则点所在的曲线所对应的阿波罗尼斯圆方程为__________________，若点，则 的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。） 15.（本小题满分13分） 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． （1）若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； （2）若这5个球中红球标号为; 黄球标号为; 若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． （本题要求：①所有的可能要一一列举出来，②事件用字母表示） 16.（本小题满分15分） 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角； （2）若，，求边长c和的面积. 17.（本小题满分15分） 已知圆过、，且圆心在x轴上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程； （3）求直线与圆C相交所得弦长最小时a的值。 18.（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面， ，是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由． 19.（本小题满分17分） 已知线段AB的端点 B 的坐标是，端点 A 在圆上运动，P是线段AB的中点，记P点的轨迹为圆C.（圆心为C） （1）求圆C 的方程； （2）过点作与圆C的两条切线，分别切于点G, H，求的面积； （3）已知点，过点的直线与圆C交于M, N两点（M在N, Q之间），若，求直线MN的方程． ( 高二数学 第 2 页 （共4页） ) 学科网（北京）股份有限公司 $