精品解析：广东东莞市湖景、厚街实验联考2026-2027学年上学期九年级期中数学试卷

2026—2027学年九年级第一学期期中教学质量自查 数学试卷 说明：本试卷共120分，本次考试120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 若是方程的一个根，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】解：将代入方程， 得， 整理得， 解得． 2. 若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式将原方程配方为指定形式，即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 整理得 ， 对比，可得． 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先将原方程整理为一般形式，再计算判别式的值，根据判别式即可判断根的情况． 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式得 ． ∵ ， ∴ 该一元二次方程没有实数根． 4. 在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是（　 　） A. B. x（x﹣1）=90 C. D. x（x+1）=90 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解：设某一小组共有x个队，那么每个队要比赛的场数为x-1； 则共赛的场数可表示为x（x-1）=90． 故选B． 5. 将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，根据“左加右减，上加下减”的平移规则求解． 【详解】解：将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后， 所得图象的函数表达式是． 故选：C． 6. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点式 的性质，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性． 【详解】解：∵ 中，， ∴ 抛物线开口向上，A错误，不符合题意； 对称轴为 ，B错误，不符合题意； 顶点坐标为 ， C错误，不符合题意； ∵ ，开口向上， ∴ 当 时，随的增大而减小， ∴ D正确，符合题意． 故选：D． 7. 二次函数的图像上有两点和，则的值等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】A，B两点纵坐标均为0，说明，是方程的两个根，解方程得到两个根后，即可计算的值． 【详解】解：∵点和在二次函数的图像上， ∴，是方程的两个根， 对方程变形得， 解得，， ∴． 8. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）． A. B. 方程的两根是， C. 不等式的解集是 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向和与轴的交点得到，故选项错误；根据对称轴和一个与轴的交点可得另一个与轴的交点，即可得到选项正确；根据图象可得不等式的解集是或，当时，随的增大而增大，故、选项错误． 【详解】解：根据二次函数的图象和性质，逐一分析各选项， 选项：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∴，故选项错误； 选项：∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，即另一个交点坐标是， ∴方程的两根是，，故选项正确； 选项：∵由图象可知当或时，抛物线在轴的下方， ∴不等式的解集是或，故选项错误； 选项：由图象可知，当时，随的增大而增大，故选项错误． 9. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象过点 B. 函数图象位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质依次判断各选项即可． 【详解】解：A选项，将代入，得，函数图象不过点，A错误； B选项，， 函数图象位于第二、四象限，B错误； C选项，当时，随的增大而增大，C错误； D选项，当时，，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ，D正确 ． 10. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象与性质，进行分析即可． 【详解】解：当时，即，的函数图象位于第一、三象限，的函数图象开口向上，顶点坐标为，即顶点坐标在轴的负半轴上； 当时，即，的函数图象位于第二、四象限， 的函数图象开口向下，顶点坐标为，即顶点坐标在轴的正半轴上， 观察各选项，只有D选项的图象符合要求． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 一元二次方程的解为____________． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程移项整理为一边为0的形式，通过因式分解求解． 【详解】解：． ． ∴ 或 ． 解得，． 12. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 13 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若两个实数根为，则满足，.利用该关系得到与的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】∵m，n是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得：，， ∴． 13. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与轴交点问题．抛物线与轴有两个交点，即对应二次方程有两个不相等的实数根，判别式需大于零，再进一步求解即可． 【详解】解：∵抛物线 与轴有两个交点， ∴二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为： ． 14. 已知点都在抛物线上，那么、、的大小关系用“”连接是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴，结合开口方向，通过比较三个点到对称轴的距离大小，推导函数值的大小关系． 【详解】解：对于抛物线， 由对称轴公式可得对称轴为直线，且， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，且， ∴对应的函数值从小到大的关系为． 15. 如图，正方形的顶点分别在轴和轴上，点在反比例函数（）的图象上，若正方形的对角线的长为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形性质及勾股定理求出，得到点坐标，由题意将点代入反比例函数解析式即可得到答案． 【详解】解：在正方形中，，，，则由勾股定理可得，解得， ，则点， 点在反比例函数（）的图象上， ． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题8分，共24分．） 16. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】利用一元二次方程求根公式计算方程的解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ． 17. 已知函数是关于的二次函数． （1）求的值． （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2）这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项系数不为零，自变量次数最高为2次，据此解答即可； （2）将二次函数化为顶点式，求出对称轴和顶点坐标． 【小问1详解】 解：由题意，得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得二次函数解析式为：， 这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 18. 根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）都不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，． （1）求与之间的函数关系式． （2）若火焰的像高为，求此时的物距． 【答案】（1） （2）此时的物距为 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）把代入函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式． 把，代入，得， 关于的函数关系式为． 【小问2详解】 解：把代入，得． 答：此时的物距为． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（）与水平距离x之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据某市2023年初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】（1） （2）该男生在此项考试中不能得满分， 理由：令，则， 解得：，（舍去）， ， 该男生在此项考试中不能得满分． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键． （1）由顶点坐标设二次函数表达式为，由图（2）可得抛物线过点，由此即可求解； （2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 把代入解析式得：， 解得：， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 略 20. 如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）的面积为_____； （3）请直接写出不等式的解集为________． 【答案】（1）， （2）6 （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入求出反比例函数的解析式，可求出点A的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）求出点，根据解答即可； （3）直接观察图象，即可解答． 【小问1详解】 解：∵在函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． ∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∵经过，， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵C是直线与x轴的交点， ∴当时，， ∴点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由图可知当时，或． ∵可转化为， ∴不等式的解集为或． 21. 我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为 （2）当商品降价5元时，商品获利1950元． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：250件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：360件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量每件商品的利润1950列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意可得：， 解得：或（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当商品降价m元时，商品获利1950元， 根据题意可得：， 解得：（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商品获利1950元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 五、解答题（三）（本题共2小题，每小题12分，共24分．） 22. 如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． （1）用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． （2）连接，求使面积为时相应的t的值． （3）问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；； （2）当时， 的面积为 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据题意得出时，，当时，，当时，，当时，，即可求解； （2）分两种情况分析：当P在线段 上时，当P在延长线上时，作出相应图形，然后利用面积建立方程求解即可； （3）分两种情况分析：当平分时，当平分的外角时，利用角平分线的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理解三角形求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：∵， 动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是， ∴， ∴时，， 当时，， ∴ ∵P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发， ∴当时，， 当时，， ∴； 【小问2详解】 根据题意得：点 P在线段上时，;当点P在延长线上时，， 的面积 ， ①当P在线段 上时： ， 整理得： ， ， ∴方程无实数根； ②当P在延长线上时： ， 整理得：， 解得： ∵此时P在延长线上， ∴,即 舍去，符合题意； 答：当时， 的面积为； 【小问3详解】 存在， 当平分时，过点P作 于点D，如图所示： ∵平分 ， 在 中，， ， ∵， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 当平分的外角时，过点P作 于点D，如图所示： 同理得， ，， ， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 综上可得：或． 23. 如图1，已知抛物线的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图2，连接，P为直线下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点Q，求 的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，连接，，抛物线上是否存在一点M，使得？若存在，直接写出其中一个点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为， （3）存在，点M的坐标为 或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）先利用待定系数法得出直线的解析式为，再设，进而得出，，，进一步得出，最后根据二次函数的性质解答即可； （3）根据题意分两种情况讨论，当M点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于点M，进一步得出，此时使得，进而得到，利用待定系数法得出直线的解析式为，联立，即可得出；当M点位于下方时，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接，进一步得出，四边形为矩形，再利用矩形的性质得出，，进而得到，此时，则点E即为点M． 【小问1详解】 解：根据题意，将，代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：将代入得，， 解得：，， ∴． 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 故设， 又∵轴， ∴， ∴ ，． ∵P在直线下方， ∴， ∴ ， ∴， ∴当时， 的值最大，最大值为， 此时， 即． 【小问3详解】 解：存在， ①如图，当M点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于点M， ∵，，， ，， 又， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴此时使得． ∵， ∴， ∵， 故设直线的解析式为， ∴将，代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 故联立， 解得：或， 当时，， ∴ ； ②如图，当M点位于下方时，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接， ． 由（2）知，，． ∵， ∴当时， ， 解得：或， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，． ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 则点E即为点M， ∴； 综上所述，使得，M点的坐标为 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年九年级第一学期期中教学质量自查 数学试卷 说明：本试卷共120分，本次考试120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 若是方程的一个根，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 2. 若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是（　 　） A. B. x（x﹣1）=90 C. D. x（x+1）=90 5. 将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x的增大而减小 7. 二次函数的图像上有两点和，则的值等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 8. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）． A. B. 方程的两根是， C. 不等式的解集是 D. 当时，随的增大而减小 9. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象过点 B. 函数图象位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 10. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 一元二次方程的解为____________． 12. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 13. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为______． 14. 已知点都在抛物线上，那么、、的大小关系用“”连接是_____________． 15. 如图，正方形的顶点分别在轴和轴上，点在反比例函数（）的图象上，若正方形的对角线的长为，则的值为_______． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题8分，共24分．） 16. 解方程：． 17. 已知函数是关于的二次函数． （1）求的值． （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18. 根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）都不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，． （1）求与之间的函数关系式． （2）若火焰的像高为，求此时的物距． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（）与水平距离x之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据某市2023年初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 20. 如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）的面积为_____； （3）请直接写出不等式的解集为________． 21. 我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？ 五、解答题（三）（本题共2小题，每小题12分，共24分．） 22. 如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． （1）用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． （2）连接，求使面积为时相应的t的值． （3）问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 23. 如图1，已知抛物线的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图2，连接，P为直线下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点Q，求 的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，连接，，抛物线上是否存在一点M，使得？若存在，直接写出其中一个点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $