精品解析：江苏省南京市江宁区联盟校2026-2027学年高三上学期11月期中学情调研数学试题

2027届高三第一学期期中学情调研 数学试题 2026.11 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有1个选项最符合题意. 1. 若复数，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 50 2. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 3. 曲线在点处的切线方程（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，，，则当取到最大值时，（ ） A. B. C. D. 5. 已知四边形是圆台的轴截面，其中，，则从点沿圆台侧面到达点的最短路径的长为（ ） A. B. C. D. 6. 设曲线与曲线在点处的切线分别为，，在直线与相交所形成的四个角中，记其中较小的角为，则（ ） A. B. C. D. 7. 中国数学家、菲尔兹奖获得者邓煜曾对玻尔兹曼熵进行深入研究，在一定条件下，系统的熵随时间的变化规律为，其中为平衡态熵，为初始熵，为分子碰撞频率，为自然对数的底数．设，当增大时，系统的熵（ ） A. 减小，且减速越来越慢 B. 减小，且减速越来越快 C. 增大，且增速越来越快 D. 增大，且增速越来越慢 8. 如图，，，是曲线与的三个相邻的交点．若的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有不止1个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 为调研某校高一年级800名学生的物理期末考试成绩，随机抽取100名学生作为样本，绘制出频率分布直方图，如图所示，则（ ） A. B. 样本成绩的众数估计值为75 C. 样本成绩的中位数估计值为70 D. 该校高一物理期末成绩不低于80分的学生约有280人 10. 已知函数，，则（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 在上单调递减 C. 的最大值为 D. 在上有唯一零点 11. 若存在实数和，使得对，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，的最小值为 D. 当时，的最小值为 三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量，，满足，则________． 13. 若是函数的极值点，则________． 14. 已知，为平面直角坐标系中两定点，为动直线上的一点，且满足对于任意点，，记点形成的轨迹为曲线，若圆心在轴上的圆与曲线有且仅有三个公共点，则该圆的半径为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 在中，，，，延长至点，连接． （1）求的长； （2）若，求的长． 16. 如图，在直三棱柱中，，D为的中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）若，，求点到平面的距离． 17. 现有2个红球，3个白球，另有2个红盒子，3个白盒子，这5个盒子排成一列，现将这5个球随机放入这5个盒子中，每个盒子放入1个球． （1）求2个红球放入不相邻盒子的概率； （2）设随机变量X表示落入红盒子中的红球个数． （ⅰ）求X的分布列； （ⅱ）在事件发生的条件下，求5个球中恰有1个球颜色和盒子颜色匹配的概率（球的颜色与盒子颜色相同称为匹配）． 18. 已知椭圆的左右顶点为A，B，，离心率为，P为C上一动点（与A，B不重合），直线与直线交于点M． （1）求椭圆C的方程； （2）过点M作的垂线交于点G，记，的面积为，． （ⅰ）判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （ⅱ）求的最小值． 19. 已知函数在其定义域上是增函数． （1）若满足，且时，求满足条件的的个数． （2）若满足（常数，且），求随机变量的数学期望； （3）若满足，，且，，，令，求证：在上不是增函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三第一学期期中学情调研 数学试题 2026.11 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有1个选项最符合题意. 1. 若复数，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 50 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的运算律即可代入求解. 【详解】由已知， 又，， 则，故. 3. 曲线在点处的切线方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，得到切线斜率，再根据点斜式写方程即可. 【详解】因为，则，所以切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 4. 已知等差数列的前项和为，，，则当取到最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求和，然后代入等差数列的前项和公式，转化为二次函数问题求解即可． 【详解】设数列的公差为， 因为， 所以， 所以，又， 所以，故 所以， 所以当时，取得最大值. 5. 已知四边形是圆台的轴截面，其中，，则从点沿圆台侧面到达点的最短路径的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆台侧面补成圆锥侧面，根据圆台上下底面周长与展开后扇形弧长的比例关系求出母线长，从而求展开图的圆心角，再确定展开图中两点位置，利用余弦定理计算最短距离. 【详解】四边形ABCD是圆台轴截面，因此下底AB是下底面直径，上底CD是上底面直径， 则有下底面半径，上底面半径，母线长， 设补得的小圆锥母线长为，根据圆台上下底面周长与展开后扇形弧长的比例关系： ，解得， 即补成的大圆锥母线长为. 下底面周长等于大圆锥对应展开扇形的弧长：， 代入得，因此. 轴截面中 、 在圆台上相差半周，对应展开图中两点与补成的小圆锥顶点的连线夹角为圆心角的一半：. 在展开的扇形中， 点到小圆锥顶点距离为6， 点到小圆锥顶点距离为3， 由余弦定理：. 从点沿圆台侧面到达点的最短路径的长为. 6. 设曲线与曲线在点处的切线分别为，，在直线与相交所形成的四个角中，记其中较小的角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用导数求出切线的斜率，再通过两直线的夹角的正切公式求出 【详解】对曲线求导得，，曲线求导得，， 所以在点处的切线的斜率，切线的斜率， 两直线的夹角的正切值，又夹角为较小的角， 所以，结合， 解得. 7. 中国数学家、菲尔兹奖获得者邓煜曾对玻尔兹曼熵进行深入研究，在一定条件下，系统的熵随时间的变化规律为，其中为平衡态熵，为初始熵，为分子碰撞频率，为自然对数的底数．设，当增大时，系统的熵（ ） A. 减小，且减速越来越慢 B. 减小，且减速越来越快 C. 增大，且增速越来越快 D. 增大，且增速越来越慢 【答案】D 【解析】 【详解】， 由题，，， ，指数函数是增函数，且，故恒成立， 即，函数单调递增； 又随着增大而减小，故随着增大而减小，即函数的图象切线斜率越来越小，即增速越来越慢. 8. 如图，，，是曲线与的三个相邻的交点．若的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用和差化积求出两曲线交点横坐标，得到三个相邻交点，算出三角形底边长；再求出交点纵坐标之差作为三角形的高，结合面积公式建立关于的方程，即可求解. 【详解】根据题意，，则，即. 若，则两曲线完全重合，不满足题意，因此只有，所以，解得. 三个相邻交点，，对应的坐标依次取连续整数，，，则，，， 所以三角形底边的长度. 把，代入，得，， 则三角形的高. 又，即，即， 所以，解得，所以的最小值为. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有不止1个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 为调研某校高一年级800名学生的物理期末考试成绩，随机抽取100名学生作为样本，绘制出频率分布直方图，如图所示，则（ ） A. B. 样本成绩的众数估计值为75 C. 样本成绩的中位数估计值为70 D. 该校高一物理期末成绩不低于80分的学生约有280人 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A选项，频率分布直方图的所有矩形的面积之和为1，组距为10， 则， 解得，故A正确； 对于B选项，最高矩形的底边中点为众数估计值，最高矩形的底边中点为，故B正确； 对于C选项，；，； ，；，， 所以中位数落在第4组，中位数为，故C错误； 对于D选项，高一物理期末成绩不低于80分，包括第5组和第6组，两组的频率之和为， ，总人数为800人，则， 所以该校高一物理期末成绩不低于80分的学生约有280人，故D正确. 10. 已知函数，，则（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 在上单调递减 C. 的最大值为 D. 在上有唯一零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A、验证，判定为奇函数； 选项B、先对函数求导，再判断函数在定义域内的单调性，即可判断B选项； 选项C、比较极大值与端点函数值，即可得到的最大值； 选项D、利用奇函数的对称性和函数的单调性，判断在上仅有一个零点 【详解】选项A、已知函数，， 因为， 所以是奇函数，图象关于原点对称，选项A正确； 选项B、对求导：， 令，解得， ， ， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减． 因此在上不是单调递减函数，选项B错误； 选项C、由B的分析可知，在上递减，在上递增，在上递减， 因此函数在处取得极大值：， 因为， ， 所以的最大值为，选项C正确； 选项D、因为是奇函数，显然， 当时，单调递增，， 当时，单调递减，， 因此当时， 由奇函数对称性，时， 因此函数在上有唯一零点，选项D正确． 11. 若存在实数和，使得对，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，的最小值为 D. 当时，的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】方法一：设，取最接近的整数，则，结合上述结论，寻找靠近最高点的整数倍角，再结合正弦函数的值域判断各选项.方法二：利用单位圆等分点与抽屉原理判断各选项. 【详解】方法一：寻找靠近最高点的整数倍角 先证一个简单结论：设，取最接近的整数，则. 注：相邻整数的距离为 1，任意实数到某个整数的距离不超过，因而上述整数一定存在，不要求与的比值为有理数. A项：，且，故，A正确. B项：当时，由上述结论，存在整数，使. 故时不可能有，B错误. C项：当时，正弦值循环取，故. 取，所有正弦值均为，故的最小值为，C正确. D项：记，则. 若，则存在整数，使，矛盾. 若，令，则，且对任意整数，. 取最接近的整数，得，矛盾，故. 当时，所有正弦值循环取，均不超过，因而的最小值为，D正确. 方法二：单位圆等分点与抽屉原理 将对应到单位圆上，正弦值就是相应点的纵坐标. A项：单位圆上任一点的纵坐标均不小于，故，A正确. B项：时得到正六边形的六个顶点.相邻顶点的圆心角为，最高点到某个顶点的圆心角不超过， 故至少一个顶点的纵坐标不小于，B错误. C项：时得到正方形的四个顶点.最高点到某个顶点的圆心角不超过，故最大纵坐标不小于. 取时四个顶点的纵坐标均为，等号成立，C正确. D项：仍记，先分清圆上出现的点的个数. 若，其中为互质正整数，则恰有个不同的点. 当时，这些点等分单位圆，必有一个点到最高点的圆心角不超过，其纵坐标不小于，不符合题意. 注：当取时，除以的余数互不相同，因而恰为.这说明所得点确为单位圆的 q 等分点. 若为无理数，则前五个点互不相同.将单位圆按四个象限分成四段，每段包括起点而不包括终点. 由抽屉原理，其中两个点落在同一段，它们的角度差可写成.其中为整数且. 因而所有角对应的点，也都在原来得到的点中. 取最接近的整数，则，仍不符合题意. 故只能有，且，从而. 取，圆上三点为，最大纵坐标为.因而最小值为，D正确. 三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量，，满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由向量的数量积的运算性质计算可得. 【详解】因为单位向量，，满足，所以， 因此，因为， 所以，即. 13. 若是函数的极值点，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】求导，由极值点导数等于0列式求解，再代入的值进行检验. 【详解】对求导得：. 因为是极值点，则，所以. 验证：当时，，求导：. 当时，，，所以，即 ，此时单调递减； 当时， ，，所以，即，此时单调递增. 所以是极小值点. 14. 已知，为平面直角坐标系中两定点，为动直线上的一点，且满足对于任意点，，记点形成的轨迹为曲线，若圆心在轴上的圆与曲线有且仅有三个公共点，则该圆的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】分，和三种情况，得到的轨迹，结合对称性，联立圆和的轨迹方程，得到答案 【详解】设，当时，显然当在线段上时，最大， 当时，如图所示，， ， 故， 显然为锐角，求的最大值，即求的最大值， 固定，即求的最大值， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 设，则的轨迹方程为，即， 同理当时，的轨迹方程为， 综上，的轨迹为双曲线（或）和线段， 如图所示， 要想圆心在轴上的圆与曲线有且仅有三个公共点， 由对称性可知，此圆与线段相切，且与的两支相切， 设圆的方程为， 联立方程，消去可得， 则，解得， 则该圆的半径为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 在中，，，，延长至点，连接． （1）求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）由面积公式，求得，再使用余弦定理求得； （2）在中，利用正弦定理，求得，，最后在中求. 【小问1详解】 在中，，，， 由得 ， 根据余弦定理得 ． 【小问2详解】 由（1）得 ，在中，， 即，由于， 所以为锐角，故，， 又因为，得， 在中， 由正弦定理可知． 16. 如图，在直三棱柱中，，D为的中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）若，，求点到平面的距离． 【答案】（1）取中点，连接， 因为是中点，所以，且， 又因为是中点，所以，且， 所以，且，所以四边形是平行四边形，所以 又平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）证明线面平行要先证明线线平行，作出辅助线证明线线平行即可； （2）法一：作出辅助线，利用等体积法进行求解；法二：建立适当的空间直角坐标系，利用点到面的公式进行求解。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题意平面平面，平面平面， 又平面，所以平面， 由（1）得，所以平面． 作交于点，则，因为， 所以平面，故即为所求点到平面的距离， 在中，，， 利用等面积法，． 即点到平面的距离为． 法二：建立以为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，则 ，，， 所以， 设平面的一个法向量是，则， 即，取，则，， 所以 又因为 所以， 即点到平面的距离为． 17. 现有2个红球，3个白球，另有2个红盒子，3个白盒子，这5个盒子排成一列，现将这5个球随机放入这5个盒子中，每个盒子放入1个球． （1）求2个红球放入不相邻盒子的概率； （2）设随机变量X表示落入红盒子中的红球个数． （ⅰ）求X的分布列； （ⅱ）在事件发生的条件下，求5个球中恰有1个球颜色和盒子颜色匹配的概率（球的颜色与盒子颜色相同称为匹配）． 【答案】（1） （2）（ⅰ） X 0 1 2 P （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）法一：仅考虑红球的放置位置求红球不相邻的情况可采用插空法：先放置3个白球，形成4个可放红球的空隙，从中选2个空隙放红球，共种情况，二者比值即为所求概率. 法二：以5个球的全排列为总样本空间，共种情况. 红球不相邻时，先对3个白球全排列，再将2个红球插入白球形成的4个空隙中排列，共种情况，二者比值即为所求概率. （2）（i）表示落入红盒的红球个数，可能取值为0,1,2，属于超几何分布模型，分别计算对应取值的概率即可得到分布列. （ii）属于条件概率问题，先计算事件的概率，再分析得仅当时满足“恰1个球颜色与盒子颜色匹配”，即，代入条件概率公式计算即可. 【小问1详解】 法一：只需考虑2个红球的位置，． 法二：考虑5个球的排列， 【小问2详解】 （ⅰ）X的可能取值为0，1，2． ， X 0 1 2 P （ⅱ）设事件A：，事件B：恰有1个球颜色与盒子颜色匹配． ，两个红盒中的球为一红一白，剩余1红2白放入3个白盒，总匹配数为3，不合题意； ，两个红盒中的球为两白，剩余2红1白放入3个白盒，总匹配数为1，符合题意； ，，所以 18. 已知椭圆的左右顶点为A，B，，离心率为，P为C上一动点（与A，B不重合），直线与直线交于点M． （1）求椭圆C的方程； （2）过点M作的垂线交于点G，记，的面积为，． （ⅰ）判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （ⅱ）求的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）是定值，，理由如下： 法一：设，，，直线， 令，得，则，且， 因为，所以，直线， 点A到直线的距离， 点B到直线的距离， 所以，得； 法二：设，，，直线， 令，得，则，且， 因为，所以，直线， 直线与x轴交点H，令，， 所以，，则 （、分别表示到的距离）； 法三：，又，可得， 设直线与x轴交点为，，，即， 所以，， 则（、分别表示到的距离）； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长、离心率求椭圆参数，即可得； （2）（i）法一、二：设，直线，从而求出直线，再求到的距离或，，结合三角形面积公式求比例；法三：设直线与x轴交点为，利用，，求得，结合斜率两点式求得，最后由即可得； （ii）由，，结合及基本不等式求最大值，再由同角三角函数关系求最大值即可. 【小问1详解】 由题意，即，且，得， 所以，则椭圆方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由，，， 即， 设，即， 当且仅当时取等号，此时， 所以最小值． 19. 已知函数在其定义域上是增函数． （1）若满足，且时，求满足条件的的个数． （2）若满足（常数，且），求随机变量的数学期望； （3）若满足，，且，，，令，求证：在上不是增函数． 【答案】（1）10 （2） （3）证明：假设在上是增函数， 因为，且为单调递增函数，设，故， 由假设， 由，，，…，， 累乘可得：， 又 ， 因此对于且恒成立， 对两边取对数，得，化简可得：（*） 下证：，令， 则， 所以当时，单调递减， 所以，所以，结合（*）得， 解得：，即且时（*）式不成立，产生矛盾， 所以假设不成立，故在上不是增函数． 【解析】 【分析】（1）由题设结合组合公式求解即可； （2）由题意可得，，进而结合组合公式可得，再根据数学期望公式、组合数性质求解即可； （3）利用反证法先假设在上是增函数，结合累乘法分析可得，再利用导数证明，可得，进而得到，得出矛盾即可求证. 【小问1详解】 因为函数是增函数，所以满足条件的函数的个数为. 【小问2详解】 由题意，其中， 则， 所以 ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $