河南南阳市2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

2026年秋期期中质量评估检测 九年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1．的值等于 A． B． C． D． 2．若一元二次方程的二次项系数是3，则它的常数项是 A．-2 B．2 C．-1 D．1 3．下列各组图形中，不一定相似的是 A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰直角三角形 4．下列能和合并的二次根式是 A． B． C． D． 5．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是 A．3 B．-3 C．4 D．5 6．若是方程的一个根，则的值是 A．1 B． C． D． 7．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、，，，．则的长为 A．3 B． C． D． 8．如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，则图中的锐角的余弦值为 A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线、交于点，，．将矩形向右平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为 A． B． C． D． 10．我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，其底边与腰长之比等于“黄金比”．如图，中，，，看作第1个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第2个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第3个黄金三角形，…，以此类推，第2026个黄金三角形的底边长是 A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如果，那么__________． 12．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为__________． 13．若是整数，则的值可以是__________．（写出一个即可） 14．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理．如图甲是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙，动力臂，阻力臂，，则的长度是__________． 15．已知中，，，．将绕点旋转至，当直线直线于点时，线段的长为__________． 三、解答题（共75分） 16．（10分）（1）计算：； （2）解方程：． 17．（9分）设方程的两个根为，，求下列各式的值： （1）； （2）． 18．（9分）如图，在中，，，点在边上，，且． （1）求线段的长； （2）求的值． 19．（9分）今年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店今年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）已知该商店今年7月份的营业额为350万元，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店今年8、9月份营业额的月平均增长率． 20．（9分）【阅读理解】 化归，不仅是一种重要的解题方法，也是一种基本、有效的数学思维方式．解方程（组）时运用化归思想，通过“换元”、“消元”、“开方”、“乘方”、“因式分解”、“去分母”等代数变形，可以把复杂的（多元、高次、分式、根式等）方程转化为最简单的一元一次方程来解决．例如解方程，关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能有违方程同解原理，所以要对结果检验．过程如下： 解：两边平方得：， 解得：，， 经检验，是原方程的根，代入原方程中不合理． 原方程的根是． 【解决问题】 （1）已知关于的方程有一个根是，那么的值为__________； （2）方程的解是__________，__________，__________； （3）某中学原有一块面积为的长方形场地，调整校园布局时，将场地的一边增加了，另一边减少了，结果这块场地的面积增加了10%．求现在场地的长和宽？ 21．（9分）项目学习——测量学校旗杆的高度 项目主题：数学综合实践小组利用所学知识测量学校旗杆的高度． 分析探究：旗杆的高度不能直接测量，需要借助一些工具，比如小镜子，标杆，皮尺，小木棒，自制的直角三角形硬纸板等，确定方案后，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出旗杆的高度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案及测量数据： 方案一 方案二 测量工具 标杆，皮尺 木棒，皮尺 测量方案 小丽在处站立，前方竖立一根标杆，她的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端在一条直线上．，，，点、、在同一直线上． 小颖（）拿着一根木棒站在旗杆前方，把手臂向前伸并使木棒，观察到木棒两端恰好遮住旗杆（即、、在一条直线上，、、在一条直线上）． 测量示意图 测量数据 ，，，， ，，点到木棒的距离为 … … 请你继续完善上述成果展示： （1）选择其中的一个方案求旗杆的高度； （2）写一条在这次活动中的收获或反思或困惑． 22．（10分）已知两个实数、，定义：，，． （1）当，时，__________，__________，__________； （2）小聪发现：可以结合乘法公式和勾股定理的学习经验，构造几何图形，用面积表示这三个正数的平方：如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图①中阴影部分的面积可以表示． 那么图②、图③中的阴影面积可以表示的是图形__________；（填数字） （3）小明发现：可以通过构造代数恒等式或不等式来比较这三个数的大小． 例如，比较与时，他作了如下推导： ，． 展开得，即， 两边除以2，得， ，，且随的增大而增大， ． 请你先判断出与、与的大小关系，然后模仿小明的代数推导方法，对其中的一个大小关系给出推导过程． 23．（10分）如图，在中，，于点，点在的延长线上，，连接交的延长线于点，已知，． （1）直接写出的长； （2）求证：； （3）连接，求与的面积比． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋期期中质量评估检测 九年级数学参考答案 -、1~10 DAADB ACCDB 8道教材题源备注：1.第126页例题+练习；2.第19页练习： 3.第69页第1题，72页第1题，111页第6题： 4.第10页概念5.第51页第2题，33页练习2： 6.第52页12题；7.第64页第2题： 10.第89页练习1，第59页阅读. 5 二、11.2；12.1：13.0（答案不唯一，m可以为0、7、12、15、16等无数个）； 14.60:15.3或21. 2道教材题源备注：11.第58页练习3：13.第2,3页概括. 三、 16.(1)(教材11页例3) 解：原武(5+25+(-25+1 3分 =3+2W3+3-2W3+1 =7」 5分 (2)(教材39页4(8)) 解：移项得（2x+1)-2(2x+1)=0」 因式分解得(2x+1)(2x-1)=0 3分 .2x+1=0或2x-1=0, 4分 = 解得 2= .5分 【说明】本题解法不唯一，其它方法正确的参照评分. 17.(教材53页18题，第2问有改编) 3 +x2= 解：由根与系数的关系，得 2.x1·x3=-2 .2分 3 1+1-+五=2-3 (1)x2xx2-24 行5分 (2)(G-25-2)=xx,-2(+x)+4 =2-2x}4=5 9分 18.解：(1)在Rt△ACD中，∠C=90°， tan∠CAD=CD AC. CD=4Cam30°=5x5=l 3 2分 在Rt△4BC中，∠C=90°，∠B=45°，可得BC=AC=V5, ..BD=BC-CD=3-1 4分 AD=AC cos30° =2 (2)在Rt△ACD中， 2 .6分 过点D作DE⊥AB于点E,在Rt△BDE中，∠B=45°， 0E=0如8--小9-69 8分 6-√2 sin∠BAD=DE 2 6-√2 在Rt△ADE中， AD 2 4 9分 19.(教材第43页问题4,46页习题2，改编) 解：(1)450+450×12%=504（万元）. 答：该商店今年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元.3分 (2)设该商店今年8、9月份营业额的月增长率为x, 依题意，得 ,350(1+x)=504 .6分 解得：名=0.2=20%，名=-2.2（不合题意，舍去）.8分 答：该商店今年8、9月份营业额的月增长率为20%. 9分 20.(教材48页数学活动) 解：(1)2；… 1分 （2）0,2,4店4分 (3)解法一：设现在场地的一边长xm,则另一边为ym xy=1500×(1+10%),① 根据题意得 (x+5)y-5)=1500,② .6分 将方程②左边展开并把方程O代入整理得-y=25,③ 由③得y=x-25代入方程①代入整理得，x2-25x-1650=0. 解得5=-30（合去），名=55 由x=55,得y=x-25=30 经检验符合题意， .8分 答：现在场地的长55m,宽30m 9分 1500×(1+10%)1650 m 解法二：设现在场地的一边长xm，则另一边为 根据题意得 +5)60-510 6分 化简整理得x2-25x-1650=0.解得X=-30(含去)，名=55】 经检验=5是原方程的根且符合题意。 1650=30 由x=55,得x 8分 答：现在场地的长55m,宽30m. ,9 【说明】本题解法不唯一，其它方法（如间接设元等），正确的参照评分. 21.(教材90页第6题，112页第18题，改编) 解：(1)若选择方案一：如图：过点EH⊥AB,垂足为H,交CD于点G, 由题意得：EH⊥CD,EF=DG=BH=1.5m,FD=EG=1.5m, EH=BF=FD+DB=1.5+30=31.5(m) .CG=CD-DG=2-1.5=0.5(m) .3分 ∠CGE=∠AHE=90°， :∠CEG=∠AEH,.△CEG△AEH, CGEG0.51.5 AH EH,AH 31.5,.AH =10.5, ∴.AB=AH+BH=10.5+1.5=12(m) …7分 答：旗杆的高度AB为12m: 8分 A E H F D B 若选择方案二 如图：过点M作MH⊥AB于点H,交KP于点G, 则∠AHM=90°， KP∥AB.∴.∠KGM=∠AHM=90°，.MH⊥KP, 由题意得：KP=16cm=0.16m,MG=40cm=0.4m,MH=30m,…3分 .KPIAB..△MKP∽△MAB, KP MG 0.160.4 ABMH,即AB30,∴.AB=12 .7分 答：旗杆的高度AB为12m 8分 A K M. H B (2)在利用阳光下的影子测量时，如果没有太阳光，会影响测量；测量数据不准确，在测量过程中为了 减小误差，可以多次测量取平均值等作为最后的测量结果；在项目学习中感受到了数学与生活的联系等 （答案不唯一，表述合理即可).9分 22.解：(1)5,3，V41, 3分 (2)③： 6分 (3）P>M,M>W.7分 选择证明P>M a>b>0.∴(a-b)>0 展开得，a2+b2-2ab>0, 移项得，a2+b2>2ab, 两边同时加上a2+b2,得，2a2+2b2>a2+2ab+b2 a2+b2、(a+b 两边同时除以4，得， 2 2 a2+b2 20 .p=20M÷+b ,且y=Vx随x的增大而增大， ∴.P>M 10分 选择证明M>N :a>b>0.(a-b)2>0 展开得a2+b2-2ab>0,即a2+b2>2ab, 两边同时加上2ab,得，a2+b2+2ab>4ab,即(a+b}>4ab a+b)2 >ab 两边除以4，得2 :M=a+b、 2>0,N=b>0,且y=随x的增大面增大， ∴.M>N … 10分 23.解：(1)4： .2分 (2)证法1：∠ACB=90°，CD L AB, ·∠CDB=∠ACB=90°， 在Rt△DBC中， CoS∠DBC=BD CB. cOS∠ABC= CB 在Rt△ACB中， AB, BD CB ................ .CB2=BDBA. BE=3CBBE2=9CB2,BE2=9BD.BA D E B 证法2：：∠ACB=90°，CD⊥AB, .∠CDB=∠ACB=90°， ∴.∠BCD=90°-∠CBA=∠CAB. LCBD=LABC,.△CBD∽△ABC,4分 BC BD BABC,即CB2=BD·BA, BE=3CB,∴BE2=9CB2,BE2=9BD·BA. 5分 (3)解法1：由(1)知AD=4, .∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴在Rt△ADC和Rt△ACB中， CB=AC×tan∠CAB=ACx tan∠CAD=ACx CD=2N5x2-N5 AD 4 ..BE=3CB=35,.CE=CB+BE=45 .7分 ·ian∠AEc=4C=25_1 CE4W52tan∠CAD .∠AEC=∠CAD. A F D B E 由(2)知∠BCD=∠CAD .∠BCD=∠AEC,∴FC=FE, .∠ECA=90°， .∠BCD+∠FCA=∠CEA+∠FAC=90°， ∴∠FCA=∠FAC,∴.FA=FC, ∴.FE=FA, .∠ECA=90°， xC-25)(4J5)-5 ∴.DF=CF-CD=3 9分 设Sacm=S(可求得S=1),BE=3CB,SADE=3S, ∴.S△DCE=SACBD+SADER=4S :CD-?延-CD= DF 3. SADEF DF3」 SADEE=6S=2 SADEF =6S,SADER 3S 即△DEF与△DEB的面积比为2.10分 解法2：由(2)知∠BCD=∠CAB. :CD⊥AB,∴.∠CDB=∠ADC=90°，.△CDB△ADC, CD-DB=CB 2-DB=CB AD DC AC.4 2 25 BD=1,CB=5,BE=3CB=3/5 .CE=CB+BE=4√5 7分 B .CB×CE=V5×45=20.÷4C2=(2W5=20 CB AC :.AC?CBxCE,AC-CE, 又∠BCA=∠ACE,∴△BCA∽△ACE, ∠CAB=∠CEA, ∠BCD=∠CAB,∴∠BCD=∠CEA,∴.FC=FE, :∠ECA=90°，.∠BCD+∠FCA=∠CEA+∠FAC=90°， ∠FCA=∠FAC,.FA=FC, .FE FA, :∠ECA=90°， Fc=号=xac2+cE=25+45可-5 2 2 DF=Cf-CD=3,9分 设Sco=S(可求得S=1),:BE=3CB,SADER=3S, SADCE SACBD+SADEB =4S CD=2 SADCE=CD=2 S22E=6S=2 DF 3. SADEF DF 3 SADEF =6S SADEB 3S 即△DEF与△DEB的面积比为2.10分 解法3：设SacD=S(可求得S=1),:BE=3CB,SA=3S, .6分 .S△DCE=S△cBD+SADER=4S」 AD=4,BD=1,SADCA=4SACBD =4S 小ADC4小△DCE7分 1 ∴点A、E到直线CD的距离相等， SADEA SADFE=2 S△aC4=S△cBD+S△DCA=5S,BE=3CB..SAREA=3 SARCA=15S 8分 :AD=4BD,.S△ADE=4 SADER=12S.∴.SADFE=6S 9分 SADEE=6S=2 SADEB 3S l0分 【说明】本题解法不唯一，其它方法如建系、辅助线等，正确的参照评分