精品解析：江苏扬州市新华中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

扬州市新华中学 2026—2027 学年度第一学期 高二年级数学期中考试试卷 满分：150 分；考试时间：120 分钟 一、单项选择题（本题共 8 小题，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角 【详解】设直线的倾斜角是. 直线斜率为， 又， 故选：D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据复数四则运算法则进行求解即可. 【详解】，由此可得：的虚部为. 3. 若两直线平行，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出. 【详解】由题意得且， 解得. 故选：B 4. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线准线方程定义求解即可． 【详解】抛物线的准线方程为，焦点在轴上，，即，， 准线方程是． 故选：A. 5. 已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程，即可确定参数的范围. 【详解】由方程表示的曲线是椭圆，则且， 故选：D 6. 已知圆关于直线对称，则圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先由圆的一般式得到圆心坐标，再利用圆的对称性得到关于的方程，进而再将圆的一般式化为标准方程，从而得解. 【详解】由，可得圆的圆心为. 因为圆关于直线对称， 所以由圆的对称性可知，圆心在直线上， 则，解得， 故圆，可化为， 所以圆的半径为. 故选：A. 7. 已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两圆方程作差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系，利用两点间距离公式，进而求得四边形的面积. 【详解】圆的方程配方得，因此圆心，半径； 圆的方程配方得，因此圆心，半径. 由两点间距离公式得. 将两圆方程相减，消去二次项得到公共弦所在直线方程，即. 点到直线的距离，因此弦长的一半为​， 即. 四边形可拆分为以为公共底的两个三角形和， 点到直线的距离​， 因此总面积. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若点在轴上方，可得其不符合题意，舍去，若点在轴下方，则有，再结合正弦定理及离心率定义计算即可得解. 【详解】由椭圆焦距为，故，故直线经过点， 若点在轴上方，有，即， 又，则， 此时，不符，故舍去； 若点在轴下方，有，即， 又，则， 则， 故 . 故选：C. 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 已知复数满足，则下列结论正确的有（　　） A. 的共轭复数 B. 是方程的一个根 C. 在复平面内对应的点位于第三象限 D. 是纯虚数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的相关概念依次检验各选项的正确性即可. 【详解】由，则 对于A，由共轭复数定义可知，的共轭复数 对于B，代入原方程，可得，所以不是方程的一个根. 对于C，由复数的几何意义可知，在复平面内对应的点位于第一象限. 对于D，，由纯虚数的定义可知，为纯虚数. 10. 已知，为双曲线的两个焦点，为上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准形式，并求出实半轴长、虚半轴长及半焦距，再逐项分析判断. 【详解】由双曲线，得，则实半轴长、虚半轴长分别为 ，半焦距， 对于A，双曲线的离心率为，A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为，即，B正确； 对于C，由双曲线的定义，得， 而当时，，C错误； 对于D，设坐标原点为，当时，，则， 因此，D正确. 11. 已知，，，动点满足、是直线上一点，记点的轨迹为曲线，过点作的两条切线、切点分别为，，则（ ） A. 的方程为 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 直线恒过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题目条件逐一分析判断选项即可. 【详解】对于A选项，已知， 即，整理得，A选项正确； 对于B选项，在直线上， 圆心到直线的距离，圆的半径为2， 所以的最小值为，即B选项正确； 对于C选项，设，切点弦的方程： 圆心到的距离：， 弦长：， ， ， 令，则， ， ，最小值为，C选项错误； 对于D选项，直线即， 对任意成立⇒过定点满足：， 解得定点，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 已知椭圆：，其左右焦点分别为，．点是椭圆上任意一点，则的周长为__________． 【答案】6 【解析】 【详解】由题意，根据椭圆的定义可知，. 所以的周长为. 因为椭圆方程为，所以. 所以的周长为. 13. 已知复数满足，则的最小值是________ 【答案】 【解析】 【详解】设，代入已知条件， 可得：， 两边平方得，即复数z对应的点的轨迹是以为圆心、半径的圆， 的几何意义是点到原点的距离。 计算圆心到原点O的距离：， 由于，原点在圆外，因此圆上的点到原点的最小距离为， 即的最小值为. 14. 已知抛物线，若两点在抛物线上，焦点为，，则直线的斜率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用抛物线的定义用表示进而得出之间的关系，最后代入到弦长公式里即可求解. 【详解】 设，， 因此：，得，​ ，得，​ 因此，直线斜率必然存在， 由弦长公式，代入，解得. 所以直线的斜率为. 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 77 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知中，，，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. （1）求边所在直线的方程； （2）求边的中线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意求出点坐标以及斜率即可得解； （2）由中点坐标公式求出中点的坐标，进一步求出直线的斜率即可得解. 【小问1详解】 因为边所在直线方程为，故可设， 因为边上的高所在直线方程为， 所以，所以， 所以，故所求为，即； 【小问2详解】 因为，，设中点为，所以， 因为，所以， 故所求为，即. 16. 已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）已知直线过点且直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）易知的垂直平分线方程为，联立直线方程，求得圆心，利用两点间距离公式求出半径，即可求解圆的标准方程； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况，当斜率存在时，设直线方程为，求出圆心到直线的距离，结合条件，利用弦长公式，即可求解，当斜率不存在时，直线方程为，联立圆的方程，直接求出交点，即可求解；. 【小问1详解】 因为，，则的垂直平分线方程为，即， 由，解得， 所以圆心为，， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 设圆心到直线的距离为，则，由题有， 整理得到，解得，此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，由， 解得或，此时弦长为，满足题意， 综上，直线的方程为或. 17. 已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2. （1）求的值和抛物线的准线方程； （2）直线与抛物线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的几何性质可得； （2）利用韦达定理，结合求解可得. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 因为焦点F到准线的距离为2，所以. 故抛物线的标准方程为： 【小问2详解】 由（1）可得抛物线方程为，联立得， 因为直线与抛物线C有两个交点， 所以，，解得且， 设，则， 得， 因为以为直径的圆经过坐标原点，所以， 所以，解得. 18. 已知为坐标原点，双曲线过点，离心率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线过点，与双曲线交于、两点． ①若直线，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①； ②存在，，理由如下： 假设存在定点. 当直线的斜率不为时，设其方程为. 代入，整理得：. 设，则. 则 . 要使该式为定值，需，解得. 此时定值为. 当直线的斜率为时，其方程为，交点为. 则，符合题意. 综上所述，存在定点，使得为定值. 【解析】 【分析】（1）将点坐标与离心率代入双曲线方程及关系式，联立求解； （2）①求出直线的方程，与双曲线联立，利用弦长公式及点到直线距离公式求三角形面积；②假假设存在定点，分直线斜率不为和斜率为两种情况讨论.利用韦达定理表示，通过分离常数法消去参数求定值. 【小问1详解】 由题意得：，解得. 故双曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 ①由得. 直线的方程为，即. 代入双曲线方程得：，即. 设，则. . 点到直线的距离. 所以的面积. ②略. 19. 已知椭圆的离心率为，且长轴长为，点，分别为椭圆的左、右焦点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率大于零的直线与椭圆交于，两点（点在第一象限）． ①若，的斜率分别为，，当时，求点的坐标及弦的长； ②记线段的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）. （2）①，；②四边形面积的最小值为 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率及长轴长，结合关系即可求得椭圆的标准方程； （2）（i）设出直线的方程并联立求出交点的坐标，代入椭圆方程求出斜率，再利用弦长公式求；（ii）联立直线与椭圆方程求中点坐标，进而得点坐标，证明 ，由弦长公式求出，利用四边形面积公式及基本不等式求出最值. 【小问1详解】 由题意椭圆长轴长，解得，又椭圆离心率，所以，由，得，所以椭圆的标准方程为：， 左焦点，右焦点. 【小问2详解】 ①由题意可知点在第一象限，且直线的斜率大于， 故的斜率，的斜率， 设直线的方程为，又，即直线的方程为， 联立两直线方程：，解得交点的坐标为，，即， 因为点在椭圆上，代入椭圆方程得：， ， 因为，所以，则，此时直线的方程为， 设，联立直线与椭圆方程：， 消去得：，由韦达定理得：，， 所以弦长 故点的坐标为，的长为； ②设直线的方程为（由题意可知）， 联立椭圆方程得： ， 设，则，， 则中点的坐标：，， 所以直线的斜率为，直线的方程为， 令，得点的纵坐标，即， 所以直线的斜率为， 因为，所以 ， 由弦长公式：， 同理，联立直线与椭圆方程，可求得弦长：， 又 ，所以四边形的面积：， 分母展开并利用基本不等式求最大值得：， ，当且仅当，即时等号成立，又，此时取； 综上四边形面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市新华中学 2026—2027 学年度第一学期 高二年级数学期中考试试卷 满分：150 分；考试时间：120 分钟 一、单项选择题（本题共 8 小题，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 若两直线平行，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆关于直线对称，则圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 已知复数满足，则下列结论正确的有（　　） A. 的共轭复数 B. 是方程的一个根 C. 在复平面内对应的点位于第三象限 D. 是纯虚数 10. 已知，为双曲线的两个焦点，为上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C. D. 若，则 11. 已知，，，动点满足、是直线上一点，记点的轨迹为曲线，过点作的两条切线、切点分别为，，则（ ） A. 的方程为 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 直线恒过定点 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 已知椭圆：，其左右焦点分别为，．点是椭圆上任意一点，则的周长为__________． 13. 已知复数满足，则的最小值是________ 14. 已知抛物线，若两点在抛物线上，焦点为，，则直线的斜率为__________． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 77 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知中，，，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. （1）求边所在直线的方程； （2）求边的中线所在直线的方程. 16. 已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）已知直线过点且直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 17. 已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2. （1）求的值和抛物线的准线方程； （2）直线与抛物线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 18. 已知为坐标原点，双曲线过点，离心率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线过点，与双曲线交于、两点． ①若直线，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆的离心率为，且长轴长为，点，分别为椭圆的左、右焦点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率大于零的直线与椭圆交于，两点（点在第一象限）． ①若，的斜率分别为，，当时，求点的坐标及弦的长； ②记线段的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $