精品解析：江苏苏州市常熟中学2026-2027学年第一学期高二数学期中试卷

苏州市常熟中学2026-2027学年第一学期高二数学期中试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为实数，已知直线：，：，若，则（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，求出的值，再代入检验即可. 【详解】因为直线：与直线：平行， 所以，解得或， 当时直线：与直线：平行，符合题意； 当时直线：与直线：平行，符合题意. 综上可得：或. 故选：D 2. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程为圆，再判断圆心距和半径的关系即可得解. 【详解】由，得， 则，整理得， 表示圆心为，半径为的圆， 圆的圆心为为圆心，半径， 两圆的圆心距为，满足， 所以两个圆相交. 故选：C. 3. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件利用等差数列前项和公式推导出，由此能求出的值 【详解】设等差数列的首项为，公差为， ∵等差数列的前项和为，， ∴，整理得， ∴． 故选：. 4. 已知直线l：是圆C：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为A，则（ ） A. B. 7 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析可得直线l过圆心，可求得，再根据圆的切线长公式运算求解. 【详解】由题意可知：直线l：过圆心，则，解得， 故圆C：的圆心为，半径，且点， ∵， ∴. 故选：B. 5. 若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据成等比数列，设其公比为( )，利用等比数列的定义即可结合所给式子进行判断. 【详解】成等比数列，设公比为 ，则均不为0，且， ，故成等比数列，且公比为， 因此成等比数列，且公比为， ，当时，成等比数列，且公比为，但当时，不是等比数列， 故选：C 6. 如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法，根据对称性排除CD，令，解方程排除B. 【详解】显然图象关于y轴对称，即把x换成方程不变，可知CD错误； 对于B：令，可得，解得或，不合题意； 故选：A. 7. 已知是椭圆上的一点，，是的两个焦点，离心率为且，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由离心率求得的关系，由椭圆的定义和余弦定理分别建立方程化简得到的值，然后借助三角形的面积建立等式，解得点到轴的距离. 【详解】由题意可知，即， ∴，， 如图，过点作轴于点， ∵，∴， 又∵， 即， ∴， ，即 ∴. 故选：D. 8. 在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知点在以为直径的圆上（不含），根据抛物线的定义可得，结合圆下性质可得，再根据几何性质即可得结果. 【详解】直线，即，可知直线过定点； 直线，即，可知直线过定点； 且，则， 可知点在以为直径的圆上（不含），此时圆心为，半径. 因为抛物线的焦点为，准线为， 且点是抛物线上一动点，则，即， 可得， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 即， 所以的最小值为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于圆锥曲线小题，常常利用定义转化，并结合图形解决问题. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分） 9. 在平面直角坐标系中，已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点在圆外 B. 圆与轴相切 C. 若圆截轴所得弦长为，则 D. 点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用点与圆的位置关系可判断A选项；求出圆心到轴的距离，可判断B选项；利用弦长的一半、弦心距以及圆的半径三者满足勾股定理求出的值，可判断C选项；对原点在圆上、圆外进行分类讨论，求出点到圆上一点的最大距离和最小距离，可判断D选项. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 对于A选项，若，则有，即点在圆外，A对； 对于B选项，因为圆心到轴的距离为，而与的大小关系不确定， 所以，圆与轴不一定相切，B错； 对于C选项，若圆截轴所得弦长为，则，解得，C错； 对于D选项，当时，点在圆上， 点到圆上一点的最大距离为，点到圆上一点的最小距离为，则； 当时，则点在圆外，且， 所以，点到圆上一点的最大距离为，最小距离为， 则点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为. 综上所述，点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为，D对. 故选：AD. 10. 记为公差d不为0的等差数列的前n项和，则（ ）. A. ，，成等差数列 B. ，，成等差数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差数列性质及前项和公式对4个选项依次判断即可． 【详解】 ， ， ，，成等差数列，故选项A正确； ，， ，，， ， 即，，成等差数列，故选项B正确； ， 不成立，即选项C错误； ， 成立，即选项D正确； 故选：ABD． 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知点满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的方程是 B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为 C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则该直线的斜率为 D. 过直线上的一点向圆引切线，则四边形的面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，设点坐标，根据代入化简，可得A正确； 对于B，设切线夹角为，可得，解得B正确； 对于C，若圆上恰有三个点到直线的距离为，可判断直线与圆相切，进而可解得，故C错误； 对于D，由条件可表达四边形的面积为，求的最小值，计算可得D正确. 【详解】对于A，因为，点满足，设，则， 化简得，，即，故A正确； 对于B，因为，设两条切线的夹角为，所以，解得，则，故B正确； 对于C，易知直线的斜率存在，设直线l的方程为，即， 因为圆上恰有三个点到直线的距离为2，所以圆心到直线的距离，解得，故C错误； 对于D，由题意可得，故只需求的最小值即可，的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形的面积的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，表示出直线的倾斜角和点，再求出斜率，代入斜截式方程即可得解. 【详解】直线即，所以直线的斜率为，倾斜角为， 令得，即， 则直线的倾斜角为，其斜率为， 则直线的斜截式方程为，即直线的方程是. 故答案为： 13. 已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足，．则数列的通项公式是_______；若数列满足，且为等差数列，则c的值是__________ 【答案】 ①. ②. 或0 【解析】 【分析】利用等差数列定义并根据公差大于零可求得数列的首项为，公差，即得数列的通项公式；求出前n项和为，再根据等差数列性质即可求得或. 【详解】设等差数列的首项为，公差为； 由，可得，解得； 所以可得， 即数列的通项公式是 可知数列的前n项和， 即，所以； 因为为等差数列，所以可得， 即，解得或， 经检验时，；时，都符合题意； 故答案为：；或0 14. 已知实数，，，满足，，，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，得到，再由三角函数的性质求解即可. 【详解】因为实数、、、满足，， 可知在圆， 设，， 所以，所以， 所以不妨设，， 所以 ， 又， 所以的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，的边所在直线方程为，边所在直线方程为，点在边上． （1）若是边上的高，求直线的方程； （2）若是边上的中线，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）联立直线、的方程，得出点的坐标，可得出直线的斜率，根据可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设，则点关于的对称点为在直线上，可求出的值，可点的坐标，进而可求得直线的方程，即直线的方程. 【小问1详解】 由得，所以，直线的斜率为， 因为，所以，直线的斜率为， 则直线的方程为，即. 【小问2详解】 点在直线上，设， 点关于的对称点为在直线上， 所以，解得，即点， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 16. 已知数列满足，且. （1）求； （2）证明：数列是等差数列，并求. 【答案】（1） （2）证明如下： 因为， 所以， 则， 故， 又，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 则. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系式求得. （2）根据等差数列的定义进行证明，进而求得. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 略 17. 已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而可得方程； （2）设直线，，根据向量可得，结合韦达定理运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：的圆心为，半径为4，且， 则， 可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，则， 所以的方程为. 【小问2详解】 因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交， 设直线，，则， 联立方程，消去x可得， 则， 又因为， 若，则，即， 可得，解得， 所以的方程为，即. 18. 已知：圆C的圆心在第一象限，与x轴相切，与y轴交于A，B两点，且，，点在斜率为k的直线l上． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程； （3）若存在圆心在直线l上，半径为1的圆D与圆C外切，求k的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】设圆，由条件得出方程组，解出即可； 设直线，用表示出圆心到的距离，根据弦长利用勾股定理得出k，可得直线l的方程； 若存在圆D与圆C外切，即存在点D使得，则，解出即可. 【小问1详解】 设圆， 则，解得，， 所以圆C的标准方程为 【小问2详解】 点在斜率为k的直线l上， 可设直线， 圆心到l的距离， 因为， 所以，即， 所以或， 所以直线l的方程为或 【小问3详解】 若存在半径为的圆D与圆C外切，即存在点D使得， 因为C到l的距离， 所以，所以，即， 所以或  19. 记等差数列的前项和为，公差为. （1）证明：是关于的不含常数项的二次函数； （2）等差数列的公差为，且. ①求的通项公式； ②记数列的前项和为，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为等差数列的公差为 由题意可得：， 则二次项系数，且常数项为0， 所以是关于的不含常数项的二次函数. （2）①或；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差数列的求和公式分析证明； （2）①根据（1）中结果，结合等差数列通项公式运算求解即可；②根据等差数列求和公式结合分组求和求，分类讨论，分析数据的整数型求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由题意可知：， 即 ， 可得，解得，或， 若，则； 若，则， 综上所述：或； ②因为， 当时，若，，则，不合题意； 当时， 若为偶数，则 ， 因为为偶数，则或， 若，则，即，不合题意； 若，则， 整理可得， 可知，代入检验可得仅成立； 若为奇数，则 ， 因为为奇数，则或， 若，则，即，不合题意； 若， 则， 整理可得， 显然为偶数，方程无解，不合题意； 综上所述：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键时分析数据的整数性，分类讨论的特征解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市常熟中学2026-2027学年第一学期高二数学期中试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为实数，已知直线：，：，若，则（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 5或 2. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 3. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 4. 已知直线l：是圆C：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为A，则（ ） A. B. 7 C. D. 2 5. 若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆上的一点，，是的两个焦点，离心率为且，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分） 9. 在平面直角坐标系中，已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点在圆外 B. 圆与轴相切 C. 若圆截轴所得弦长为，则 D. 点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为 10. 记为公差d不为0的等差数列的前n项和，则（ ）. A. ，，成等差数列 B. ，，成等差数列 C. D. 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知点满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的方程是 B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为 C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则该直线的斜率为 D. 过直线上的一点向圆引切线，则四边形的面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为______． 13. 已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足，．则数列的通项公式是_______；若数列满足，且为等差数列，则c的值是__________ 14. 已知实数，，，满足，，，则的取值范围是_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，的边所在直线方程为，边所在直线方程为，点在边上． （1）若是边上的高，求直线的方程； （2）若是边上的中线，求直线的方程． 16. 已知数列满足，且. （1）求； （2）证明：数列是等差数列，并求. 17. 已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程. 18. 已知：圆C的圆心在第一象限，与x轴相切，与y轴交于A，B两点，且，，点在斜率为k的直线l上． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程； （3）若存在圆心在直线l上，半径为1的圆D与圆C外切，求k的取值范围． 19. 记等差数列的前项和为，公差为. （1）证明：是关于的不含常数项的二次函数； （2）等差数列的公差为，且. ①求的通项公式； ②记数列的前项和为，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $