河南周口市项城市第一高级中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.直线3x+√3y-1=0的倾斜角为 A晋 B. c号 D 2.已知两点A(2,-1),B(-1,3),则1AB1= A.3 B.4 C.5 D.6 3.从集合{1,2,3}中任取2个不同的数相加，其和是偶数的概率为 A号 B号 c号 4.已知向量a=(m,4,n),b=(1,-2,3),a∥b,则m+n= A.-8 B.-4 C.4 D.8 5.已知点(1,2)在圆C:x2+y2-2x+2y+m=0上，则圆C的 A.圆心坐标为(1，-1)，半径为3 B.圆心坐标为(-1,1)，半径为3 C.圆心坐标为(1，-1)，半径为2V3 D.圆心坐标为(-1,1)，半径为23 6.已知点A(1,2,4),B(2,3,4),C(1,2,5)均在平面内，则点P(3,-2,4)到平面a的距 离为 A.2 B.3 C.23 D.3V2 7.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，观察每次出现的结果.记事件A为“第一次正面朝上”，事件 B为“至少有一次反面朝上”，事件C为“两次朝上的面相同”，事件D为“两次都是正面 上”.则下列选项中两个事件相互独立的是 A.A与B B.A与C C.B与D D.C与D 数学（一）第1页 架 扫描全能王创建 8.已知直线l:ax+y-a-1=0截圆0：x2+y2=4所得的两条弧长度之比为1：2，则a= A.-2 B.-1 C.0 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，在平行六面体ABCD-AB,C,D,中，设AB=Q,AD=b,AA=c,则 A.AC=a+b B.A B=a+c C.AjC=a+b-c D D.BD=-a+b+c 10.已知随机事件A,B发生的概率分别为P(A)=0.3,P(B)=0.4,则下列结论正确的是 A.若A与B互斥，则P(AUB)=0.7 B.若A≤B,则P(A∩B)=0.4 C.若A与B互斥，则P(A∩B)=0.3 D.若A与B相互独立，则P(AUB)=0.68 11.已知不重合的圆C,:x2+y2-2x-4y=0与圆C2:x2+y2-2ax-2by=0(a≥0，b≥0)交于 A,B两点，且圆C,关于直线AB对称，则 A.IABI =25 B.直线AB的方程为y=2x C.圆C,半径的最小值为⑤ D.圆C,半径的最大值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知直线l:x-2y+3=0,则过点(2，-1)且与1垂直的直线方程是 13.如图，在四面体A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,△ABD是等腰直角 三角形，且∠ABD为直角，△BCD是等边三角形，则异面直线AD与BC 所成角的余弦值为 14已知实数a,6cdef满起号-吕-9号则va-o+(0-0+ √(a-e)2+(b-)2的最小值为 数学（一） 第2页 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) (1)已知直线l过点A(3,4),且方向向量为n=（1,2),求直线1的方程； (2)求过点A(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线1的方程. 16.(15分) 已知圆M经过A(1,1),B(-3,1),C(0,2)三点 (1)求圆M的方程； (2)过点P(0,-1)作直线1，求1被圆M截得的最短弦长 17.（15分) 某公司组织招聘笔试，统计所有应聘者的成绩，发现均在区间[60,95]内，按[60,65)， [65,70),…,[90,95]分组，得到频率分布直方图如图所示. 十频率 组距 a 0.040 0.035 0.030 0.020 0.010 6065707580859095成绩/分 (1)求图中a的值 (2)规定成绩在[85,95]内的为“优秀”，在[75,85)内的为“良好”，成绩优秀或良好的应 聘者笔试通过，其余应聘者笔试不通过 ()从所有应聘者中随机抽取1人，求该应聘者笔试通过的概率； (ⅱ)从所有应聘者中随机抽取2人，假设他们的成绩相互独立，求这2人都笔试通过 且至少有1人成绩优秀的概率。 数学（一）第3页 扫描全能王创建 18.(17分) 如图(1)，在长方形ABCD中，AB=3,BC=8,E,F分别为AD,BC的中点.将长方形ABCD 沿直线EF折叠成图(2)中的形状，连接AD,BC,AC,DF.设P是AE的中点，连接PD,PF. (1)求证：AC∥平面DPF. (2)若AD=2V6, (1)求直线AD与平面DPF所成角的正弦值； (ⅱ)求点B到平面DPF的距离. 图(1) 图(2) 19.(17分) 已知圆0(0为坐标原点)与直线2x+y-4V5=0相切 (1)求圆0的方程； (2)若点A在圆0上运动，点B(6,-8),点P满足2O示=OA+0店，求1PA1的最大值与最 小值； (3)若圆0与x轴的交点为E,F(F在x轴正半轴上)，直线l:x=y-2与圆O交于C,H 两点（异于E,F),直线EG与FH交于点D,证明：点D在定直线上 数学（一）第4页 扫描全能王创建 高二数学·答案 一、选择题 1.答案D 命题透析本题考查直线的斜率与倾斜角. 解析直线x+vy-1=0的斜率为-1，倾斜角为平 2.答案C 命题透析本题考查两点间的距离公式 解析IAB1=√(2+1)2+(-1-3)2=5. 3.答案B 命题透析本题考查古典概型的概率计算. 解析所有可能的结果为1+2,1+3,2+3，其中只有1+3的和是偶数，故和是偶数的概率为3 4.答案A 命题透析本题考查空间向量的坐标运算 解析因为a/6,所以兴=2=兮，解得m=-2,n=-6所以m+n=-2+(-6)=-8 5.答案A 命题透析本题考查圆的标准方程， 解析将(1,2)代入圆的方程，得12+2-2+4+m=0,解得m=-7.所以圆的方程为x2+y2-2x+2y-7=0, 即(x-1)2+(y+1)2=9,故圆心坐标为(1，-1)，半径为3. 6.答案D 命题透析本题考查点到平面距离的向量求法。 解析设平面α的法向量为n=（x,y,z),因为平面a经过A(1,2,4),B(2,3,4),C(1,2,5)三点，所以 rn·A店=(x,y,z)·(1,1,0)=x+y=0, 可得n=(1,-1,0).由题意，得=(2，-4,0)，则点P(3,-2,4)到 n.A元=(x,y,z）·(0,0,1)=z=0, 平面a的距离为d=市，nL_2+4L-32. Inl 7.答案B 命题透析本题考查相互独立事件的判断. 解析抛掷一枚质地均匀的硬币两次，样本空间为2=正正，正反、反正，反反.易得P(A)=子=之，P(B)= 一1一 扫描全能王创建 子，P(C)=子=分，P(D)=子逐项判断：P(AB)=P(AP(B),P(AC)=子-P(A)P(C),P(BD)=0≠ P(B)P(D),P(CD)=÷≠P(C)P(D). 8.答案C 命题透析本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系。 解析由题意知，直线l:ax+y-a-1=0过定点(1,1)，且该点在圆0：x2+y2=4内.圆0被直线l所截得的弧 长度之比为1：2，则劣弧所对的圆心角为，所以圆心0(0,0)到直线1的距离等于半径的一半，即d= 1-a-1↓=1，解得a=0. √a2+1 二、选择题 9.答案ACD 命题透析本题考查空间向量基本定理的应用 解析对于A,A心=A店+A心=a+b,故A正确。 对于B,A,B=AA+店=-Ad+店=-c+a=a-c,故B错误. 对于C,At=A,B+B,C+C乙=A店+Ai-AM=a+b-c,故C正确 对于D,BD=B成+M+A,D=-A店+M+A市=-a+c+b=-a+b+c,故D正确 10.答案AC 命题透析本题考查概率的基本性质。 解析对于A,若A与B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7,故A正确. 对于B,若ACB,即A∩B=A,则P(A∩B)=P(A)=0.3,故B错误. 对于C,AnB表示事件A,B都不发生，其对立事件为A,B至少有一个发生，即AUB,所以P(A∩B)=1- P(AUB)=1-P(A)-P(B)=1-0.3-0.4=0.3,故C正确. 对于D,若A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.3×0.4=0.12,所以P(AUB)=P(A)+P(B)- P(AB)=0.3+0.4-0.12=0.58,故D错误 11.答案ABD 命题透析本题考查圆与圆的位置关系， 解析圆C:(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为C,(1,2),半径为5，圆C2:(x-a)2+(y-b)2=a2+b2的圆心 坐标为(a,b),半径为√a2+b. 对于A,因为圆C,关于直线AB对称，所以线段AB是圆C,的直径，所以IABI=2V5,故A正确. 对于B,将两圆方程相减，得(x2+y2-2x-4y)-(x2+y2-2ax-2by)=0,即(a-1)x+(b-2)y=0,该方程即 为公共弦AB所在直线的方程.因为线段AB是圆C,的直径，所以直线AB过圆心C,(1,2),代人上式，得a- 1+2(b-2)=0,即a+2b=5.所以直线AB的方程为(4-2b)x+(b-2)y=0.当b=2时，a=1,两圆重合，不 符合题意，所以b≠2.直线AB的方程约去b-2,即得y=2x,故B正确. 一2 扫描全能王创建 「a2+b=5, 对于C,线段AB也是圆C,的一条弦，所以2√a2+6≥2√5.当取等号时，由 解得 此 la+2b=5, b=2 时两圆重合，不符合题意，所以等号取不到，故C错误. 对于D,将(a,b)看作线段x+2y=5(x≥0，y≥0)上的动点，圆C2的半径√a2+b2看作点(a,b)到原点的距 离.要求√a+b的最大值，只需找到线段x+2y=5(x≥0，y≥0)上到原点距离最大的点，即为(5,0)，此时 √a+6=5,即圆C,半径的最大值为5，故D正确. 三、填空题 12.答案2.x+y-3=0 命题透析本题考查两直线垂直和直线的方程。 解析因为直线1：x-2y+3=0的斜率为7，所以过点(2，-1)且与1垂直的直线方程是y+1=-2(x-2), 即2x+y-3=0. 13.答案 命题透析本题考查空间向量的应用. 解析因为平面ABD⊥平面BCD,∠ABD是直角，所以AB⊥平面BCD.如图，以B为坐标原点，B的方向为y 轴正方向，B的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系.设AB=2,易得B武=(5,1,0)，A⑦=(0,2，-2).设异 面直线AD与BC所成的角为0，则cs0=花·应。2二=互 1B元1IA12×22-4 B 14.答案5 命题透析本题考查平行直线之间的距离。 解析由号-是-9手，得3a-46=0(6≠0)，3c-4d-2=0(d≠1)，38-4+2=0U≠5).易知 √(a-c)2+(b-d)表示点(a,b)与点(c,d)之间的距离，√(a-e)2+(b-)表示点(a,b)与点(e,)之间 的距离，且点(a,b)在直线l1:3x-4y=0上，点(c,d)在直线2：3x-4y-2=0上，点(e,)在直线l3:3x-4y+ 2=0上.因为直线41,42，l相互平行，且1在l2和4之间，所以√(a-c)2+(b-d)2+√(a-e)2+(b-)的最 —3 扫描全能王创建 小值为直线2和3之间的距离.又直线和3之间的距离为d= √3+本=行，所以V(a-c)+(6-d+ 44 V(a-e2+(6-刀的最小值为号 四、解答题 15.命题透析本题考查直线的方程. 解析（1)因为直线l的方向向量为n=(1,2),所以斜率k=2.…(2分) 又l过点A(3,4),所以直线1的方程为y-4=2(x-3),即2x-y-2=0. (5分) (2)当直线1在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线1的方程为÷+一。=1 a 又直线1过点A(3,4),所以2+4=1，解得a=-1. -a 所以直线1的方程为号+子=1，即x-y+1=0.… …(9分） 当直线1在两坐标轴上的截距均为0时，直线l过原点，且截距互为相反数. 设直线1的方程为了=：，因为直线1过点4(3,4)，所以4=k·3,解得长=手 所以直线1的方程为y=号，即4红-3y=0, 综上，直线1的方程为x-y+1=0或4x-3y=0. (13分) 16.命题透析本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系. 解析（1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 2+D+E+F=0, 由题意可知，10-3D+E+F=0,…(3分)》 4+2E+F=0, D=2, 解得E=0, ……………t………… (6分) (F=-4, 所以圆M的方程为x2+y2+2x-4=0,即(x+1)2+y2=5. (7分) (2)由(1)可知，圆心M(-1,0),半径R=√5.…(8分)》 直线l过点P(0,-1),因为1PM1=√2+1下=2<R,所以点P在圆M内.…(10分) 设圆心M到l的距离为d, 则l被圆M截得的弦长为2√R-,要使弦长最短，则d最大.…（12分) 因为dns=IPMl=√2， 所以l被圆M截得的最短弦长为2√R-x=2√5-2=2√5.…(15分)》 4 扫描全能王创建 17.命题透析本题考查频率分布直方图，频率与概率，相互独立事件的概率计算， 解析(1)由频率分布直图可知，(0.01+0.02+a+0.04+0.035+0.03+0.02)×5=1. 解得a=0.045.… (4分) (2)由题意可知，所有应聘者中成绩优秀的频率为(0.03+0.02)×5=0.25，成绩良好的频率为(0.04+0.035)× 5=0.375, 则从所有应聘者中随机抽取1人，成续优秀的概率为，成绩良好的概率为号 (8分) (1)设事件A:从所有应聘者中随机抽取1人，该应聘者笔试通过， 则P()=子+号=总 8=8 (10分) (ⅱ)设事件B:从所有应聘者中随机抽取2人，这2人都笔试通过且至少有1人成绩优秀， 则()=2x×+（广= 1 …(15分） 18.命题透析本题考查线面平行的证明和利用向量法求线面角、点到平面的距离。 解析(1)如图，连接CE交DF于点H,连接PH. 易知四边形CDEF为矩形，所以H为EC的中点. (2分) 所以在△EAC中，PH∥AC. 因为AC￠平面DPF,PHC平面DPF,所以AC∥平面DPF…(5分) (2)(1)由题意知，AD=26,AE=DE=4,过点D作D0⊥AE,垂足为O,易得D0⊥平面ABFE.以0为坐标原 点，以OA的方向为x轴正方向，E的方向为y轴正方向，0币的方向为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐 标系 由DE2-0E2=0D2=AD2-A02,即16-0E2=24-(4-0E)2,解得0E=1,所以0D=√5. 则0(0,0,0)，P(1,0,0),D(0,0,√15)，A(3,0,0),B(3,3,0),F(-1,3,0).…(7分） 所以P7=(-1,0,√15)，P币=(-2,3,0). 设平面DPF的法向量为n=(x,y,z), .P0=0,【-x+52=0合g得n3525.5.…（10分 则。萨=0，-2+y0。 即 设直线AD与平面DPF所成的角为a. -5 扫描全能王创建 又而=(-3,05)，所以in0=花l.1-651 510 1Ai1Inl26×√68 68 即直线AD与平面DPF所成角的正弦值为I0 68 (13分) (ⅱ)易得BP=(-2,-3,0).由(i)知平面DPF的一个法向量为n=(3√5,25,5)， 所以点B到平面DPF的距离d=庐：mL_1-12516V西 Inl2√17 17 (17分) 19.命题透析本题考查直线、圆的方程，直线与圆的位置关系. 解析(1)圆心0(0,0)到直线2x+y-45=0的距离即圆0的半径， 所以r=10+0-451_45=4 √22+1下√5 故圆0的方程为x2+y=16.…(4分)》 (2)由20=0+0知，P是线段AB的中点.…(5分) 所以PA=号AB,要求IPA的最大值与最小值，只需求1MB的最大值与最小值 因为10B1=√62+(-8)7=10>4=r,所以点B在圆0外. (6分) 所以I0B1-r≤1AB1≤|0Bl+r,即6≤1AB1≤14.…(8分) 所以3≤PA|≤7，即IPAI的最大值为7，最小值为3.…(9分) (3)由题意知，E(-4,0),F(4,0).设G(x1y1),H(x2,y2),D(,yo) 「x=my-2, 联立，得 消去x,得(m2+1)y2-4my-12=0. lx+yY2=16, m2+13=- 4m 12 所以y1+y2= m2+1 …（1分） 直线EG的方程为y=4x+4)直线FH的方程为y三4x-4).… (12分) 46+4, 因为直线EG与FH交于点D,所以 产46- y= 12m 8-2--2 则+4-+4×，为，=⅓(m+2}_mh+24+2-2_m+1m2+ -=m2+1 x0-4y1 x32-4y1(my2-6) y12-6y1 12m m+7 12m 1 -6y1 3 m2+1 …(15分） 即而+4、1 0-4=3,解得0=-8， 所以点D在直线化=-8上.…（们7分） 一6- 扫描全能王创建