精品解析：河北省张家口市经开区2025-2026学年度第一学期期中教学质量监测九年级数学试题

经开区2025—2026学年度第一学期期中教学质量监测 九年级数学试题 答题要求及注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级填写在答题纸上；准考证号及学科用铅笔涂在答题纸上． 2．选择题答题，必须使用铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净． 3．非选择题部分，必须使用黑色签字笔书写在答题区域内作答，超出答题区域书写无效． 4．禁止对答题卡恶意涂画、破损、折叠，否则成绩无效． 一、单项选择题（本大题有12个小题，每题3分，共36分） 1. 已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形都是相似图形 B. 菱形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 等边三角形都是相似三角形 3. 如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 将一个正方体截去一个角，得到的几何体如图所示，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，根据长方体的视图标注的尺寸，可以判断长方体中a，b，c三条棱的长分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（ ） A. 1秒 B. 2秒 C. 3秒 D. 4秒 8. 为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ） A. B. C. D. 9. 把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 10. 小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知点，，以为位似中心，按比例，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 12. 抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________． 14. 如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 15. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 16. 二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，是斜边上的高． （1）求证：； （2）是成比例线段吗？为什么？ 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①， ． （2）如图②，在上找一点F，使． （3）如图③，在上找一点M，连结、，使． 19. 如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求三点的坐标； （2）求的面积． 20. 为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． （1）求路灯的高度； （2）小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； （3）小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 21. 综合与实践：投影中的数学． （1）如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长 m， m； （2）如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 22. 如图，抛物线与直线相交于点和点B． （1）求m和b的值； （2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 23. 综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了数学探究活动． 请解决下列问题： （1）探究规律： ①如图1，，则 ；（填“”或“”，且直接填写） ②如图2，点C在线段上，，，则的度数为 ； （2）应用规律： 如图3，点A，D，C，B在同一条直线上，，求证：； （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，，，，求线段的长． 24. 小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象和性质．以下是小明的探究过程： （1）列表给出了部分，的取值： … … … … 则________． （2）小明绘制了部分函数图象，请描出点，并连线完成函数的图象． （3）结合画出的函数图象，判断下面关于该函数的性质描述正确的是________．（写序号即可） ①函数图象为轴对称图形，对称轴为轴； ②当时，随的增大而减小； ③函数存在最小值为； ④动直线与该函数图象最多有四个交点． （4）点是的图象上一点，且．若对于任意点，该函数图象上存在点，满足．请直接写出的取值范围_______________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 经开区2025—2026学年度第一学期期中教学质量监测 九年级数学试题 答题要求及注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级填写在答题纸上；准考证号及学科用铅笔涂在答题纸上． 2．选择题答题，必须使用铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净． 3．非选择题部分，必须使用黑色签字笔书写在答题区域内作答，超出答题区域书写无效． 4．禁止对答题卡恶意涂画、破损、折叠，否则成绩无效． 一、单项选择题（本大题有12个小题，每题3分，共36分） 1. 已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按成比例线段的给定字母顺序列比例式，代入已知长度计算的值． 【详解】解：∵线段，，，为成比例线段， ∴． ∵，，， ∴． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形都是相似图形 B. 菱形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 等边三角形都是相似三角形 【答案】D 【解析】 【分析】相似多边形的判定条件：对应角相等且对应边成比例的多边形是相似多边形，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项，等腰三角形的顶角不一定相等，对应角不都相等，因此等腰三角形不都是相似图形，A错误 B选项，菱形的内角度数不一定相等，对应角不都相等，因此菱形不都是相似图形，B错误 C选项，该说法只满足各边对应成比例，缺少对应角相等的条件，例如边长相等的菱形和正方形，各边对应成比例但对应角不相等，不是相似多边形，因此C错误 D选项，等边三角形的三个内角都是，对应角相等，且三边都对应成比例，因此等边三角形都是相似三角形，D正确． 3. 如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的对应边成比例求出缩小后的宽，再利用矩形面积公式计算即可． 【详解】设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， 解得， ∴缩小后的宽是， ∴缩小后的矩形的面积为． 4. 将一个正方体截去一个角，得到的几何体如图所示，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：该几何体的主视图如图所示： ． 5. 如图，根据长方体的视图标注的尺寸，可以判断长方体中a，b，c三条棱的长分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意得，长方体中a，b，c三条棱的长分别是，，． 6. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】明确二次函数的定义：形如（，、、为常数）的函数是二次函数，以此为判断依据．对每个选项的函数表达式进行化简，整理为最简形式．逐一对照二次函数定义判断：如果化简后最高次为二次且二次项系数不为0，那么是二次函数，否则不是． 【详解】解：对选项A，，是二次函数． 对选项B，，是一次函数，不是二次函数． 对选项C，是分式，不是整式，故不是二次函数． 对选项D，当时，是常数函数，不一定是二次函数． 7. 水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（ ） A. 1秒 B. 2秒 C. 3秒 D. 4秒 【答案】B 【解析】 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 8. 为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 9. 把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律求解即可． 【详解】解：将向左平移3个单位，得， 再向下平移2个单位，得． 10. 小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可证是的中位线，进而利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． ∵小正方形的边长为， ∴， ∴． 11. 如图，已知点，，以为位似中心，按比例，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似变换的性质，以原点为位似中心时，点的对应坐标等于原坐标乘以位似比或其相反数，位似比为，把缩小，即缩小倍或倍． 【详解】解：∵点，位似中心为原点，位似比为，把缩小， ∴点A的对应点的坐标为或， 即或． 12. 抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】因为函数是关于x的二次函数，所以二次项系数需满足不等于0的条件．求解不等式，即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵  是关于  的二次函数， ∴， ∴． 14. 如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交轴于，连接并延长交轴于，待定系数法求出直线的解析式为，求出，即可求解． 【详解】解：连接并延长交轴于，连接并延长交轴于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ， 同理可求， ， 木杆在x轴上的投影长为． 15. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，先根据表格中值相等的点求出对称轴，再得到对应对称点的函数值即可得到结果． 【详解】解：由表格可得，当时，，当时，， ∵二次函数上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵关于直线的对称点为， 由表格可知时，， ∴当时，． 16. 二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 【答案】1 【解析】 【分析】根据抛物线开口向下，与轴交于正半轴得到，，根据对称轴为，即可判断①；然后得到，即可判断②；根据抛物线对称性得到图象过点，然后得到，，即可判断③；分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小后判断的大小关系，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ，故①错误； ∴，故②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， 当时，， ∴，故③错误； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴点A到对称轴的距离为，点B到对称轴的距离为0，点C到对称轴的距离为， ∴点离对称轴最远，点B离对称轴最近， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有1个． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，是斜边上的高． （1）求证：； （2）是成比例线段吗？为什么？ 【答案】（1）证明：∵在中，是斜边上的高． ∴ ∴； （2）解：是成比例线段，理由如下： ∵ ∴ ∴是成比例线段． 【解析】 【分析】（1）利用等面积法求解即可； （2）将乘积式化为比例式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①， ． （2）如图②，在上找一点F，使． （3）如图③，在上找一点M，连结、，使． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，进而求解； （2）由勾股定理求出的长，根据构造相似比为的两个相似三角形求解； （3）根据相似三角形的判定和性质作图即可． 【小问1详解】 解：由图可知，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，， ∵， ∴，且相似比为， ∴； 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴，且相似比为， ∴， ∵，， ∴． 19. 如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求三点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，可以求出抛物线与轴的交点的坐标；令，可以求出抛物线与轴的交点的坐标； （2）根据（1）中所求点的坐标得到的长度，进而求得的面积． 【小问1详解】 解：令，则， ， 或， 点在点的左侧， ． 令，则， ． 【小问2详解】 解： ， ， 到轴的距离为，即 ． 20. 为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． （1）求路灯的高度； （2）小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； （3）小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】（1）米 （2）米 （3）1米 【解析】 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【小问1详解】 解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； 【小问2详解】 解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； 【小问3详解】 解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 21. 综合与实践：投影中的数学． （1）如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长 m， m； （2）如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 【答案】（1）①如图，投影，即为所求；②3，； （2）①如图，灯泡P即为所求； ② 【解析】 【分析】（1）①根据作一个角等于已知角以及作垂线的步骤作图即可； ②根据平行投影的性质以及直角三角形的性质，勾股定理求解即可； （2）①连接，并延长交点即为点；②过点分别作，，垂足为点，通过以及求解即可． 【小问1详解】 解：①作图见答案； ②由平行投影可得，，， ∵地面， ∴ ∴， ∵ ∴，解得（舍负） 【小问2详解】 解：①略 ②过点分别作，，垂足为点， 由题意得，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即路灯灯泡距离地面的高度为． 22. 如图，抛物线与直线相交于点和点B． （1）求m和b的值； （2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 【答案】（1），； （2），或； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为，进而求解即可． 【小问1详解】 解：把代入中得，解得， 把代入中得，解得； 【小问2详解】 解：联立，解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 ∵， ∴二次函数开口向上 ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． 23. 综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了数学探究活动． 请解决下列问题： （1）探究规律： ①如图1，，则 ；（填“”或“”，且直接填写） ②如图2，点C在线段上，，，则的度数为 ； （2）应用规律： 如图3，点A，D，C，B在同一条直线上，，求证：； （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，，，，求线段的长． 【答案】（1）①；② （2）证明：过点C作交于点H，如图， ∵， ∴，，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①根据相似三角形的性质，即由两组对应角相等的三角形相似可得； ②根据相似可得，再由三角形内角和可得，再根据周角即可求解． （2）作辅助线构造平行线，可得，，，再根据三角形外角的性质可得，再根据相似三角形的判定证明即可； （3）求出边长，根据勾股定理逆定理求解是直角三角形，再由（1）中的结论可得，根据边成比例可求解得，，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①∵， ∴，， ∴， ∴； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，则． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，过点B作的延长线于点E，如图， 在中，，即， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 由（1）的结论可知，， ∴， 即， 解得，， ∴， 在中，． 24. 小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象和性质．以下是小明的探究过程： （1）列表给出了部分，的取值： … … … … 则________． （2）小明绘制了部分函数图象，请描出点，并连线完成函数的图象． （3）结合画出的函数图象，判断下面关于该函数的性质描述正确的是________．（写序号即可） ①函数图象为轴对称图形，对称轴为轴； ②当时，随的增大而减小； ③函数存在最小值为； ④动直线与该函数图象最多有四个交点． （4）点是的图象上一点，且．若对于任意点，该函数图象上存在点，满足．请直接写出的取值范围_______________________． 【答案】（1）1 （2） （3）③④ （4）或 【解析】 【分析】（1）求解n时，将代入函数解析式，按照绝对值运算和代数运算规则计算即可． （2）画函数图象时，先根据绝对值的定义将函数写成分段形式，分界点为；或者先确定函数的对称轴，利用对称性补全部分的点，再平滑连线． （3）判断函数性质时，结合画出的图象：①若判断对称轴，看图象沿哪条直线对折后重合；②若判断增减性，观察区间内随变化的趋势；③若判断最小值，找图象的最低点对应的函数值；④若判断直线与图象的交点数，取不同范围的观察交点的最大数量． （4）求解的范围时，先解得到的取值范围，再解得到的取值范围；因为对任意满足条件的，都要落在对应的范围内，据此建立不等式求解． 【小问1详解】 解：将代入函数解析式，原式可变形为完全平方形式，代入得． 【小问2详解】 解：该函数本质是两个分段抛物线： 当时，，是顶点在的开口向上抛物线； 当时，，是顶点在的开口向上抛物线；整体图象关于直线对称，补全左侧点并平滑连线即可得到完整W型图象． 作图略； 【小问3详解】 解：①函数图象对称轴为直线，不是y轴， 错误； ②当时，， 在时，y随x增大而减小， 在时，y随x增大而增大， 错误； ③当或时，y有最小值0， 正确； ④当或时，直线与该函数图象有两个交点； 当时，直线与该函数图象有三个交点； 当时，直线与该函数图象有四个交点． 正确． 【小问4详解】 解：∵， ∴， 得， ∴， 即点M的横坐标范围是； 又∵， ∴， 得， ∴或， 即满足的点横坐标范围是或． 题目要求对任意，都有或： 若所有，则区间左端点， 得； 若所有，则区间右端点， 得． 因此k的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $