精品解析：陕西西安市莲湖区部分学校2026-2027学年高一上学期期中联考数学试题

高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若集合，且，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 4. “，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，若在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，既是幂函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 若函数，则（ ） A. B. 当时， C. 当在上单调时， D. 当的值域为时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则______． 13. 函数的单调减区间是_________． 14. 定义有限数集的元素个数为．定义，其中，为非空集合，，．已知集合，，满足，，，，，，，则______，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (1)求值：. (2)化简：. 16. 已知幂函数的图象经过坐标原点． （1）求的值； （2）求函数的值域． 17. 如图，在一块等腰梯形空地内欲铺设一块矩形草地，其中，均在边上，在边上（不含端点），在边上，且米，米，米． （1）若是边的中点，求矩形的面积； （2）设米，求矩形的面积（单位：平方米）关于的函数解析式，并求出定义域； （3）若铺设草地的造价为30元每平方米，求铺设草地总价的最大值． 18. 已知正数，满足． （1）证明：为定值． （2）求的最小值． （3）若不等式恒成立，求关于的不等式的解集． 19. 已知定义在上的函数满足，，，且当时，． （1）证明：函数是奇函数． （2）判断的单调性并证明． （3）若，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定判断即可. 【详解】“，”的否定为，. 2. 若集合，且，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以 或，且. 若，解得或， 当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，，，满足集合元素的互异性，符合题意； 若，解得，不满足集合元素的互异性，舍去. 综上，唯一符合条件的值为. 3. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，先求得，再求即得. 【详解】由，可得， 则. 4. “，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的同向可加性判断充分性，通过举反例判断必要性即得. 【详解】由，，利用不等式的同向可加性可得， 则有成立，即充分性成立； 若取，则，但， 即必要性不成立. 故“，”是“”的充分不必要条件. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域列式求解即可. 【详解】函数的定义域为，所以，解得， 所以函数的定义域为. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，且在内单调递增， 因为，则，所以. 7. 已知是定义在上的偶函数，若在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意得出，且在上单调递增，再分类解不等式. 【详解】由是定义在上的偶函数，，， 且在上单调递增， 不等式等价于或， 或，或， 不等式的解集为. 8. 若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数对称轴分析得到解集所包含整数，根据函数的零点存在定理即可求解. 【详解】时显然不满足条件，故， 因为有，根据二次函数的对称性，解集包含的两个整数为1，2， 设函数， 则应有，代入解得， 故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，既是幂函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A选项，函数是幂函数，且该函数在上为增函数，A符合要求； 对于B选项，函数不是幂函数，且该函数在上为增函数，B不符合要求； 对于C选项，函数是幂函数，且该函数在上为增函数，在上为减函数，C不符合要求； 对于D选项，函数是幂函数，且该函数在其定义域上为增函数，D符合要求. 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A选项，，故，故A正确； 对于B选项，，故，故B正确； 对于C选项，，故，故C错误； 对于D选项，，故，故D正确. 11. 若函数，则（ ） A. B. 当时， C. 当在上单调时， D. 当的值域为时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，先代入对应解析式计算，再根据的取值范围，代入对应分段计算，与比较，对于选项B，因为先代入计算，再根据的取值范围，代入对应分段计算，结合求解；对于选项C，先分析段的单调性，再分析段二次函数的单调性，结合衔接处的函数值关系，推导的取值范围；对于选项D，先确定段的值域，再分析段二次函数的值域，结合并集要求推导的取值范围. 【详解】对于A选项，由已知， 所以，A错误； 对于B选项，因为， 当时，，， 由已知，解得，与矛盾， 当时，，， 由已知，解得或（舍去），B正确； 对于C选项，当时，， 所以函数在上单调递减，又在上单调， 所以，解得，C正确； 对于D选项，因为函数在上单调递减， 所以，结合的值域为可得 若，函数在上单调递减，故， 解得，结合可得， 若，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时， 故，所以的值域为，满足条件， 所以当的值域为时，，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先观察这是复合形式的函数解析式问题，然后把括号内整体看作新变量，通过换元建立新变量与原变量的关系，再代入化简，最后替换回字母，从而得到的表达式. 【详解】令 ，则 ， 代入原式：， 将 换为 ，得. 13. 函数的单调减区间是_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再利用二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解. 【详解】，则， 解得或， 所以函数的定义域为， 令， 所以函数的单调递减区间为， 又因为为增函数， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 14. 定义有限数集的元素个数为．定义，其中，为非空集合，，．已知集合，，满足，，，，，，，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先由对称差公式 求出两两交集的元素个数，再代入三集合容斥公式求三者交集. 【详解】由 ，知其元素个数为并集去掉交集， 故 代入 ，，，得， 同理，由 ，，，得， 由 ，，，得， 代入 ，解得 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (1)求值：. (2)化简：. 【答案】 (1) (2) 【解析】 【详解】(1). (2). 16. 已知幂函数的图象经过坐标原点． （1）求的值； （2）求函数的值域． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由幂函数的概念得，然后讨论的取值是否满足题意. （2）先将代入，然后消分子自变量化简得，，再用换元法即可求出的值域. 【小问1详解】 由题知，，或，当时，，无意义，不满足题意， 当时，满足题意，. 【小问2详解】 由（1）知，，， ，令，，， ，函数的值域为. 17. 如图，在一块等腰梯形空地内欲铺设一块矩形草地，其中，均在边上，在边上（不含端点），在边上，且米，米，米． （1）若是边的中点，求矩形的面积； （2）设米，求矩形的面积（单位：平方米）关于的函数解析式，并求出定义域； （3）若铺设草地的造价为30元每平方米，求铺设草地总价的最大值． 【答案】（1）平方米 （2），定义域为 （3）元 【解析】 【分析】（1）设在上的投影分别为，可得，，根据中点可得，，即可得面积； （2）根据题意可得，结合比例可得，，即可得面积和定义域； （3）利用配方法可得矩形的面积的最大值为，即可得铺设草地总价的最大值. 【小问1详解】 设在上的投影分别为， 则，， 若是边的中点，则，， 可得，所以矩形的面积为平方米. 【小问2详解】 若，则， 且，可得，则 所以矩形的面积，定义域为. 【小问3详解】 因为， 当且仅当时，等号成立， 即矩形的面积的最大值为，所以铺设草地总价的最大值为元. 18. 已知正数，满足． （1）证明：为定值． （2）求的最小值． （3）若不等式恒成立，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）因为，两边同时除以得到，所以为定值. （2）1 （3）当或时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）等式两边同除以，直接变形得到的值，证明定值； （2）利用，把换成，再用1的代换结合基本不等式求最小值； （3）不等式恒成立说明，得到t的范围，再分类讨论解含参数一元二次不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将代入得到， 则由基本不等式可得 当且仅当，即时取等， 联立，得到满足正数条件， 所以的最小值为1. 【小问3详解】 因为不等式恒成立，所以，即， 对不等式，分类讨论： 当时，化得恒成立，解集为； 当时，化得恒成立，解集为； 当时，两边同时除以得到，得到或，解集为； 当时，两边同时除以得到，得到，解集为； 综上所述，当或时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 19. 已知定义在上的函数满足，，，且当时，． （1）证明：函数是奇函数． （2）判断的单调性并证明． （3）若，，求的取值范围． 【答案】（1）令.由， 令，得，故，. 令，则，即 所以是奇函数. （2）在上单调递增． 由,得. 任取，令，则． 因为，所以，则， 从而，即， 故在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）令，由原函数方程导出，再令结合证奇函数； （2）任取，利用抽象函数性质，再结合时判符号，证单调性； （3）令，把不等式化为，由为奇函数且递增转化为，分离参数求恒成立范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知， ，， 可得，， 令，则，即， ，则，原不等式等价于， 由（2）知在上递增，在上递增，故在上单调递增. 所以，即在上恒成立，则在上恒成立. 又函数和均在上单调递增，所以函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 则故，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $