江苏徐州市铜山区2026-2027学年第一学期期中学情调研高一数学试题

徐州市铜山区2026—2027学年度第一学期期中学情调研 高一数学试题 本试卷共19小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．已知集合 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．命题 ， 的否定是（　　） A．，　　 B．， C．，　　D．， 3．下列四组函数，表示同一函数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 4．已知 ，，若集合 ，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．已知函数 满足 ，则 的解析式为（　　） A．　　B． C．　　D． 6．“” 是 “” 的（　　） A．充要条件　　 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件　　 D．既不充分也不必要条件 7．对于任意两个函数 ，，定义新函数 ，设函数 ，，，则 的最小值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．已知正实数 ， 满足 ，且 恒成立， 则实数 的取值范围是（　　） A．　　 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题为真命题的是（　　） A．若 ，则 　　 B．若 ，，则 C．若 ，则 　　D．若 ，则 10．关于 的不等式 的解集是 ， 则下列选项正确的是（　　） A．　　 B． C．关于 的不等式 的解集是 D．关于 的不等式 的解集是 11．已知正数 ，， 满足 ，则下列结论正确的有（　　） A．　　 B． C．　　 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数 ，则 ______． 13．已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是______． 14．存在三个实数 ，，，且 ，满足下列两个等式：①；②，则实数 的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题13分）计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）已知 ，求 ． 16．（本题15分）设全集 ，已知函数 的定义域为集合 ， 集合 ． （1）当 时，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 17．（本题15分）已知命题 ：， 成立；命题 ：， 成立． （1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 ， 中恰有一个为真命题，求实数 的取值范围． 18．（本题17分）已知函数 ，． （1）若 且 ，，求 的最小值； （2）当 时，求关于 的不等式 的解集． 19．（本题17分）已知二次函数 ， 有两个实数根 ，． （1）若 ，，，求实数 的取值范围； （2）若 ，，记 在 的最小值为 ，求 的表达式； （3）若 ，，， 与 都是整数且 ，求 ， 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州市铜山区2026—2027学年度第一学期期中学情调研 高一数学试题（解析版） 本试卷共19小题，满分150分，考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．已知集合 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】 【分析】先按交集的定义找出同时属于 、 的元素，再写成集合形式． 【详解】集合 中的整数元素为 ，，，其中属于 的是 ，， 所以 ． 故选：A 2．命题 ， 的否定是（　　） A．，　　B．， C．，　　D．， 【答案】C 【解析】 【分析】特称命题的否定是全称命题：既改量词，又否定结论． 【详解】命题 是特称命题，其否定为全称命题：把 “” 改为 “”，并把结论 否定为 ， 所以 的否定是 ，． 故选：C 3．下列四组函数，表示同一函数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】C 【解析】 【分析】判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域与对应关系是否都相同． 【详解】对于 A， 的定义域为 ，而 的定义域为 ，定义域不同，不是同一函数； 对于 B，两个函数的定义域分别为 与 ，定义域不同，不是同一函数； 对于 C，当 时 ，当 时 ，且两函数定义域都是 ，对应关系相同，是同一函数； 对于 D， 需满足 且 ，即定义域为 ，而 需 ，定义域为 ，定义域不同，不是同一函数． 故选：C 4．已知 ，，若集合 ，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】 【分析】由 属于右边的集合，反推 、 的取值，再用集合元素的互异性取舍． 【详解】左边集合含元素 ，右边集合含元素 ，故 只能是 或 ． 若 ，则 无意义，故只能 ，得 ． 此时 ，比较元素得 ，即 或 ． 若 ，左边集合中元素 重复出现，不满足集合元素的互异性，舍去； 若 ，左边为 ，右边为 ，两集合相等，符合题意． 所以 ． 故选：C 5．已知函数 满足 ，则 的解析式为（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】D 【解析】 【分析】用换元法求解析式，注意新元的取值范围（这是本题的易错点）． 【详解】设 ．因为 ，所以 ，且 ，． 于是 ， 所以 ． 故选：D 6．“” 是 “” 的（　　） A．充要条件　　 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件　　D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解两个不等式，再用解集之间的包含关系判断充分性与必要性． 【详解】由 得 ，即 ，解得 ； 由 解得 ． 因为 是 的真子集，所以充分性成立，必要性不成立， 故 “” 是 “” 的充分不必要条件． 故选：B 7．对于任意两个函数 ，，定义新函数 ，设函数 ，，，则 的最小值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】 【分析】先求两函数图象的交点，按“取较大者”去掉 ，再分段求最小值． 【详解】由 得 ，解得 或 ． 当 或 时，，此时 ；当 时，，此时 ． 在 上 单调递减，且 ；在 上 单调递减，；在 上 单调递增，且 ． 所以 的最小值为 （当 时取得）． 故选：B 8．已知正实数 ， 满足 ，且 恒成立， 则实数 的取值范围是（　　） A．　　 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】先由条件把 化成关于一个变量的函数（或换元后）求其最大值，再把“恒成立”转化为关于 的二次不等式． 【详解】 方法一（消元化为一元函数）： 由 得 ．因为 ，所以 ，且 ． 于是 ． 令 ，则 ， ， 当且仅当 ，即 （此时 ，）时取等号，所以 ． 由 恒成立得 ，即 ，解得 或 ． 方法二（换元后用基本不等式）： 由 得 ．令 ，，则 ，，且 ． ， 由基本不等式 ， 故 ，当且仅当 且 ，即 ，（，）时取等号． 下同方法一，由 得 或 ． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题为真命题的是（　　） A．若 ，则 　　 B．若 ，，则 C．若 ，则 　　D．若 ，则 【答案】BD 【解析】 【分析】用不等式的基本性质逐项判断，错误的举反例、注意 能否为 ． 【详解】对于 A，取 ，，则 ，故 A 错误； 对于 B，由 ， 及同向不等式相乘的性质，得 ，故 B 正确； 对于 C，当 时 ，不等式不成立，故 C 错误； 对于 D，由 知 ，故 ，两边同除以 得 ，故 D 正确． 故选：BD 10．关于 的不等式 的解集是 ， 则下列选项正确的是（　　） A．　　 B． C．关于 的不等式 的解集是 D．关于 的不等式 的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由解集为开区间确定 的符号与两根，用韦达定理把 、 用 表示，再逐项判断． 【详解】因为解集为 （开区间），所以 ，且 ， 是方程 的两根． 由韦达定理得 ，，即 ，． 对于 A，，正确； 对于 B，，正确； 对于 C， 即 ，因 ，故 ，即 ，解集为 ，错误； 对于 D， 即 ，因 ，等价于 ，解得 ，正确． 故选：ABD 11．已知正数 ，， 满足 ，则下列结论正确的有（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】ABD 【解析】 【分析】设公共值为 ，把 、、 都用对数表示，再逐项作差或换元比较（D 项需用基本不等式）． 【详解】 方法一（取对数，化为同底计算）： 设 （ 且 ），两边取自然对数得 ，，． 对于 A，，正确； 对于 B， ，而 ，分子为 ， 故 ，正确； 对于 C，，因 ，故 ，错误； 对于 D，．令 ， 则 （因 ，等号不能成立），正确． 方法二（倒数代换： 等）： 由 ，两边取以 为底的对数，得 ，，． 对于 A，，正确； 对于 B， 两边同除以 ，等价于 ， 而 ，故等式成立，正确； 对于 C， 两边同除以 ，等价于 ，即 ， 而 ，故该式不成立，错误； 对于 D，同方法一，令 得 ，正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数 ，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】由内向外计算：先判断 落在哪一段，求出 ，再代回相应的一段． 【详解】因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 13．已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】值域为 要求两段函数值域的并集为 ：第二段值域为 ，故第一段必须覆盖 ． 【详解】当 时，，值域为 ． 若 ，则 时 为常数，值域为单元素集，显然不能使并集为 ； 若 ，则 在 上单调递减，值域为 ，仍有小于 的数取不到，并集不能为 ； 所以必须 ，即 ，此时 在 上单调递增，值域为 ． 要使值域为 ，需 ，解得 ，符合 ． 故 的取值范围是 ． 14．存在三个实数 ，，，且 ，满足下列两个等式：①；②，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先用两个等式判断三个数的符号，再把 、 看作某个二次方程的两根，由“有两个不相等的实根”建立关于 的不等式． 【详解】 方法一（构造方程，用判别式）： 由 得 ，由 得 ． 因为 而 ，若三数同号则和不为 ，若两正一负则积小于 ，故三数必为两负一正；又 ，所以 ． 于是 ， 是方程 的两个不相等的实根，故 ． 因 ， 等价于 ，解得 ． 反之，当 时 ，方程有两不等实根，且两根之和 、两根之积 ，故两根均为负数，取 即满足题设全部条件． 所以 的取值范围是 ． 方法二（换元为正数，用基本不等式）： 同方法一可知 ．令 ，，则 ，且 ，． 由 得 ，即 ，结合 得 ，故 ． （当 时，取 ， 为方程 的两根，即可构造出满足条件的 ，，故 的取值范围恰为 ．） 所以 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题13分）计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）已知 ，求 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】用指数幂与对数的运算性质逐式化简；第（3）问用平方关系整体求值，注意开方后有两种可能． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）设 ，则 ，所以 ． 事实上，当 时 ；当 时 ， 故 ． 16．（本题15分）设全集 ，已知函数 的定义域为集合 ， 集合 ． （1）当 时，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先由定义域求出 ，再求补集与交集，可借助数轴；（2） 等价于 ，需按 是否为空集分类． 【详解】（1）由 且 得 ，故 ． 当 时，，所以 ． 故 ． （2） 等价于 ． ① 当 ，即 时，，满足 ； ② 当 时，，由 得 且 ，即 且 ，故 ． 综上， 的取值范围是 ． 17．（本题15分）已知命题 ：， 成立；命题 ：， 成立． （1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 ， 中恰有一个为真命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）“恒成立”转化为判别式小于 ；（2）先分别求出 、 为真的条件，再按“一真一假”分两类求并集． 【详解】（1）因为对任意 都有 ，所以 ，解得 ， 即 的取值范围是 ． （2）命题 为真时，存在 使 ，故 ，即 或 ． ① 若 真 假： 且 ，得 ； ② 若 假 真： 或 ，且 或 ，得 或 ． 综上， 的取值范围是 ． 18．（本题17分）已知函数 ，． （1）若 且 ，，求 的最小值； （2）当 时，求关于 的不等式 的解集． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由 得 ，把目标式化为一个变量的函数后用基本不等式；（2）先因式分解，再按 的符号与两根大小分类讨论． 【详解】（1）因为 ，由 得 ． 设 ，则 ，代入 得 ，． 所以 ， 当且仅当 ，即 ，结合 得 ， 时取等号． 故 的最小值为 ． （2）因为 ，所以 即 ． ① 当 时，两边同除以 得 ，又 ，解集为 ； ② 当 时，，解集为 ； ③ 当 时，，解集为 ； ④ 当 时，，解集为 ； ⑤ 当 时，，解集为 ． 19．（本题17分）已知二次函数 ， 有两个实数根 ，． （1）若 ，，，求实数 的取值范围； （2）若 ，，记 在 的最小值为 ，求 的表达式； （3）若 ，，， 与 都是整数且 ，求 ， 的值． 【答案】（1） 或 ；（2）（）；（3）， 【解析】 【分析】（1）两不等实根即判别式大于 ；（2）、 定出 、 与 的关系，问题化为“动轴定区间”的最值，需按开口方向与对称轴位置分类；（3）由韦达定理把和、积都用 表示，利用整数性确定 ． 【详解】 方法一（判别式法 + 对称轴分类）： （1）当 时，．因 有两个不相等实根，故 ， 即 ，解得 或 ． （2）由 得 ；由 得 ，即 ．所以 （），其图象的对称轴为 ． ① 当 时，抛物线开口向上．若 ，即 ，则最小值在顶点处取得，； 若 ，即 ，则 在 上单调递减，． ② 当 时，抛物线开口向下，最小值只能在端点处取得，而 ，故 ． 综上，（）． （3）由 ， 得 ．因 ，故 ，方程 两边同除以 得 ， 由韦达定理 ，． 因 ， 都是整数，故 为整数，从而 为整数， 只能取 ，，，． 逐一检验：，， 时 分别为 ，，，对应方程的判别式 分别为 ，，，均非完全平方数，无整数根，舍去； 当 时，，结合 得 ，又 ，故 ，． 方法二（配方法 + 零点式 + 设元代入）： （1）配方得 ．因 有两个不相等实根，图象与 轴有两个不同交点，故最小值 ， 即 ，解得 或 ． （2）由 、 可设零点式 （），两根为 与 ，故对称轴为两根的中点 ． 闭区间上二次函数的最小值只能在端点或顶点（当顶点横坐标落在区间内）处取得，故比较三个候选值： ，，顶点值 ． 当 且 时，，顶点在区间内且开口向上，最小值即顶点值；当 时，， 在 上递减，最小值 ； 当 时开口向下，最小值在端点取得，而 ，故 ． 所以 （）． （3）由韦达定理得 ．设 （ 为整数），则 ，代入 得 ． 因 且 为整数，故 ，即 ． 检验整数 ： 得 或 ；而 ，， 均无整数解． 当 时 ，，此时 ，，符合题意；当 时 ，，与 矛盾，舍去． 故 ，，． 学科网（北京）股份有限公司 $