精品解析：上海市延安初级中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

上海市延安初级中学2026学年第一学期初三年级数学期中阶段性测试试卷 （测试时间：100分钟 满分：150分） 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：、中含分式，不是二次函数，不符合题意； 、中自变量最高次数为，二次项系数不为，是二次函数； 、中自变量最高次数为，是一次函数，不符合题意； 、含二次根式，不是二次函数，不符合题意． 2. 下列选项中的两个图形一定相似的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个矩形 C. 两个菱形 D. 两个正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．由此逐项判断即可． 【详解】解：A．两个等腰三角形，对应角不一定相等，不一定相似，不合题意； B．两个矩形，对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，不合题意； C．两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，不合题意； D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 故选：D． 3. 关于抛物线以下说法正确的是（ ） A. 抛物线在直线右侧的部分是上升的 B. 抛物线在直线右侧的部分是下降的 C. 抛物线在直线右侧的部分是上升的 D. 抛物线在直线右侧的部分是下降的 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的抛物线解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线在直线右侧的部分是上升，故选项A、B错误，不符合题意； 抛物线在直线右侧的部分是上升的，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意； 故选∶C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4. 在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，点与原点的连线与轴正半轴的夹角是，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作轴垂线构造直角三角形，将点坐标转化为直角边长，结合勾股定理与余弦定义求解． 【详解】解：过点作轴，垂足为（如图）． ∵点的坐标为， ∴，． 由勾股定理得，． 在直角三角形中，． 5. 如图，在的正方形网格图中，每个最小的正方形的边长为1，是一个格点三角形．如果要在该网格图中画出一个与相似的格点三角形，且面积最大，那么这个三角形最长的边等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的三边长及比例，再根据网格限制确定相似三角形最大边长的可能值，验证是否为格点线段． 【详解】解：由图可知，，， 三边之比为， 设所求三角形三边长为， 在网格中，最长格点线段为， 最长边，即， 三边均为格点线段， 需使均为两整数平方和， 当时，，三边平方为，，，，均符合题意， 此时最长边为， 当时，不是两整数平方和，不合题意， 最大面积三角形的最长边为5． 二、填空题（每题4分，共44分） 6. 如果，那么的值等于_______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】将待求分式拆分为含已知比值的形式，直接代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 7. 如果二次函数有最大值，那么a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，二次函数有最大值时抛物线开口向下，对应二次项系数为负数，据此列不等式求解； 【详解】解：∵二次函数有最大值， ∴抛物线开口向下，二次项系数小于0， 即， ∴． 8. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 5 2 2 5 10 … 如果点在此抛物线上，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目表中数据，利用待定系数法确定函数关系式，再由点在此抛物线上，代值求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，解得， 抛物线解析式为， 点在此抛物线上， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数求值，涉及待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数解析式的求法是解决问题的关键． 9. 已知点P在线段上，如果，，那么的长为_______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】设的长为未知数，结合线段和差关系表示出，利用比例的基本性质列一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根即可求解． 【详解】解：设的长为， ∵点在线段上，， ∴， ∵， ∴由比例的基本性质可得 将，，代入上式，得 ， 整理得， 解得，， ∵线段长度为正值，，不符合实际意义，舍去， ∴的长为． 10. 如图，已知，点E、F分别在、上，与交于点G，如果，，那么的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，结合已知比例和线段长度计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由点的坐标得到位似比，由此可求解坐标． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即． 12. 公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠的最大离地高度是________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】∵， ∴时，y取最大值， 即水珠的高度达到最大米时，水珠与喷头的水平距离是2米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式． 13. 如图，在中，，是边上的中线．如果，，那么的长为_______． 【答案】 6 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得出及，结合三角函数定义求解即可 ． 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴，，  ∴，  ∵，  ∴，  在中，， ∴， ∴． 14. 如图，矩形的边在的边上，顶点D、G分别在边、的延长线上．已知的边长60，高为40．如果，那么的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，由矩形的性质可知，进而证得，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解． 【详解】解：设，  ，  ，  四边形是矩形，  ，，  在上，  ，即为点到的距离，  ， 延长交于点，  ，，  ，即为边上的高，   顶点、分别在边、的延长线上， 点在与之间，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ， ∴． 15. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与，我们把叫做点与点的“直角距离”．已知点在抛物线上，且在对称轴的右侧．如果点到该抛物线的顶点的“直角距离”为，那么点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先通过配方法求出抛物线的顶点坐标与对称轴，结合点在对称轴右侧的条件化简绝对值表达式，再依据“直角距离”的定义列方程求解，舍去不符合横坐标范围的解，最终得到点的坐标． 【详解】解：将抛物线解析式配方得 ∴抛物线顶点的坐标为，对称轴为直线 ∵点在抛物线对称轴右侧 ∴设点的横坐标为，满足 根据“直角距离”的定义，点与点的直角距离为 ∵ ∴，即 ∵点在抛物线上 ∴，即 ∵ ∴，即 根据题意，直角距离为12 ∴ 设()，方程化为 解得， ∵ ∴舍去，取，即， 将代入抛物线解析式，得 ∴点的坐标为 16. 如图，在中，，是边上的高，将绕着点D旋转，点A、C分别对应点E、F．当直线与直线重合时，设与交于点O，如果，那么的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用表示出的长；根据旋转性质和等腰三角形性质确定点 在延长线上，并求出的长；通过作平行线构造相似三角形，分别求出和的值；最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：设 ， ， ∴， ， ，， ，， 由旋转性质可知， ，，， ， ， ， ∴， 过点作于点， 在中，，， ，， ， ， 过点作交于点， 为中点， ∴， 为中点， ∴， ， ， 过点作交于点， 为中点， ∴同理为中点， ∴，， ， ， ， ， ， ， 过点分别作的垂线，垂足为， ∴， ∵ ∴， ． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】代入特殊角的三角函数值，分别化简根式与分式，再合并得到最终结果； 【详解】解：原式 ． 18. 已知二次函数，其中k为实数． （1）求证：该函数图像一定在x轴下方； （2）如果将上述二次函数的图像向上平移4个单位后，恰好与x轴只有一个交点A(点A在x轴的负半轴上)，且与y轴交于点B，求的长． 【答案】（1）证明： ∵二次函数的二次项系数， ∴抛物线开口向下． ． ∵， ∴， ∴， ∴抛物线与轴无公共点， ∴该函数图像一定在轴下方． （2）的长为． 【解析】 【分析】（1）结合二次函数开口方向与判别式符号，证明图像与轴无交点且开口向下，从而得证． （2）先由平移规律得新函数解析式，利用与轴仅有一个交点求，结合点位置确定值，再求、坐标，用勾股定理算长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将原二次函数图像向上平移4个单位后， 所得函数解析式为． ∵平移后的函数图像与轴只有一个交点， ∴， 即， 解得或． ∵点为抛物线的顶点，横坐标为，且点在轴负半轴， ∴，即， ∴． ∴平移后的函数解析式为， ∴顶点的坐标为． 令，得， ∴点的坐标为． ∵点在轴上，点在轴上， ∴为直角三角形，，， 由勾股定理得． 19. 某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄老年人家庭免费安装智能门锁．如图，在侧面示意图中，某人站在门外距离门底部点米的处时，智能门锁的摄像头恰好能拍摄到站立点的俯角为，头顶的仰角为．已知，，求此人的身高．（结果精确到米） （参考数据：，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】过点A作于点C，根据题意可知：四边形是矩形，米，根据三角函数求出，即可求解． 【详解】解：过点A作于点C， 根据题意可知：四边形是矩形， 米， 在中， ， ∴， 在中，， 米， ∴米， 答：此人的身高约为米． 20. 如图，在平行四边形中，点E在边上，连接交对角线于点F，． （1）求证：； （2）如果的平分线分别与、交于点G、H，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；​ （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， 在和中：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据证明，得出，根据平行四边形的性质证明，，得出，证明，即可证明； （2）证明，结合，即可解答； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 从课本的学习中我们知道“顺次连接三角形三边中点得到的三角形与原三角形相似，且相似比为”．现在我们只保留两边的中点，并将它们与第三边上的点顺次连接．如果得到的新三角形与原三角形相似，那么第三边上的这个点应该在怎样的位置上呢？我们把这个问题用符号语言表示出来： 已知在中，点、点分别是边、的中点，点在边上． （1）如图，如果，求证：点是边的中点； （2）如果，那么请你在图中利用无刻度的直尺和圆规作出符合要求的．（要求：保留作图痕迹并写出答句） 【答案】（1）∵、分别是、的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵是的中点，∴． ∴，即是的中点． （2）如图，即为所求作． 【解析】 【分析】（1）由中点条件得，把相似给出的对应角相等转化为平行关系，再用相似三角形的对应边成比例求出与的关系； （2）由相似的对应边关系反推应满足的线段关系，利用直角三角形斜边中线的性质把问题化为过点作的垂线，再用尺规作垂线． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：以点为圆心、适当长为半径画弧，交边于两点． 分别以这两点为圆心、大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧在的另一侧交于一点． 过点与这个交点作直线，交边于点，连接、． ∵． ∴． ∵，是的中点． ∴． ∵，是的中点． ∴． ∵、分别是、的中点． ∴． ∴． ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． （1）当时，抛物线与轴的负半轴交于点B，与x轴的正半轴交于点C， ①如果点A的坐标为，且，求该抛物线的表达式； ②连接、，如果，求c的值； （2）填空：已知、，将点A向右平移2个单位得点D，点D恰好落在抛物线上．如果抛物线与线段只有一个交点，且，那么a的取值范围是_______________． 【答案】（1）①；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据点A的坐标推出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可；②设，则，可证明，，证明，得到，据此求解即可； （2）根据平移方式求出点D的坐标，进而求出b与a的关系，从而得到抛物线的解析式；再分两种情况：当时，可证明点一定在点的下方，此时抛物线与线段有且只有一个交点；当时， 点一定在点的上方，则点一定要在点的下方或二者重合，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点C在x轴的正半轴， ∴， ∵， ∴， 把点A和点C的坐标代入解析式得， ∴， ∴抛物线的解析式为； ②设，则， 当时，， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴； 如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，将点A向右平移2个单位得点D， ∴； ∵点D恰好落在抛物线上， ∴， ∴， 又∵， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； 当时，， ∴此时抛物线的顶点在第四象限； 在中，当时，， ∵， ∴此时点一定在点的下方， 又∵在第一象限， ∴此时抛物线与线段有且只有一个交点； 当时，此时抛物线的顶点在第一象限，且， ∴此时点一定在点的上方； 在中，当时，， 要使抛物线与线段有且只有一个交点，则点一定要在点的下方或二者重合， ∴， ∴； 综上所述，或． 23. 已知在正方形中，是边上的一点，连接，作，垂足为点，连接． （1）如图1，过点作，分别交、于点、． ①如果，，求的正弦值； ②如果，，求的长； （2）如图2，连接，如果，且，求的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）先由把、用正方形的边长与表示出来，再由得，把与联系起来； ①利用、把转化为；②把化为后直接求解； （2）由及与的关系求出与的比，再利用两条高的比例求两个三角形的面积比． 【小问1详解】 解：设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即， ①∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②由，得， ∵，， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴，， 由得，即， 整理得，即， ∴或， 当时，，，， 此时，与矛盾，故舍去， ∴，， ∵，点到的距离为，点在边上， ∴点到的距离为， 同理，点到的距离为， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市延安初级中学2026学年第一学期初三年级数学期中阶段性测试试卷 （测试时间：100分钟 满分：150分） 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中的两个图形一定相似的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个矩形 C. 两个菱形 D. 两个正方形 3. 关于抛物线以下说法正确的是（ ） A. 抛物线在直线右侧的部分是上升的 B. 抛物线在直线右侧的部分是下降的 C. 抛物线在直线右侧的部分是上升的 D. 抛物线在直线右侧的部分是下降的 4. 在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，点与原点的连线与轴正半轴的夹角是，那么的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的正方形网格图中，每个最小的正方形的边长为1，是一个格点三角形．如果要在该网格图中画出一个与相似的格点三角形，且面积最大，那么这个三角形最长的边等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共44分） 6. 如果，那么的值等于_______． 7. 如果二次函数有最大值，那么a的取值范围是_______． 8. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 5 2 2 5 10 … 如果点在此抛物线上，那么___________． 9. 已知点P在线段上，如果，，那么的长为_______． 10. 如图，已知，点E、F分别在、上，与交于点G，如果，，那么的长为_______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 12. 公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠的最大离地高度是________米． 13. 如图，在中，，是边上的中线．如果，，那么的长为_______． 14. 如图，矩形的边在的边上，顶点D、G分别在边、的延长线上．已知的边长60，高为40．如果，那么的长为_______． 15. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与，我们把叫做点与点的“直角距离”．已知点在抛物线上，且在对称轴的右侧．如果点到该抛物线的顶点的“直角距离”为，那么点的坐标为_______． 16. 如图，在中，，是边上的高，将绕着点D旋转，点A、C分别对应点E、F．当直线与直线重合时，设与交于点O，如果，那么的值为_______． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 18. 已知二次函数，其中k为实数． （1）求证：该函数图像一定在x轴下方； （2）如果将上述二次函数的图像向上平移4个单位后，恰好与x轴只有一个交点A(点A在x轴的负半轴上)，且与y轴交于点B，求的长． 19. 某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄老年人家庭免费安装智能门锁．如图，在侧面示意图中，某人站在门外距离门底部点米的处时，智能门锁的摄像头恰好能拍摄到站立点的俯角为，头顶的仰角为．已知，，求此人的身高．（结果精确到米） （参考数据：，，，） 20. 如图，在平行四边形中，点E在边上，连接交对角线于点F，． （1）求证：； （2）如果的平分线分别与、交于点G、H，求证：． 21. 从课本的学习中我们知道“顺次连接三角形三边中点得到的三角形与原三角形相似，且相似比为”．现在我们只保留两边的中点，并将它们与第三边上的点顺次连接．如果得到的新三角形与原三角形相似，那么第三边上的这个点应该在怎样的位置上呢？我们把这个问题用符号语言表示出来： 已知在中，点、点分别是边、的中点，点在边上． （1）如图，如果，求证：点是边的中点； （2）如果，那么请你在图中利用无刻度的直尺和圆规作出符合要求的．（要求：保留作图痕迹并写出答句） 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． （1）当时，抛物线与轴的负半轴交于点B，与x轴的正半轴交于点C， ①如果点A的坐标为，且，求该抛物线的表达式； ②连接、，如果，求c的值； （2）填空：已知、，将点A向右平移2个单位得点D，点D恰好落在抛物线上．如果抛物线与线段只有一个交点，且，那么a的取值范围是_______________． 23. 已知在正方形中，是边上的一点，连接，作，垂足为点，连接． （1）如图1，过点作，分别交、于点、． ①如果，，求的正弦值； ②如果，，求的长； （2）如图2，连接，如果，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $