精品解析：重庆市四川外国语大学附属外国语学校2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

2026-2027 学年度(上)高 2029 届期中考试 数学试题 (满分 150 分， 时间 120 分钟) 一、单选题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分.在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A. B. C. D. 3. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 观察下表： x 1 2 3 5 1 3 5 1 4 2 3 则（ ） A. B. C. 3 D. 5 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题: 本题共 3 小题， 每题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全. 对的得 6 分， 部分选对的得部分分. 9. 已知 ，，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，则 D. 若 ，，则 ， 10. 下列说法正确的是 （ ） A. 命题: “ ” 的否定是 “ ” B. 函数 （且）的图象恒过定点 C. 已知函数 的定义域为 ，则的定义域为 D. 函数的值域为 11. 已知，，为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题: 本题共 3 小题， 每题 5 分， 共 15 分. 12. 若函数是指数函数，则________． 13. 若，，则____________．（用，表示） 14. 已知函数是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数m的取值范围为________． 四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1）； （2）. 16. 已知集合，集合. （1）求集合，； （2）若是成立的__________条件（请在①充分不必要，②必要不充分，③充分，④必要中任选一个补充在问题（2）中，判断实数是否存在，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求、的值及的解析式; （2）求函数在上的值域； （3）直接写出函数在上的单调区间. (无需理由) 18. 第24届冬奥会计划于2022年2月4日在北京召开，随着冬奥会的临近，中国冰雪运动也快速发展，民众参与冰雪运动的热情不断高涨．盛会的举行不仅带动冰雪活动，更推动冰雪产业快速发展．某冰雪产业器材厂商，生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为万元，其中与x之间的关系为：，通过市场分析，当每千件产品售价为40万元时，该厂年内生产的商品能全部销售完． （1）写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 19. 在数学中， 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数， 最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数 (历史上著名的“悬链线问题”与之相关). 记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为，且具有如下性质：（1）为奇函数，为偶函数；（2）（常数是自然对数的底数）. 利用上述性质，解决以下问题: （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式，证明：； （2）令，判断并证明的奇偶性和单调性； （3）在（2）的情况下，对任意均有：，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年度(上)高 2029 届期中考试 数学试题 (满分 150 分， 时间 120 分钟) 一、单选题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分.在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用负数不能开平方及分母不能等于0，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】解：函数， 则， 解得且， 则函数的定义域为. 2. 下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项判断即可得答案. 【详解】函数的定义域为， 对于A，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，且对应关系与函数相同，故B正确； 对于C，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，且，则对应关系与函数不相同，故D错误. 故选：B. 3. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】集合， 所以， 所以集合C的子集个数为. 4. 观察下表： x 1 2 3 5 1 3 5 1 4 2 3 则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格求出，，再求出即可得解. 【详解】由题中表格得，， ∴， 故选：D. 【点睛】此题考查函数概念辨析，根据表格形式表示的函数关系求函数值. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性排除D，再根据时，，故排除AB即可得答案. 【详解】解：函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，故排除D， 由于，故当时，，故排除AB， 故选：C 7. 已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 8. 已知正数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先令，将原式化为，再利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】令，联立解得， 则原式可化为， 由基本不等式可知，当且仅当，即时取等号， 此时，所以取最大值为，即的最大值为. 二、多选题: 本题共 3 小题， 每题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全. 对的得 6 分， 部分选对的得部分分. 9. 已知 ，，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，则 D. 若 ，，则 ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】逐项利用不等式的基本性质判断，注意不等式两边同乘或同除以一个数时符号的影响. 【详解】A 项，取 ，，，，满足 ，， 但 ，， 不成立，A 错误. B 项，由 得 .又，两边同除以，得， 所以，即，B 正确. C 项， 时，，，所以；而，故，C 正确. D 项，.因为，所以，从而，即 异号； 又，所以，，D 正确. 10. 下列说法正确的是 （ ） A. 命题: “ ” 的否定是 “ ” B. 函数 （且）的图象恒过定点 C. 已知函数 的定义域为 ，则的定义域为 D. 函数的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A：由命题的否定可判断.选项B：由找定点.选项C：根据复合函数的定义域求法求解.选项D：用换元法求值域. 【详解】选项A：命题: “ ” 的否定是 “ ”，A正确. 选项B：由，函数 的图象恒过定点，B错误. 选项C：由函数 的定义域为，由，得， 函数的定义域为，令，得， 的定义域为，C正确. 选项D：令，函数 的图象开口向下，且对称轴为， 故，，，函数的值域为，D错误. 11. 已知，，为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，结合基本不等式和解一元二次不等式即可判断选项A；由，结合基本不等式和解一元二次不等式即可判断选项B；根据题意变形得，由，结合基本不等式即可判断选项C；由，化简再结合基本不等式即可判断选项D． 【详解】A：由，且，为正实数， 则，即，解得， 则，当且仅当，即，时取等号，故A正确； B：由，且，为正实数，则， 即， 所以，当且仅当，即，时取等号，故B正确； C：由，且，为正实数，则得， 则， 当且仅当，即时取等号，故C错误； D：由C可得， 则， 又因为， 当且仅当，，即时取等号，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题: 本题共 3 小题， 每题 5 分， 共 15 分. 12. 若函数是指数函数，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】由指数函数定义可得答案. 【详解】因为指数函数，则， 由，可得或， 综上，. 故答案为：4 13. 若，，则____________．（用，表示） 【答案】 【解析】 【详解】. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意计算可得函数在上的单调性，再利用为偶函数可得性质，再将及化为形式后，利用单调性及对称性计算即可得. 【详解】由，得， 即， 令，则当且时，有， 故在上单调递增. 因为是定义在上的偶函数，则， 所以也是定义在上的偶函数， 因为，所以， 又因为， 则可化为， 化简得，即， 所以，即有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则直接求解即可； （2）根据对数运算法则直接求解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知集合，集合. （1）求集合，； （2）若是成立的__________条件（请在①充分不必要，②必要不充分，③充分，④必要中任选一个补充在问题（2）中，判断实数是否存在，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】（1），； （2）选①，选③：的取值范围是；选②，选④：的取值范围是； 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式即可求出集合，; （2）选①，得集合是集合的真子集;选②，得集合是集合的真子集; 选③，得集合是集合的子集;选④，得集合是集合的子集，然后分别列出不等式即可求解 【小问1详解】 因为，即，解得， 所以， 因为，即，又因为，所以， 故； 【小问2详解】 若选①：因为是的充分不必要条件，所以， 则有且等号不同时成立，解得，故存在实数， 所以的取值范围是； 若选②：因为是的必要不充分条件，所以， 则有且等号不同时成立，解得，故存在实数， 所以的取值范围是； 若选③：因为是的充分条件，所以， 则有，解得，故存在实数， 所以的取值范围是； 若选④，因为是的必要条件，所以， 则有，解得，故存在实数， 所以的取值范围是. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求、的值及的解析式; （2）求函数在上的值域； （3）直接写出函数在上的单调区间. (无需理由) 【答案】（1），，， （2） （3）单调递减区间为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义域关于原点对称的性质求解参数，结合奇函数在处的函数值为求解并验证性质. （2）再通过代数化简、换元法将目标函数转化为二次函数，结合二次函数性质求解值域. （3）结合二次函数性质和复合函数的单调性求解单调区间. 【小问1详解】 由题知，，由区间关于原点对称，， ，. 【小问2详解】 由（1）知，，， 令，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，由， ，值域为. 【小问3详解】 由（2）知，，令， ，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增， 当，即时，函数在上单调递减， 当，即时，函数在上单调递增， 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 18. 第24届冬奥会计划于2022年2月4日在北京召开，随着冬奥会的临近，中国冰雪运动也快速发展，民众参与冰雪运动的热情不断高涨．盛会的举行不仅带动冰雪活动，更推动冰雪产业快速发展．某冰雪产业器材厂商，生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为万元，其中与x之间的关系为：，通过市场分析，当每千件产品售价为40万元时，该厂年内生产的商品能全部销售完． （1）写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 【答案】（1） （2）年产量为72千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为360万元 【解析】 【分析】（1）根据年利润=年销售额另投入成本固定成本即可求出答案； （2）通过分段讨论，求分段函数的最大值即可. 【小问1详解】 当，时，； 当，时，， 所以. 【小问2详解】 当，时，，对称轴为， 所以当时，取得最大值； 当，时， ，当且仅当，即时取等号 所以取得最大值， 综上所述，当时，取得最大值 即年产量为72千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为360万元. 19. 在数学中， 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数， 最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数 (历史上著名的“悬链线问题”与之相关). 记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为，且具有如下性质：（1）为奇函数，为偶函数；（2）（常数是自然对数的底数）. 利用上述性质，解决以下问题: （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式，证明：； （2）令，判断并证明的奇偶性和单调性； （3）在（2）的情况下，对任意均有：，求实数的取值范围. 【答案】（1）为奇函数，为偶函数，，，， 由得，. 证明如下： ，， . （2）为奇函数；在上单调递增. 证明：由（1）知：， 的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 任取， ， ，，，， ，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性定义可构造方程组求得解析式，根据解析式可运算证得结论； （2）根据奇偶性定义可判断出为奇函数；任取，可证得，由单调性定义可得结论； （3）根据（2）中结论可将所求不等式化简为，令，参变分离可得；根据单调性定义可证得的单调性，求得，进而得到. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由得， 由（2）知在上单调递增，， 即，， 当时，， 在上单调递增，， 令，则，， 令， 任取， ， ，，， 在上单调递减，，， 即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下： （1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性； （2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $