精品解析：辽宁锦州市第八中学2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试卷

锦州市第八中学2026-2027学年度第一学期九年级期中测试数学试卷 考试时间共120分钟 试卷满分120分 考生注意：请在答题卡各题目规定区域内作答，答在本试卷上无效 一、选择题（本题包括10道小题，每题3分，共30分，每题只有一个最符合题目要求的选项） 1. 已知，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一张边长分别为4和10的矩形纸片对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到一个四边形．若，则这个四边形的周长为（ ） A. B. C. 16 D. 32 5. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象与轴交点为 D. 当时，随的增大而减小 7. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，的长为2，过点作，且，连接；以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；再以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 某学习小组将两块含角的全等三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究（如图1），其中，将沿射线DB方向平移，得到，分别连接（如图2），下列关于四边形的说法正确的个数有（ ） ①一直是平行四边形；②平移后是矩形；③平移后是菱形；④在平移的过程中，依次会出现矩形、菱形、正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，若为的中点，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 二．填空题（本题包括5道小题，每题3分，共15分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则_____________． 12. 若关于的方程的两根互为相反数，则的值为_____________． 13. 如图，，如果，，，那么_____________． 14. 如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为______． 15. 如图，的顶点是坐标原点，点，点，动点在上，连接，过点作，垂足为，连接，则的最小值为______． 三．解答题（本题包括2道小题，16题10分，17题8分，共18分） 16. 计算： （1）（配方法）； （2）． 17. 在如图所示的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置，并写出点的坐标； （2）以原点为位似中心，在第三象限画出的位似图形，使它与的相似比为2：1，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，若点是线段上一点，则线段上点的对应点的坐标为____________． 四．解答题（本题包括3道小题，18题8分，19题9分，20题8分，共25分） 18. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 19. 2026年9月，在全球顶级超长越野赛“巨人之旅”中，中国运动员昼夜鏖战，最终斩获冠军．某户外俱乐部借此推出“迷你巨人之旅”青少年徒步营．原计划每期招收营员20人，人均收费1200元．为让更多青少年体验越野文化，俱乐部决定扩大规模：在20人的基础上，每多招1名营员，所有营员的人均收费就降低20元（但人均收费不低于800元）． （1）若每期招收营员25人，则人均收费为____________元，若每期招收营员人，则人均收费为____________元；（用含的代数式表示） （2）若该俱乐部希望每期总营收达到30000元，每期应招收多少名营员？ （3）每期总营收能达到36000元吗？若能达到，应招收多少名营员？若不能达到，说明理由． 20. 阅读下面材料： 与一元二次方程的根有关的问题，我们能够通过构造一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的有关知识将其解决： 材料：利用韦达定理可以分解因式．如果、是一元二次方程的两个实数根，那么，例如：的两个根为、，则； 材料：利用韦达定理逆向构造．例如：如果实数，满足，，则可以将，看作方程的两个实数根． 材料：利用根的定义构造．例如：如果实数、满足，且，则可将、看作方程的两个不相等的实数根． 通过阅读，解决下列问题： （1）若一元二次方程的两根分别为，，且，，直接写出这个方程：_______________． （2）已知、是方程的两个根，则_____________． （3）已知实数、满足，，且，求的值． （4）因式分解：． 五．解答题（本题包括3道小题，21题8分，22小题、23题各12分，共32分） 21. 利用描点法画二次函数的图像，列表如下： … 0 1 2 … … 5 0 … （1）该二次函数的顶点坐标是________________，与轴交点坐标为______________． （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． （3）根据图象，回答下列问题： ①若点、都在该函数图象上，则、的大小关系为____________； ②当时，写出因变量的取值范围：____________； ③将该抛物线的图象向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为_____________． 22. 将正方形的边绕点逆时针旋转得到，连接交边于点，平分交于点，连接、． （1）如图1，求证：． （2）如图2，连接交于点， ①求证：． ②连接，若，，直接写出的值． 23. 在二次函数中， （1）若它的图象过点，求的值； （2）当时，的最小值为，求出的值； （3）当时，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦州市第八中学2026-2027学年度第一学期九年级期中测试数学试卷 考试时间共120分钟 试卷满分120分 考生注意：请在答题卡各题目规定区域内作答，答在本试卷上无效 一、选择题（本题包括10道小题，每题3分，共30分，每题只有一个最符合题目要求的选项） 1. 已知，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知比例式转化为等积式，以此验证各选项是否成立． 【详解】解：由得. 选项A：与不一致，错误． 选项B：，错误． 选项C：取，，满足，代入得，错误． 选项D：，，由得，即，，正确． 2. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三视图，根据左视图的定义进行解答即可． 【详解】解：如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是： ； 故选：C． 3. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断． 【详解】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，不符合题意； B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，不符合题意； C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，符合题意； D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，不符合题意． 4. 如图，将一张边长分别为4和10的矩形纸片对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到一个四边形．若，则这个四边形的周长为（ ） A. B. C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠可知展开图是菱形，边为，，在中，则，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半可得结论． 【详解】解：由剪纸及折叠可得所得四边形是菱形边长为， ∵中， ∴， ∴， ∵， ∴， 四边形周长为： 5. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据二次函数定义，需保证化简后最高次为2次且二次项系数不为0，逐一判断选项． 【详解】解：A选项，，是一次函数，不符合要求． B选项，，未明确，不一定是二次函数，不符合要求． C选项，，二次项系数为，是二次函数，符合要求． D选项，，是一次函数，不符合要求． 6. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象与轴交点为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，图象开口向上，故A错误； ∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，故B错误； 令，得，即图象与轴交点为，故C错误； ∵，图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D正确． 7. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm，根据该无盖纸盒的底面积为625cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵剪去小正方形的边长为x cm， ∴该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm． 依题意得：（45-2x）（25-2x）=625． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 如图，在中，的长为2，过点作，且，连接；以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；再以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直定义可得，由已知得，在中，利用勾股定理求出的长，再根据作图可得：，，从而求出的长． 【详解】解：， ， ，， ， ， 由作图得：，， ． 9. 某学习小组将两块含角的全等三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究（如图1），其中，将沿射线DB方向平移，得到，分别连接（如图2），下列关于四边形的说法正确的个数有（ ） ①一直是平行四边形；②平移后是矩形；③平移后是菱形；④在平移的过程中，依次会出现矩形、菱形、正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据平移的性质得，，因此在平移的过程中，四边形一直是平行四边形，由此可对结论①进行判断； ②先计算出，，则当平移后，则，进而得，，然后根据得为直角三角形，则四边形是矩形，由此可对结论②进行判断； ③当平移后，点与点重合，此时点，，在同一条直线上，则，，且，此时四边形是菱形，由此可对结论③进行判断； ④由①②③可知平移后是矩形，平移后是菱形，在其它情况下是平行四边形，而四边形在既是矩形又是菱形时才是正方形，由此得在平移的过程中，不可能出现正方形，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①，且，，， ，， 根据平移的性质得：，， 在平移的过程中，四边形一直是平行四边形， 故结论①正确； ②在中，，，， ， 由勾股定理得：， 当平移后，则，如图1所示： ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， 为直角三角形，即， 四边形一直是平行四边形， 此时四边形是矩形， 故结论②正确； ③， 当平移后，点与点重合，此时点，，在同一条直线上，如图所示： ，，且， 四边形是菱形， 故结论③正确； ④由①②③可知：平移后是矩形，平移后是菱形，在其它情况下是平行四边形， 又四边形在既是矩形又是菱形时才是正方形， 在平移的过程中，不可能出现正方形， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，图形的平移变换及性质，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，勾股定理等，理解全等三角形的性质，图形的平移变换及性质熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定是解决问题的关键． 10. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，若为的中点，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于，于，先证四边形是正方形；利用是中点，证明，得到，；再证，得到，建立线段方程求出参数关系，最后计算． 【详解】解：过点作，垂足为，，垂足为， 四边形是正方形，是对角线， ，， ，四边形是正方形， ，． 为的中点， ， 在和中， ， ． ， ， ， 又， ． 在和中， ， ． 设，则， ， ． ， ． ． 二．填空题（本题包括5道小题，每题3分，共15分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足的最高次数为2且二次项系数不为0，联立条件求解并排除不符合系数要求的取值． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴ ，， 由，移项得，解得或； 结合的要求，即，舍去的取值． ∴ ． 12. 若关于的方程的两根互为相反数，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】结合根与系数的关系，由两根互为相反数的条件得到的候选值，代入检验方程是否存在符合要求的实数根，舍去不符合的解． 【详解】解：设方程的两根分别为、， ∵ 两根互为相反数， ∴ ， 根据根与系数的关系，， ∴ ， 解得或， 当时，原方程化为，即，该方程无实数根，不符合题意，舍去． 当时，原方程化为，即，该方程有两个不相等的实数根，且两根互为相反数，符合题意． 13. 如图，，如果，，，那么_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 14. 如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键．根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故答案为：或． 15. 如图，的顶点是坐标原点，点，点，动点在上，连接，过点作，垂足为，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取线段的中点，连接，，则，，，故有，，再通过勾股定理求出，由，可得当三点共线时，有最小值，最小值为，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，取线段的中点，连接，， ∵点，点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为，如图， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴的最小值为． 三．解答题（本题包括2道小题，16题10分，17题8分，共18分） 16. 计算： （1）（配方法）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； （）把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 配方，得， 即 ， 开方，得， 即或， ∴，； 【小问2详解】 解：方程整理成一般式为， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 17. 在如图所示的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置，并写出点的坐标； （2）以原点为位似中心，在第三象限画出的位似图形，使它与的相似比为2：1，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，若点是线段上一点，则线段上点的对应点的坐标为____________． 【答案】（1）解：根据题意，作图如下， 则点P即为所求，且点坐标为． （2）解：根据题意，作图如下： 则即为所求，且点坐标为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据位似图形中对应点连线的交点为位似中心，作图即可； （2）根据坐标系中位似图形的画法，解答即可； （3）根据坐标与位似比的关系，解答即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：略； 四．解答题（本题包括3道小题，18题8分，19题9分，20题8分，共25分） 18. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， 又， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形 （2）9.6 【解析】 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”，得，又平分, 故. 因此，根据“等角对等边”，得，再证明四边形是平行四边形，又，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形，得平行四边形是菱形”进行证明即可； （2）由四边形是菱形得，，，在中，求出，得，在中，求出，根据两种方式表达菱形的面积可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 19. 2026年9月，在全球顶级超长越野赛“巨人之旅”中，中国运动员昼夜鏖战，最终斩获冠军．某户外俱乐部借此推出“迷你巨人之旅”青少年徒步营．原计划每期招收营员20人，人均收费1200元．为让更多青少年体验越野文化，俱乐部决定扩大规模：在20人的基础上，每多招1名营员，所有营员的人均收费就降低20元（但人均收费不低于800元）． （1）若每期招收营员25人，则人均收费为____________元，若每期招收营员人，则人均收费为____________元；（用含的代数式表示） （2）若该俱乐部希望每期总营收达到30000元，每期应招收多少名营员？ （3）每期总营收能达到36000元吗？若能达到，应招收多少名营员？若不能达到，说明理由． 【答案】（1）1100， （2）30名 （3）解：不能．理由如下： 由题意： 原方程无实数根 营收不能达到36000元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，得元，元； （2）构造一元二次方程，并解方程即可； （3）构造方程，利用根的判别式，求解即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：由题意： 解得：， 时，（元） 时，（不合题意，舍去） 每期应招收30名营员． 【小问3详解】 解：略． 20. 阅读下面材料： 与一元二次方程的根有关的问题，我们能够通过构造一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的有关知识将其解决： 材料：利用韦达定理可以分解因式．如果、是一元二次方程的两个实数根，那么，例如：的两个根为、，则； 材料：利用韦达定理逆向构造．例如：如果实数，满足，，则可以将，看作方程的两个实数根． 材料：利用根的定义构造．例如：如果实数、满足，且，则可将、看作方程的两个不相等的实数根． 通过阅读，解决下列问题： （1）若一元二次方程的两根分别为，，且，，直接写出这个方程：_______________． （2）已知、是方程的两个根，则_____________． （3）已知实数、满足，，且，求的值． （4）因式分解：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（）利用韦达定理逆向构造即可； （）由一元二次方程根的定义及根和系数的关系得，，再代入代数式计算即可求解； （）由根的定义可得，是方程的两个实数根，进而由根和系数的关系得到，，再把原式因式分解后代入计算即可求解； （）利用公式法求出方程的两根，再利用韦达定理分解因式即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两根，满足，， ∴这个方程为； 【小问2详解】 解：∵、是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，， ，是方程的两个实数根， ，， ； 【小问4详解】 解：， ，， ∵， ， ，， ∴． 五．解答题（本题包括3道小题，21题8分，22小题、23题各12分，共32分） 21. 利用描点法画二次函数的图像，列表如下： … 0 1 2 … … 5 0 … （1）该二次函数的顶点坐标是________________，与轴交点坐标为______________． （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． （3）根据图象，回答下列问题： ①若点、都在该函数图象上，则、的大小关系为____________； ②当时，写出因变量的取值范围：____________； ③将该抛物线的图象向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为_____________． 【答案】（1）， （2）解：根据列表，描点，连线，作图如下： （3）①；②；③或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得抛物线的对称轴为直线，确定对应的函数值即为该二次函数的顶点坐标，确定当时，对应的函数值，即可得到与轴交点坐标． （2）根据列表，描点，连线，作图象即可． （3）①利用函数的增减性，比较点的横坐标与对称轴的距离的大小，解答即可； ②先确定抛物线的解析式，再确定函数的最大值，最小值，解答即可； ③根据二次函数的平移思想解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得抛物线的对称轴为直线，根据图表，得当时，对应的函数值为，故抛物线的顶点坐标为，当时，对应的函数值为，故与轴交点坐标为． 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 ①解：∵， ∴抛物线的开口向上． ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． ∵对称轴为直线，，，且， ∴． ②解：当时，在这个范围内， 故函数的最小值为； ∵对称轴为直线，，，且， ∴当时，取得最大值， ， 解得， ∵与轴交点坐标为， ， 故抛物线的解析式为， 故当时，， 故因变量的取值范围为：． ③解：根据题意，得， 故该抛物线的图象向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为或． 22. 将正方形的边绕点逆时针旋转得到，连接交边于点，平分交于点，连接、． （1）如图1，求证：． （2）如图2，连接交于点， ①求证：． ②连接，若，，直接写出的值． 【答案】（1）证明：由旋转得：， 平分， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ． （2）①证明：由（1）得，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， 又， ， ，即， ； ② 【解析】 【分析】（1）首先证明，再证明，解答即可． （2）①证明，等量代换证明即可． ②延长交于点M，再等腰直角三角形中，求出，过点G作于点K，交的延长线于点N，设，则，利用勾股定理，分母有理化，解答即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 ①证明：略； ②解：∵正方形，， ∴； 延长交于点M， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点G作于点K，交的延长线于点N， ， ， 四边形是矩形， ， 设，则， 根据勾股定理，得，， ， ， 解得； ， 解得（负值舍去）， ， ， 根据勾股定理，得， （负值舍去）， ． 23. 在二次函数中， （1）若它的图象过点，求的值； （2）当时，的最小值为，求出的值； （3）当时，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入解析式，求解即可； （2）分，，三种情况，解答即可； （3）先确定抛物线的解析式，根据数形结合思想，直线与抛物线相切的条件，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得． 【小问2详解】 解：根据题意，得的对称轴为直线， 当时，在t的左边，而抛物线在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 故当时，函数取得最小值，此时， 故，解得，不满足，舍去； 当时，函数的最小值为抛物线的顶点坐标的纵坐标， 故当时，函数取得最小值，此时， 故， 解得，不满足，舍去； 故； 当时，在上，函数随x的增大而增大， 故时，函数取得最小值， 此时最小值为， 故， 解得，满足，符合要求； 综上所述，t的值为或； 【小问3详解】 解：当时，函数解析式为， 解方程，得， 故抛物线与x轴的负半轴的交点坐标为， 根据题意，得经过时，直线与抛物线有3个交点， 此时，解得； 根据题意，得， 此时，， 整理，得， 当直线与抛物线相切时，直线与抛物线有三个交点， 此时， 解得， 故当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $