精品解析：内蒙古巴彦淖尔市第一中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

巴彦淖尔市第一中学2026-2027学年第一学期期中考试 高二年级 数学试题 说明：1．总分150分，考试时间120分钟 2．把试题答案全部写在答题卡上． 一、选择题（每题只有一个正确答案，每题5分，共40分） 1. 已知直线经过点，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用两点坐标计算直线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，因为 ， 可得，结合，解得. 2. 点到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式，将点和直线的系数代入计算即可． 【详解】点到直线的距离为 3. 已知，，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，解得. 4. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ，2 B. ，4 C. ，2 D. ，4 【答案】C 【解析】 【详解】因为圆的方程可化为， 所以圆心坐标为，半径． 5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，. 6. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 7. 圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为，则该圆的半径为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的弦长公式，结合待定系数法进行求解即可. 【详解】圆C的圆心坐标为，设半径为， 圆C与轴相切，则有， 又因为圆心C在直线上， 所以，则 设圆心C到直线的距离为，， 因为圆C被直线截得弦长为， 所以有， 于是有，即， 所以， 即该圆的半径为3. 8. 已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据椭圆定义可得，进而可表示各边长，再结合余弦定理可得离心率. 【详解】 如图所示，设，则，， 由椭圆定义可知，， 则，，， 且， 则在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理可得， 即，化简可得， 即离心率为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知直线和直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线始终过点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，直线始终不过第三象限 【答案】AB 【解析】 【分析】由直线系方程求出直线所过定点判定A；由两直线平行与系数的关系列式求得值判断B；由两直线垂直与系数的关系列式求得值判断C，求出截距判断D即可. 【详解】对于A，由，即， 由，解得，所以始终过定点，故A正确； 对于B，由，得，解得或， 当时，，，两直线重合，不符合题意； 当时，，，此时，符合题意. 综上所述，，故B正确； 对于C，由，得，解得或，故C错误； 对于D，当时，， 则直线在轴上的截距为，因此直线过第一、二、三象限，故D错误． 10. 已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 过点且与直线平行的直线方程是 B. 直线在两坐标轴上的截距相等 C. 的取值范围为 D. 当时，圆面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】由平行设出直线方程，利用待定系数法求解判断A；求出横纵截距判断B；利用二次方程表示圆的条件列式判断C；求出圆的半径判断D. 【详解】对于A，设过点且与直线平行的直线方程为， 则，解得， 因此过点且与直线平行的直线方程是，A正确； 对于B，直线在轴上的截距分别为，它们不相等，B错误； 对于C，由圆：，即， 则，即，C正确； 对于D，当时，圆的半径，则圆的面积为，D错误. 11. 已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为0 C. 的最大值为16 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】将条件化为圆的标准方程，利用坐标范围及特殊点判断分式结论，将平方和转化为距离的平方，并利用不等式及取等条件求的最大值． 【详解】对于A，原方程可化为，表示以为圆心、半径为1的圆， 因此，，分式中的分母为正及为非负． 取，满足原方程，此时，故A错误； 对于B，由及得，当时满足原方程且等号成立， 故其最小值为0，故B正确； 对于C，设圆上动点为，定点为，则， 由，及三角不等式得， 当位于时等号成立，因此的最大值为，故C正确； 对于D，由重要不等式可得，所以， 当且仅当时等号成立， 由得 ， 所以，当时满足原方程且取得等号， 因此的最大值为，故D错误． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 经过点且与直线垂直的直线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两直线垂直的斜率关系求出所求直线的斜率，再结合直线过已知点，利用点斜式即可求得直线方程. 【详解】将已知直线化为斜截式，得其斜率. 若两条斜率存在的直线互相垂直，则斜率乘积为，因此所求直线的斜率. 已知所求直线过点，代入直线的点斜式方程得， 即. 13. 已知是椭圆上的一点，，为椭圆的左、右焦点，且，则的面积为________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用椭圆的定义和余弦定理求出，即可求出面积. 【详解】由椭圆方程知. ∵是椭圆上的一点，∴. 在中，，，则 ，那么. ∴的面积为. 14. 已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【答案】 【解析】 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以圆与圆相交， 将圆和圆方程相减可得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 四、解答题（13+15+15+17+17） 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）中心在原点，焦点在轴上，且经过两点和； （2）焦点在坐标轴上，且过点和的椭圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设焦点在y轴上的椭圆标准方程，代入已知两点用待定系数法求解参数； （2）设不含焦点位置限制的椭圆一般方程，代入两点求解参数后整理为标准方程. 【小问1详解】 已知椭圆中心在原点、焦点在轴上，设其标准方程为， 将点、分别代入方程，得方程组：，解得， 因此所求椭圆标准方程为。 【小问2详解】 由于椭圆焦点在坐标轴上且位置不确定，设其方程为， 将点、分别代入方程，得方程组：， 解得，代入，得椭圆的标准方程为. 16. 已知圆的圆心在直线上，且过点 （1）求圆的方程； （2）已知直线经过，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由点在直线上，可设出圆心坐标，利用圆上两点列出方程，求出圆心坐标即得方程； （2）首先结合图形判断点在圆上，设出直线，利用垂径定理将弦长问题转化为圆心到直线的距离问题求得，即得直线方程. 【小问1详解】 设圆心坐标为，因圆过点,故有,即：， 解得：，则,圆的半径为，故圆的方程为：. 【小问2详解】 如图，直线经过的点恰好在圆上，因直线被圆截得的弦长为2，故其斜率一定存在，设直线为， 即，过点作,垂足为，则,又,故得：, 即点到直线的距离为，解得：或，即直线的方程为：或. 17. 如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求锐二面角的余弦值； 【答案】（1）证明：在直三棱柱中，可得平面， 因为平面，所以， 在中，，且点是线段的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由直三棱柱可得线面垂直，从而得到线线垂直；再根据等腰三角形三线合一的性质可得线线垂直，最后利用线面垂直的判定定理即可得出证明；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再求出这两个法向量夹角余弦的绝对值，从而可以求出锐二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，可得平面，且， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 可得，且， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以； 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件确定的值，确定椭圆方程. （2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出，再利用求的面积即可. 【小问1详解】 由题知，，则， 又因为， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由题意知，直线过右焦点，如图，作出符合题意的图形， 设，，联立， 消去得，所以由韦达定理得，， 则由弦长公式得， 所以的面积． 19. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，它们的斜率之积是． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点． (ⅰ)直线交于点N，求证：点N在定直线上； (ⅱ)若直线分别与直线相交于两点，求的值． 【答案】（1） （2） (ⅰ)依题意，直线的斜率不为0，设的方程为． 由得， 设，则，解得， ， 直线的方程为，直线的方程为， 直线交于点，则， ， . (ⅱ)=1 【解析】 【分析】（1）设，然后表示出直线的斜率，根据已知条件列出等式进行化简即可. （2）（i）设的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理、直线的联立，可证明结论.（ii）方法一：先列出的表达式，然后化简即可得到答案；方法二：先列出的表达式，然后化简，根据韦达定理对其进行化简求值即可. 【小问1详解】 设，则直线的斜率，直线的斜率， 因为直线和直线的斜率乘积为，所以， 整理的方程为． 【小问2详解】 （i）略 (ⅱ) 方法一：直线的方程为，直线的方程为， 令得，， 所以． 所以，即的值为1． 方法二：直线的方程为，直线的方程为， 令得，即． 所以， 因为， 所以，即， 所以， 即的值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴彦淖尔市第一中学2026-2027学年第一学期期中考试 高二年级 数学试题 说明：1．总分150分，考试时间120分钟 2．把试题答案全部写在答题卡上． 一、选择题（每题只有一个正确答案，每题5分，共40分） 1. 已知直线经过点，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 点到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知，，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 4. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ，2 B. ，4 C. ，2 D. ，4 5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 7. 圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为，则该圆的半径为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 8. 已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知直线和直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线始终过点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，直线始终不过第三象限 10. 已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 过点且与直线平行的直线方程是 B. 直线在两坐标轴上的截距相等 C. 的取值范围为 D. 当时，圆面积为 11. 已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为0 C. 的最大值为16 D. 的最大值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 经过点且与直线垂直的直线方程为__________． 13. 已知是椭圆上的一点，，为椭圆的左、右焦点，且，则的面积为________． 14. 已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 四、解答题（13+15+15+17+17） 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）中心在原点，焦点在轴上，且经过两点和； （2）焦点在坐标轴上，且过点和的椭圆的标准方程. 16. 已知圆的圆心在直线上，且过点 （1）求圆的方程； （2）已知直线经过，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程． 17. 如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求锐二面角的余弦值； 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 19. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，它们的斜率之积是． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点． (ⅰ)直线交于点N，求证：点N在定直线上； (ⅱ)若直线分别与直线相交于两点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $