精品解析：内蒙古通辽市第一中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

内蒙古通辽市通辽一中2025级高二上学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知点、，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线的斜率为. 2. 圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程的半径公式进行求解即可. 【详解】由， 所以该圆的半径为. 故选：B 3. 在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设直线与平面所成的角为， 所以， 又，所以. 4. 已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求得答案. 【详解】由椭圆方程知，，， 所以， 根据椭圆的定义可知，，又， 所以的周长为. 故选：D. 5. 设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ） A. 基底中的向量可以为任意向量 B. 空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C. 向量可以共面 D. 若，则与的夹角是钝角 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故A错误， 对于B，因为向量不共面，由空间向量基本定理可知，空间中任一向量， 存在唯一有序实数组，使，故B正确， 对于C，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故C错误， 对于D，若，则与的夹角是钝角或者平角，故D错误. 6. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量法求线线角即可. 【详解】以为原点，在平面内过作的垂线交于， 以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 因为直三棱柱中，，，， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为， 所以. 故选：C. 7. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，直线恒过点，曲线表示出以为圆心，2为半径的右半圆，求出直线与圆相切时的斜率和直线过点的斜率，从而可求出答案. 【详解】如图，直线恒过点，曲线表示出以为圆心，2为半径的右半圆， 设直线与半圆相切于点，则 ，解得（舍去）或， 所以， 因为，，所以， 因为直线与曲线恰有两个交点， 所以， 所以， 故选：A 8. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限交于点P，直线交C于另一点Q，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据题意结合椭圆的定义可得相应长度，结合勾股定理运算求解即可. 【详解】设的半焦距为，， 则，，，， 由题意可知：， 在中，，即，解得， 则，， 在中，，即，可得， 所以椭圆C的离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在正四面体中，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成的角为 D. 在上的投影向量的模为1 【答案】AD 【解析】 【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘计算可判断A项；利用向量数量积的运算律计算判断B项；根据向量夹角的向量公式计算判断C项；利用投影向量的定义计算判断D项. 【详解】因 ，分别为，的中点，连接， 则，故A正确； 在正四面体中，，则， 于是 ，则，故B错误； 因， 设异面直线与所成的角为，则，又，则，故C错误； 在上的投影向量为，则其模为，故D正确. 10. 已知圆与圆交于两点，则（ ） A. 圆与圆有两条公切线 B. 直线的方程为 C. D. 线段的垂直平分线的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，进而判断圆的位置关系确定切线条数，两圆方程作差求相交弦方程，应用几何法求相交弦长，垂直关系求斜率并应用点斜式求直线方程. 【详解】由，则圆心，半径， 由，则圆心，半径， 所以，即，故两圆相交， 所以圆与圆有两条公切线，A对； 两圆作差有，整理得，B对； 由到的距离，则，C错； 由B知，则线段的垂直平分线的斜率， 故线段的垂直平分线的方程为，D对. 故选：ABD 11. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为上的动点，轴，垂足为，为的中点，为上顶点，则（ ） A. 椭圆的焦距为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. （为原点）是定值 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由题意，，得，，则焦距，A正确； 对于B，， 当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，设， ，即，C错误． 对于D，设，易知，为上的动点， 则，即，D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在长方体中，，，则点到平面的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面的法向量，再代入点到平面的距离公式计算. 【详解】由题意可得，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 因为，，所以，，，， 设平面的法向量为，，， 则，则，令，则，，则， 因为，则点到平面的距离为. 13. 若直线：与：互相平行，则与之间的距离为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为直线：与直线：互相平行， 所以，解得，故直线：， 直线：转化为， 则与之间的距离为. 14. 已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用代入法求解动点的轨迹方程，以及中点公式等知识点，即可求解. 【详解】由题意，设， 则，所以，代入圆的方程， 整理得，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线． （1）判断直线与圆的位置关系； （2）求过点的圆的切线方程． 【答案】（1）相离 （2）和. 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【小问1详解】 圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆相离. 【小问2详解】 若切线斜率不存在，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程为和. 16. 已知圆过， ，且圆心在直线上． （1）求此圆的方程； （2）若点为圆上任意点，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一般利用待定系数法，先求出圆心的坐标，再求出圆的半径，即得圆的方程. （2）一般利用数形结合分析解答. 当三角形的高是时，三角形的面积最大. 【小问1详解】 易知中点为， ， ∴的垂直平分线方程为，即， 由已知圆心为直线与直线的交点， 联立，解得，故圆心坐标为， 则， ∴圆的方程为； 【小问2详解】 由已知直线的斜率， 故直线的方程为，即， 圆心到的距离． ∴ 17. 已知点在曲线上，且点到两个点 和的距离之和为． （1）求曲线的方程； （2）若点的坐标为，过点且倾斜角为的直线与曲线交于（异于点）两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出的值，再根据的关系即可求出； （2）设，，联立方程得出，，再利用弦长公式和点到直线的距离公式即可求出. 【小问1详解】 由已知可得，化简可得， ， 则椭圆方程为. 【小问2详解】 设，， 由已知可得直线，即， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，， 则 又点到直线的距离， 所以. 18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）求证：PB⊥平面EFD； （2）求平面CPB与平面PBD的夹角的正弦值； （3）线段PA上是否存在点Q，使得FQ与DB所成角为30°，若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. ∵底面是边长为的正方形，底面，， ∴. ∵是的中点，∴. ∴，， ∴， ∴，即. 又由题知，且，平面， ∴平面. （2） （3）存在满足条件的点，为线段上靠近的六等分点（），坐标为. 【解析】 【分析】(1)要证明线面垂直，需证明直线垂直于平面内两条相交直线，结合已知，只需额外证明即可； (2)分别求解两个平面的法向量，利用法向量夹角与面面角的关系计算正弦值 (3)用参数表示线段上的动点坐标，结合异面直线所成角的向量公式列方程求解，通过参数范围验证点是否在线段上 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为， ，， 则，令，得. 设平面的法向量为， ，， 则，令，得. 设平面与平面的夹角为， 则. ∵，∴. 即平面与平面的夹角的正弦值为. 【小问3详解】 ， 设，则，， 由，得，即， 解得，因此， 设在线段上，令， 由，得， ，， 异面直线与所成角为，得， 整理得，解得，符合条件， 故存在满足条件的点，为线段上靠近的六等分点（），坐标为. 19. 已知椭圆：（）的焦距和短轴长都为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）由已知，设过的直线方程为， 设，，， 联立，化简得， 由韦达定理得，； 直线的斜率，故 ， 根据对称性可知直线恒过定点位于轴上， 令，并代入，， 化简得， 因此直线恒过轴上的定点； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件并结合的关系即可求出； （2）（ⅰ）设直线方程为，，，，联立方程，结合韦达定理即可求出； （ⅱ）求出的面积和的面积，得，再利用韦达定理即可求出. 【小问1详解】 由已知，焦距为，得；，得 由， 因此椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由可知， 的面积； 的面积； 由题意，得，结合，可知 将代入韦达定理得， 化简得 解得，即， 因此直线的方程为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古通辽市通辽一中2025级高二上学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知点、，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 5. 设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ） A. 基底中的向量可以为任意向量 B. 空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C. 向量可以共面 D. 若，则与的夹角是钝角 6. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限交于点P，直线交C于另一点Q，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在正四面体中，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成的角为 D. 在上的投影向量的模为1 10. 已知圆与圆交于两点，则（ ） A. 圆与圆有两条公切线 B. 直线的方程为 C. D. 线段的垂直平分线的方程为 11. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为上的动点，轴，垂足为，为的中点，为上顶点，则（ ） A. 椭圆的焦距为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. （为原点）是定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在长方体中，，，则点到平面的距离为________． 13. 若直线：与：互相平行，则与之间的距离为_________． 14. 已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线． （1）判断直线与圆的位置关系； （2）求过点的圆的切线方程． 16. 已知圆过， ，且圆心在直线上． （1）求此圆的方程； （2）若点为圆上任意点，求的面积的最大值． 17. 已知点在曲线上，且点到两个点 和的距离之和为． （1）求曲线的方程； （2）若点的坐标为，过点且倾斜角为的直线与曲线交于（异于点）两点，求的面积． 18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）求证：PB⊥平面EFD； （2）求平面CPB与平面PBD的夹角的正弦值； （3）线段PA上是否存在点Q，使得FQ与DB所成角为30°，若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆：（）的焦距和短轴长都为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点且，点关于轴的对称点为点． （ⅰ）证明：直线恒过定点，并求出点的坐标； （ⅱ）设是坐标原点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $