精品解析：湖南省邵阳市邵东市振华中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

邵东振华中学2026年高二上学期期中考试数学卷（原版） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 令该直线倾斜角为，则有， 而，于是， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 2. 若圆的半径为1，圆心在第三象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆心，根据其与轴相切得到，再根据点到直线的距离等于半径得到关于的方程，解出即可. 【详解】设圆心，圆：， 依题意有，圆心到直线的距离为 解得或（舍去）. 所以圆的标准方程：. 故选：A. 3. 已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦点在轴上的椭圆特征列出关于的不等式，求解可得答案. 【详解】，解得. 故选：A. 4. 鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，其宽为8m，高为0.8m，根据图中的坐标系，该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，设出抛物线方程，利用待定系数法求出抛物线方程. 【详解】依题意，设该抛物线的方程为， 由点在此抛物线上，得，解得， 所以该抛物线的方程为. 故选：C 5. 已知平面的法向量，且点，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法，即公式，求点面距离即可得解. 【详解】由题意得，点到平面的距离为. 故选：A. 6. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性结合一元一次不等式的解法求解出每个集合，再结合充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】令，解得，令，解得， 得到， 即可以推出，推不出， 得到“”是“”的充分不必要条件，故A正确. 故选：A 7. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式求，即可得答案. 【详解】由，，而且， 则 ， 显然，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 8. 椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”的方程为，则该“斜椭圆”的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，然后根据已知方程结合基本不等式可求出的最大值和最小值，从而可求出长半轴长和短半轴长，进而可求出离心率. 【详解】设“斜椭圆”的中心为坐标原点， 由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值， 短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值， 由基本不等式，可得， 所以，解得， 当且仅当时成立， 当且仅当时，成立， 所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为， 所以椭圆离心率为. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，因为，，所以，， ，设与的夹角为，则，故B正确； 对于C，因为，所以，则，解得，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选:BCD． 10. 椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为16 B. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为 C. 若上存在点，使得，则的取值范围为 D. 若为上一点，为左焦点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，即可判断A，根据椭圆方程的形式，以及直线所过定义，即可判断B，将存在点使，转化为以为直径的圆与椭圆有交点，再讨论焦点的位置，即可列式求解，利用椭圆的定义，结合数形结合，转化为三点共线，即可判断D. 【详解】A.若，则，，则的周长为，故A正确； B. 直线恒过定点，若直线与恒有公共点， 则且，故B错误； C. 若上存在点，使得，则， 若椭圆的焦点在轴，则，，解得， 若椭圆的焦点在轴，则，，解得：， 综上可知，的取值范围为，故C正确； D.，椭圆方程为，，，， 设椭圆的右焦点为，则， 如图，当三点共线，且，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 11. 为了考察冰川融化状况，一支考察队在某冰川划定一考察区域，考察区域的边界曲线由曲线和曲线组合而成，其方程为：和.则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴成轴对称图形 B. 曲线关于原点成中心对称图形 C. 曲线上两点之间的距离的最大值为 D. 直线到曲线的最短距离为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】画图即可验证选项A,B选项，通过图像可知曲线上两点之间的距离的最大值为左右两个端点的距离即可求解选项C，选项D利用平行与的直线相切与曲线时切点到直线的距离最短即可求解. 【详解】如图所示可知，曲线关于轴对称，故A正确，B错误. 由图像可知曲线上两点之间的距离的最大值为左右两个端点的距离， 在中，令， 在中，令， 所以曲线上两点之间的距离的最大值为左右两个端点的距离为： ， 故C正确， 因为直线过点， 当平行与直线的直线与曲线的部分相切时，切点到直线的距离最小， 设此时直线方程为， 联立，化简得： ， 由 解得：， 当时，， 当时，，不满足题意， 故， 联立解得切点为： 所以直线到曲线的最短距离为点 到的距离： 即， 故D正确， 故选：ACD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知关于x的不等式的解集是或，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得为关于的方程的两根且，利用韦达定理，即可得到，再代入目标不等式，解出即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是或， 所以为关于的方程的两根，且， 所以，则， 所以不等式，即，即， 解得，所以不等式的解集是. 故答案为：. 13. 已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法可求得直线斜率，进而得到方程，与双曲线联立检验即可确定结果. 【详解】设，且， 由得：，即， 为中点，，，， 直线方程为：，即； 由得：， 则，满足题意； 直线的方程为：. 故答案为：. 14. 如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，，，则CD的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意有，，由，两边同时平方，利用数量积的性质即可得出. 【详解】由条件，知，，， 所以， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，． （1）若向量与相互垂直，求实数的值； （2）求的面积． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量运算的坐标表示及两向量垂直的条件即可求解； （2）法一，利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合三角形的面积公式即可求解；法二，求出，判断，得，由三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 ，， ∴， 又∵，∴， 即，解得. 【小问2详解】 法一：由（1）得，， ， 因为，∴， ． 法二：，， ∴为直角三角形，，，， ． 16. 已知点N（0，1），直线l：3x－4y＝0，直线m过点N且与l垂直，直线m交圆x2+y2＝4于两点A，B． （1）求直线m的方程； （2）求弦AB的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系得直线m的斜率，写点斜式方程 （2）由直线与圆相交弦长公式计算 【小问1详解】 ∵直线l：3x－4y＝0，直线m与l垂直， ∴直线m的斜率为 ∴直线m的方程为，即 【小问2详解】 圆x2+y2＝4的圆心坐标为O（0，0），半径r＝2， 圆心O到直线的距离 弦长 17. 如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，过直线的平面与棱分别交于点． （1）证明：； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，且平面，且，所以平面， 因为平面，平面平面，且平面， 所以，又， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形中的推出平面，再由线面平行的性质定理，结论即可得证； （2）建立空间直角坐标系，得点坐标，再求两个平面的法向量，再由公式求解平面与平面夹角余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系． 由（1）知且，则， 则，，，，， ，所以，，， ，设平面的一个法向量为， 则，得， 设平面的一个法向量为，则，得， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 世界人工智能大会是一场领域的国际盛会，集聚上千位来自国内外的“最强大脑”，展开了近百场高端论坛头脑风暴.某高校学生受大会展示项目的启发，决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示，两个信号源相距10米，是线段的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的位置始终满足：两点同时发出信号，机器鼠接收到A点的信号比接收到点的信号晩秒（注：信号每秒传播米）.在时刻时，测得机器鼠与点间的距离为米. （1）以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求时刻时机器鼠所在位置的坐标. （2）游戏设定：机器鼠在距离直线不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”的风险？ 【答案】（1） （2）有 【解析】 【分析】（1）由机器鼠接收到A点的信号比接收到点的信号晩，可得机器鼠的运动轨迹方程，结合机器鼠与点间的距离为米，可得机器鼠此时的坐标； （2）求出机器鼠的运动轨迹方程到l的最短距离，比较其与2米的大小即可. 【小问1详解】 设机器鼠的位置为点，由题意得，由题意可得即， 可得的轨迹为以为焦点的双曲线的右支， 设其方程为，则，所以， 则的轨迹方程为. 又在时刻时，，则.可得，所以机器鼠所在位置的坐标为. 【小问2详解】 由题意可知直线，设直线的平行线的方程为，由可得：， ，令，解得， 当时，为双曲线的切线，设切点横坐标为，所以， 结合韦达定理有，所以，所以. 此时，与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离最近的点，此时与的距离为，即机器鼠与最小的距离为， 故如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，有“被抓”的风险. 19. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）设直线交于，两点，直线，的斜率之和为0，求直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件结合、、关系列方程，解方程即可求解； （2）设出直线方程，直曲联立，得到方程：，根据韦达定理得到：，，结合已知条件得到方程：，解方程验证即可求解. 【小问1详解】 依题意，，点在椭圆上， ∴解得，，， 所以椭圆的方程为：． 【小问2详解】 依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，消得， ， 设，， 由韦达定理得， ，， 又，则， ∴， ，代入化简得： ， 将，代入化简得：， 即，∴或． 当时，直线过点，不合题意， 综上；直线的斜率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵东振华中学2026年高二上学期期中考试数学卷（原版） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 若圆的半径为1，圆心在第三象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，其宽为8m，高为0.8m，根据图中的坐标系，该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面的法向量，且点，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”的方程为，则该“斜椭圆”的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 10. 椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为16 B. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为 C. 若上存在点，使得，则的取值范围为 D. 若为上一点，为左焦点，则的最小值为 11. 为了考察冰川融化状况，一支考察队在某冰川划定一考察区域，考察区域的边界曲线由曲线和曲线组合而成，其方程为：和.则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴成轴对称图形 B. 曲线关于原点成中心对称图形 C. 曲线上两点之间的距离的最大值为 D. 直线到曲线的最短距离为3 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知关于x的不等式的解集是或，则不等式的解集是______. 13. 已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是____________． 14. 如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，，，则CD的长为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，． （1）若向量与相互垂直，求实数的值； （2）求的面积． 16. 已知点N（0，1），直线l：3x－4y＝0，直线m过点N且与l垂直，直线m交圆x2+y2＝4于两点A，B． （1）求直线m的方程； （2）求弦AB的长． 17. 如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，过直线的平面与棱分别交于点． （1）证明：； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 世界人工智能大会是一场领域的国际盛会，集聚上千位来自国内外的“最强大脑”，展开了近百场高端论坛头脑风暴.某高校学生受大会展示项目的启发，决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示，两个信号源相距10米，是线段的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的位置始终满足：两点同时发出信号，机器鼠接收到A点的信号比接收到点的信号晩秒（注：信号每秒传播米）.在时刻时，测得机器鼠与点间的距离为米. （1）以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求时刻时机器鼠所在位置的坐标. （2）游戏设定：机器鼠在距离直线不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”的风险？ 19. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）设直线交于，两点，直线，的斜率之和为0，求直线的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $